kudryavtsev3a (947417), страница 37
Текст из файла (страница 37)
лемму 1 в п. 58.!). Покажем, что образ пространства СЕз [а, Ь3 при этом отображении является плотным в пространстве ВЕ~ [а, Ь] множеством. Пусть Е~ КЕ, [и, Ь1 и функция Е является представителем элемента Ь; т. е. / ~ Ь) Поскольку Г является функцией с интегрируемым на отрезке [и, Ь3 квадратом, то, согласно лемме 8, она является пределом в смысле среднего квадратичного некоторой последовательности непрерывных на отрезке [а, Ь1 функций ('„, обращающихся в ноль на его концах (см. (59.28)), т. е.
/„~ СЕ,[а, Ь1, п=!, 2, ... Если )'„и Г„а н ВЕ [а, Ь1, то, согласно определению полунормы в пространстве ВЕ, [а, Ь1, получим !! ~. г !! й., = 1!Л Л лг, ° где справа, как обычно, стоит полунорма (59.12). Отсюда, в силу равенства (59.28), получаем (59.30) Поскольку класс эквивалентности Е являлся произвольно фиксированным элементом пространства КЕ, [и, Ь), а Г„=-Ф(г'„Е где непрерывная на отрезке [а, Ь) функция, обращающаяся в нуль на его концах и, следовательно, 7'„и Ф (СЕ, [а, Ь3 ), л = 1, 2, ..., то равенство (59.30) и означает плотность образа множества СЕ 2[а. Ь1 в пространстве ВЕз[а, Ь3 при отображении Ф, Для доказательства же плотности образа множества СЕ2 [а, Ь) при его естественном отображении в просгрансгво ВЕ1 [а, Ь1 заметим, что из включения (59.29) следует очевидным образом, что Ф (СЕ 4 [а, Ь1) ~ Ф (СЕ, [а, Ь) ) = ВЕ2 [а, Ь1.
А если в каком-либо метрическом пространстве Х плотно множество А, т. е, А =Х и А с В сХ, то, конечно, множество В 2м также плотно в Х, ибо А с В с Х и так как А=Х, то и В=Х. Поэтому из плотности множества Ф(СЕ г [а, Ь]) в пространстве ВЕг [а, Ь] следует и плотность в нем множества Ф(СЕг [а, Ь]). П Если отождествить каждую непрерывную функцию ~'~ СЕДа, Ь] с классом эквивалентнык функций с" ~я ЯЕ, [а, Ь], которому она принадлежит: г и Ь; т. е, отождествить / с ее образом при естественном отображении Ф, то получим, что СЕг[а, Ь] является подмножеством пространства ВЕг[а, Ь]: СЕг [а, Ь] ~ ВЕг [а, Ь].
(5931) Это включение называется естественным вложением пространства СЕ в пространство ВЕ . Итак, в силу (59.29) и (59.31), справедливы включения СЕг [а Ь] ~ СЕг [а, Ь] = Й, [а, Ь], причем, согласно теореме 2, СЕ, [а, Ь] = ВЕ, [а, Ь] — множество СЕ г [а, Ь], а следовательно, и СЕг [а, Ь], плотны в пространстве АЕг [а, Ь]. Можно показать, что пространство ВЕг[а, Ь] не является полным, т. е.
не является гильбертовым пространством. Задача 40. Доказать, что пространство ЯЦ(а, о) не является полным. Выше было показано (см, п. 59.3), что всякое предгильбертово пространство можно дополнить до полного, т'. е. до гильбертова пространства. В частности, это можно сделать и с пространством Й., [а, Ь]. Определение 8. Пополнение предгилвбертова пространства Й.г= Я.г[а, Ь] называетсл пространством Ег=Ег[а, Ь].
215 В силу определения пополнения, Я1, [а, Ь~ г: 12 [о, Ь') (59.32) и Из[а, Ь) плотно в пространстве Аз[а, Ь3, т. е. )П2 [о, Ьз' ~'2 [о, Ь1. В силу включений (59.29), (59.31) и (59.32), имеют место естественные вложения Сиз [а, Ь3 ~ СЕ, [а, Ь3 ~ Й.2 [а, Ь3' ~ Аз [а, Ь).' (59.33) 2 Согласно включению (59.33) и плотности множества а САз [а, Ь1 в пространстве Ж, [а, Ь1, существует такой элемент Ь м Из[а, Ь3, что Поэтому г ~г 2 2 216 Оказывается, что не только ГХ.з плотно в пространстве Ем о СЕз ~потно в Ез.
Теорема 3. Пространство СЕ [а, Ь1 плотно в пространсп1вс Ег [о, Ч. Следствие. Пространство СХ2[а, Ь1 плотно в пространстве 1,,[а, Ь). Доказательство теоремы 3. Пусть |" и Л,[а, Ь3 и пусть произвольно фиксировано а > О. Для простоты все элементы пространства Х.з [о, Ь3 будем также обозначать строчными латинскими буквами, хотя они, вообще говоря, и не являются функциями. Так как пространство Ц [а, Ь| является пополнением пространства Ж 2 [а, Ь1, то существует такой элемент я и ЯЕ [а, Ь), что Это и означает, что множество СЕ, ~а, Ь~ плотно в пространстве Ел~а, ЬЗ.
П Следствие очевидным образом вытекает из теоремы, так как (как это было показано при доказательстве теоремы 5) если подмножество А некоторого множества В, А ~ В, плотно в каком-то метрическом пространстве Х ~ В, то и само множество В тем более плотно в Х. В данном случае о о СЕз1а, Ь~~СЕз~а, Ь~ с Е ~а, ЬЗ и СЕДа, Ь~ плотно в Ел ~а, ЬЗ. Поэтому СЕз ~а, ЬЗ также плотно в Ел ~а, Ь1.
Упражнение 5. Доказать, что если Х--метрическое пространство, А с В ~ Х, множество А плотно в множестве В, а множество В плотно в пространстве Х, то и множество А плотно в пространстве Х. Замечание 2. Если рассматривать пространство Е, ~а, Ь~ как пространство, получающееся из пространства ВЕ ~а, Ь] конструкцией пополнения пространств, описанной в теореме ! настоящего параграфа, то его элементами будут являться классы эквивалентных фундаментальных последовательностей, составленные из классов эвивалентных функций с интегрируемым квадратом.
Если при этом произвести отождествление пространства СЕ, и ЯЕ, с их образами в Е„как это указывалось выше, а тем самым считать, что СЕз с ВЕз с Ез, то окажется, что пространство Е состоит из непрерывных функций, из классов эквивалентных функций с интегрируемым квадратом, не содержащих непрерывных функций, и из «абстрактных элементов», представляющих собой указанные классы фундаментальных последовательностей. Можно, далее, условно в смысле замечания 1 «заменить» все элементы нз пространства ВЕз функциями — произвольно выбранными их представителями.
Тогда пространство Е окажется состоящим из функций с интегрируемым квадратом и тех же абстрактных элементов, необходимо возникающих при процессе пополнения пространства ВЕз ввиду его неполноты. Эта «условная замена» элементов пространства ВЕз ~а, Ь| их представителями отражает точное утверждение, что операции над классами эквивалентных функций сводятся к соответствующим операциям над их представителями в вышеуказанном смысле. Оказывается, и это очень интересно и важно, что указанные абстрактные элементы можно рассматривать не как классы фундаментальных последовательностей классов эквивалентности, а как некоторые функции, точнее как классы эквивалентных функций в смысле определения 5, причем скалярное произведение для них также определяется формулами (59.11) и (59.22), только интеграл в этих формулах следует понимать не в смысле собственного или несобственного интеграла Римана, а в более общем смысле, в смысле так называемого интеграла Лебега.
Рассмотрение этого вопроса выходит, однако, за рамки рассматриваемых методов и поэтому не будет излагаться в настоящем курсе. Его изложение можно найти, например, в замечательном учебнике: Никольский С М. Курс математического анализа, т. 1, П, 3-е изд., М., 1983. Замечание 3. Определение пространства Аз [а, Ь3 естественным образом обобщается и на случай бесконечного промежутка. Рассмотрим для определенности всю числовую ось. Для двух непрерывных интегрируемых в квадрате на всей действительной оси функций ер и зр скалярное произведение определим по формуле: (гр, Чг)= <р(х) Чт(х)егх.
(59.34) Это определение корректно, ибо интеграл, стоящий справа, при сделанных относительно функций гр и зр предположениях сходится, и даже абсолютно. Это сразу следует из неравенства 1гр(х) ф(х)/ < г Свойства скалярного произведения для (5934) легко проверяются. Можно показать аналогично случаю конечного промежутка, что получившееся при этом метрическое пространство непрерывных интегрируемых в квадрате функций, так же как и предгильбертово пространство, получающееся «отождествлением» эквивалентных функций с интегрируемым на всей числовой оси квадратом, не является полным в метрике, порожденной скалярным произведением (59.34). Пополнения этих пространств совпадают с точностью до изоморфизма и обозначаются через ~'2 ( оо + со)' Упражнения.
6. Доказать, что функция Лх)= — на отрезке 10, 11 нс 1 является пределом в смысле среднего квадратичного последовательности непрерывных функций. т. Доказать незквивалеитность понятий сходимости в среднем в смысле Ь, и в смысле ьз для последовательности функций. 218 8. Доказать, что если послеповательность интегрируемых на некотором отрезке функций равномерно на этом отрезке сходится к некоторой интегрируемой на нем функции, то указанная последовательность сходится в той же функции на рассматриваемом гпрезкс и в среднем как в смысле Го так и в смысле Е з 9. Построить пример послеловвтсльносги непрерывных на некотором отрезке функций, сходягцейся на нем к некоторой непрерывной функции в среднем в смысле Ех, но не сходящейся равномерно на этом отрезке.
10. Посгроить пример последовательности неотрицательных непрерывных на отрезке функций, сходящейся на нем в среднем, но не сходящейся в смысле средне~о квадратичного. Задача йн Доказать, что для любого р, ! <р<+ со, и любого промежутка с концами в точках а и Ь, — гс <а<6< Ч-сс, множество непрерывных на нем. функций плотно в просзранстве Ль,(а, Ь). Мы описали различные типы пространств.
В анализе в основном изучаются пространсгва, элементами которых являются функции. Такие пространства называются функциональными. Для простоты в примерах рассматривались функции одного переменного. Подобным же образз2м, если взять линейное пространство функций, непрерывных на замыкании некоторого измеримого по Жордану множества 6~1г", ввести скалярное произведение по формуле (гр, з(г)=)гр Чгггб и пополнить полу- чившееся пространство, то получим гильбертово пространство, которое обозначается Е,(6 ).
При этом можно показать, что все таким образом полученные пространства Е, (6) будут сепарабельными бесконечномерными гильбертовыми пространствами. Бесконечномерность пространства Е,(а, 61 будет установлена в и. 60.2, а его сепарабельпость — в п. 60.3 (теорема 2), В дальнейшем (см. п. 60.5, теорему 10) будет доказано, что все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны между собой. Таким образом, изучив определенные свойства функций одной или многих переменных, удается из некоторых их множеств образовать пространства Е .
Однако, превратившись в точки этого пространства, функции утрачивают многие свои индивидуальные свойства. В частности, пространства Е, неотличимы друг от друга по числу переменных, от которых зависят функции, из которых образованы эти пространства. Эта, конечно, нисколько не мешает применять функциональные пространства с большим успехом как в чисто теоретических вопросах, так и в приложениях математики. Введенные в 8 57, 58 и 59 многочисленные определения будут применяться в дальнейшем для описания определенных свойств различных классов функций в привычных и наглядных геометрических терминах (пространство, точка, расстояние, 219 вектор, базис и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
