kudryavtsev3a (947417), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Обозначим через Х множество, элементы которого- -классы эквивалентных элементов пространства Х. Пусть х нХ, у вХ, хах, усу, ь и р — числа. Определим > ее-~-йу как элемент множества Х, содержапзий Кх ' ру, и положим (х, у) =(х, у). Доказать, что эти определения корректны, т. е. не зависят от выбора злемейтов хнх н уау, и что Х является линейным пространством, а (х, у) — скалярным произведением в нем. 59.3. СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА Линейное пространство с почти скалярным произведением является, согласно (59.2), и полунормированным.
Поэтому для него определены понятие сходящейся последовательности, ее предела и понятие непрерывной функции (см. п, 58.4). Лемма 3. Почти скалярное произведение (х, у) является непрерывной функцией (сль и, 58.4) своих аргуте>гтов х и у на множестве Хх Х, на котором оно зидипо: хеХ, уеХ. Доказательство. В самом деле, для любых хоеХ, уоеХ, хеХ и уеХ выполняется неравенство 1(хо Уо) (х У)1= ~ ('го х Уо)+(х Уо У) ~ < < 11 х — х ( ~! Уо 11+ 11 х ~! 11 У вЂ” У 11, (59.14) из которого сразу следует указанная непрерывность почти скалярного произведения.
Действительно, если х е Е'(хо, 8), У е ЦУо, 8), то, заметив, что 1! х 11 < ) х — хо 11 + 11 хо ~~ < ~, х 11 + 8, из 197 (59.14) получим !(х., уо) — (х, у)1<Ь|уо1+(~ х. (+Ь)Ь. Отсюда следует, что при любом фиксированном числе с>0 всегда можно выбрать Ь=Ь(с)>0 так, что при хн У(хвл Ь), уеЦув, Ь) выполняется неравенство ~(хв, уо) — (х, у)~ с; для этого достаточно выбрать Ь>0 так, чтобы Ь(ув~~+(~1х„~~+ +Ь)Ьсс; это, очевидно, всегда возможно. В пространстве Х с почти скалярным произведением можно говорить о сходимости рядов по полунорме, порожденной х почти скалярным произведением: ряд ,'! хл, х„аХ, х=1, 2, ..., л=1 называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм зл= ,'! хл сходится по указанной полунорме к некоторому 1=! элементу АХ, который называется суммой ряда: злл ,'! хл.
л= ! Отметим, что сумма ряда в пространстве с почти скалярным пРоизведением опРеделена неоднозначно. Однако, если з= 2 хл л=1 и з*= ,"> хл, т. е. з и з* суть суммы одного и того же ряда, то л=1 ~~зл — з)(=О (см. п. 58.4), и поэтому для любого элемента ааХ имеет место равенство (з*, а)=(з, а). Действительно, в силу неравенства Коши †Швар для почти скалярного произведения, /(зл, а) — (з, а)(=)(зл — з, а)!< ) зл — з)! ))а !) =О. Из непрерывности почти скалярного произведения во всем пространстве следует, например, что ряды в пространстве с почти скалярным произведением можно умножать почленно не только на числовые множители, но и на элементы самого пространства.
Докажем это. Лемма 4. Пусть в пространстве Х с почти скал.чрнььч произведениел! задан сходящийся ряд ~ хл=з, хлеХ, п=1, 2, л=1 Тогда для всякого элемента аеХ числовой ряд, получающийся из данного ряда почленным умножением его на а, также сходится и 198 2 (хл, а)=(з, а). л= 1 ~ хл и любого л=1 Иначе говоря, для сходящегося ряда элемента ае Х справедливо равенство ~ (Хл, а)ла ,'1 Хл, а . Доказательство. Так как х=1пп ,'1 х„, то Ю л / л „'1 (хл, а) = 1пп ~ (х,, а) = 1пп 1 ,'1 х„а л=1 л ал ха 1 л ~а 1а1 л 1пп ,'1 х„, а =(х, а). Хл аа1=-1 а=1 т. е. последовательность частичных сумм л этого ряда сходится к функции т' в смысле среднего квадра- тичного: 11 ([У(),„(~)11,Ь=О, л лаа Тогда для любой функции 1р(х)нЯ.С [а, Ь|, согласно лемме 4, К ф)=Х К..
р) т. е. ь л Ь [ у'(х) 1р (х) ых = ,'1 ) т"„(х) 1р (х) с1х. а л=1а Пример, Рассмотрим пространство ЯЕ [а, Ь) из примера 3 и. 59.2. Пусть ряд „'1 г„'(1) функций ~'„нА1, [а, Ь) сходится в ла1 этом пространстве к функции 1'НМ,1[а, Ь): ',1 у„(г), гн[а, Ь"1, В частности, при ср=! ь | )'(х)с(х= ~ ])„(х)с)х. и= с,> О а Иначе говоря„ ь ',>„/„(х ) с(х = ~ 1„' (х)с)х. О а Итак, если ряд функций с инпгегрируе,чым квадратом на отрезке [а, Ь ] сходится на нем в смысле среднего квадратичного к некоторой функции также с интегрируемым квадрата.и на [а, Ь], то ряд можно почленно интегрировать. Из равномерной сходимости последовательности непрерывных функций вытекает сходимость этой последовательности к той же функции и в смысле среднего квадратичного (см. п.
58.3), поэтому из доказанного здесь утверждения следует, что если ряд непрерывных функций сходится на отрезке равномерно, то его можно почленно интегрировать. Этот результат был получен ранее другим путем в главе о рядах (см. теорему 9 в и. 36.4). Все сказанное переносится естественным образом на бесконечные промежутки. Определение 3. )(ва линеш>ы г пространства Х и с' со скаляр>сьсм (почти скалярпым) произведением называются изоморфными, если они изоморфны как линейньге пространства, и отображе>с>ге >", отобража>ощее пространство Х на пространство У и осущеспгвляющее этот изоморфизм, сохраняет скаляр>гое произведение (почти скалярное произведение), т.
е. для любых двух зггементо» хеХ и уеХ выполняется равенство (х, у)=()(х), )(у)). Два изоморфных линейных пространства со скалярным (почти скалярным) произведением могут отличаться лишь природой своих элементов, а пе метрическими свойствами, поэтому в дальнейшем изоморфные линейные пространства со скалярным (почти скалярным) произведением часто не будут различаться. Поясним это на примере. Пусть Х и У* — линейные пространства со скалярным (почти скалярным) произведением и пусть /' -- изоморфное отображение пространства Х на множество У~ Уь.
Тогда, «отождествляя» элементы пространства Х с соогветсгвующими им элементами множества У, можно рассматривать пространсг.во Х как подпространство пространства У*. Под этим понимается (сравните с соответствующими 200 конструкциями в п. 57.1 и 58.4) рассмотрение линейного пространства Х*, состоящего из элементов пространства Х и элементов множества У* '~ У. При этом в пространстве Х" операции сложения элементов и умножения их на число вводятся так же, как это было сделано после определения 18 в и. 58.4, а скалярное (почти скалярное) произведение (х, у)х.. ха Х*, увХв, определяется в пространстве через скалярное (почти скалярное) произведение в пространстве У* с помощью биекции ГгХв- У*, задаваемой формулой (58.17), следующим образом: (х, У)х =(Р(х), Р(У)), где в правой части стоит скалярное (почти скалярное) произведение в пространстве У*.
Легко проверить, что пространство Х* изоморфно пространству У*. Упражнения. 2. Доказать, что при фиксированном и все действительные и-мсрныс линсйныс пространства со скалярным произведением язоморфны между собой. 3. Доказать, что всякое конечномерное линейное пространство со скалярным нроизвеленисм полно в смысле метрики, порожденной скалярным произведением.
Определение 4. Линейное пространство со скалярным произведением, полное в смьнле метрики, порожденной заданным скалярным произведением, называгтся гильбертовым пространством. Просто же линейное пространство со скалярным произведением называют также предгильбертовым пространством. Это название оправдывается следующей теоремой. Т е о р е м а 1. Всякое предгильбертово пространство Х содержится, и плотно, в некопгором гильбертовом пространстве Х*. Доказательство. Согласно теореме 4 п.
57.5 и теореме 2 п. 58.5, достаточно показать, что на пополнение Х* линейного нормированного пространства Х можно продолжить с Х скалярное произведение с сохранением свойств 1' — 4'. Это можно сделать с помощью предельного перехода. Действительно, так как Л'=Хв, то для любой пары точек хнХь и унХв существуют последовательности точек х„еХ, та нХ, и=1, 2, ..., такие, что !пп у„=у. !пп х„=х, Покажем, что существует 1пп (х„, у„). В самом деле, из в неравенства (59.14) следует, что лля всех натуральных т и и ((х, У ) — (хуп У„)! < !!х — х„!11)У !1+!)х„(!!)У вЂ” У„(!.
20! Так как, в силу сходимосги, последовательности (х„) и (у„) ограничены по норме и являются фундаментальными, то из этого неравенства следует, что числовая последовательность Их„, у„)) также фундаментальная и, следовательно, сходится. Положим, по определению, (х, у) = 1пп (х„, у„). Легко я и проверить, используя предельный переход, что это определение не зависит от выбора последовательностей (х„) и (у„) таких, что х„ х, у„. у и что для таким образом определенной функции (х, у) выполняются свойства 1" — 4' скалярного произведения. (л Полученное гильбертово пространство называется пополнением исходного предгильбертова пространства. Примером гильбертова пространства является и-мерное евклидово пространство (см. п. 18.4).
Другие примеры будут рассмотрены далее. Упражнение 4. Доказать, что прелгильбертово пространство, изоморф. нос гильбертову пространству, само является гильбертовмм. 59.4. ПРОСТРАНСТВО Е,з Напомним (см. пример 3 в и. 59.1), что линейное пространство непрерывных на отрезке [а, Ь ] функций со скалярным произведением, определенным по формуле (59.11), обозначается через Ст.з [а, Ь]. Норма в пространстве Ст".з [а, Ь ] определяется формулой (59.12). Лемма 5. Пространство СЕ, [а, Ь] не является гильбертовым. Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
