kudryavtsev3a (947417), страница 30
Текст из файла (страница 30)
и. 58.1). Если /'(х„у) — — ог раниченное билинейное отображение„то нижняя срань всех постоянных с>0, для которых выполняется неравенство (58.41), называют ш)р,иой билинейного отображения и обозначак)т 1111': 11/11 =гп/(с: 11/'(», к)11 <с 11.».11 11У11) . (58.42) Аксиомы нормы для 1(/11 на линейном пространстве всех ограниченных билинейных отображений /.:Х х т'- г2 легко устанавливаются непосредственной проверкой. Из неравенства (58.41) и определения (58.42) следует, что для всякого ограниченного билинейного отображения /' выполняется неравенство 111/(-»',.1))1(< 11/11 11-»11 Ю (58.43) Линейное нормированное пространство ограниченных билинейных отображений /'.
Х х 1' Х обозначается через кг (Х„г'; В). Те о ре ма б..'1лч того чтооы билинейнпс о)пссоражепие :=/(», у), .теХ, ге т'„сев., произведстсч Х х 1' линейныл. по/)»гировс~нны» просп)ритона Х и с' в линейное )и)риировшшое прострспсство В, было непрерывнылг, необходиио и досчпаточно, ч1РРя)ы Оио Оы.10 О '/)сп!ичс'шсы.ы. Д о к а з а тел ьс т во. Если билинейное отображение 1: Х х х 1' гогрггничено,тодлялюбыххоеХ,хеХ, гое У,уе )','имеем 1/(т..г) — /(гсо.: 0)11 = 1(/(»».1) — /(»О. У) +/(ко. У) —./(то,.)0)1< < Щ.т-.»0, г)11 + 11/(-»0..) — Уо)11 (ик41) <с (11Х--»о)1 )1г11 + ')-т.11 Ь вЂ” Уо11) < + 1Ь <с ~11» — »о11(11Уо11+ 11У-Уо11)+ 11»о11 11У-/0111 176 Очевидно, ч1о из этого неравенства сразу следует непрерывность отобРажениЯ 7' в точке («о, го): !нп Лх, у) =)'(хо, ! 0) .
(58.44) ;(а. г) — (.тв, „)( — 0 Если, наоборот, билинейное отображение 7'.Х х У- х. непрерывно на Х х У, то, в частности, оно непрерывно в нуле и, следовательно, например для с=1, существует такое б>0, что как только !!Х1(<6...!у!!<6, го выполняется неравенство !(7'(.«э у),! < 1. (58.45) Зафиксирусм какое-либо т(, 0<т! <8. Тогда для любых .«бХ и ! б У; «~0, ! ~0, будут выполняться неравенства 1х,'(=т)<8, '- <6, 1т1 !л,' ' г1,' поэтому О!сюда. использовав билинейность отображения 7'; получим 1 !(/(«, г) ! < —, !(х!! !! ! !!, «~0, уФО. г! Упражнснис 1б.
Доната«и что соли г. банатово пространство, то пространство бипннсйиы«о!-раничснных отображений .Уг (Х. 7! И) твв:кс банахово (Х и У . пинсйныс норыированныс пространства). Пусть 7' Х х У вЂ” У. - билинейное отображение произведения линейных нормированных пространств Х и У в линейное нормированное пространство У. При фиксированном элементе .«бХ отображение 7' задает некоторое линейное отображение (обозначим его 7'„') пространства У в пространство У: 7'„(г) = 7'(.«, У), Уб У.
(58.46) При этом если 7' — ограниченное билинейное отображение, '!о !!)в(!)!! = !(/(«З !)|! < Ы! !!«!! 1У)!; 158.4б) (5К43! (58,47) !77 При .«=0 или «=0 это неравенство также справедливо, ибо 1'(О, у) =1'(«ч 0) =О. Таким образом, отображение 7' действительно ограничено. Л (И~))(у) = 1.(у) = .1(- ° у) (58.49) (58.48) (58.46) Лемма 8.
Огггог5галссггггс с (соп (5848)) яыяяется лггясйпылг !иргггггг !с!!!!и!! ггггериггг!)ро,гг, гггггггбргпюсиюи(игг гг)госпгранстыо Х ы гг)гпггггргггпгггыгг! .У(К У), т. с. Ге.У(Х, У(К х.)), и Л) = )(1)( (58.50) До казательс гво. Пусть я,еХ, .х еХ, г.! и г. — числа, то( та для любого ге У имеем (~("!к! +~ 2 х2)) (у) .1('"! хг+~ гкг' у) [58.49) — -).,1(х,, г) +к,1(л„у) = ()!,Г(л.,))(у) + (2~Е(лк))())= (58.49) =().гг'(х!) +).Г(х,)) и, и .гак как это верно для каждого ти 'г', то ! (~.!.хг+2"гхг) ~'г! (х!) +~"г! (хг) ° т. е.
Е- -линейный оператор. Ограниченность оператора с' следует из неравенства ), :'Е(.х)(~ У:,),~ < )(1(( 1Ф1 . (58А8) (58 47) неравенства вытекает, что Ю~<Ы~ (58.51) ограниченносгь оператора с" означает, выполняется неравенство ()с(л))) <))Ц )).х)), (58.52) Более того, из этого С дру(ой стороны, что для любого «вХ поз гомл ,'(1(х. г)~) = 1)(Г(х))())~)<)Р(х)~) )г) < )Г1~ 1)х~~ )у~) (5853) (58.49) (58.52) 178 поэтому 1, также является ограниченным отображением и, согласно опрелелению нормы линейного оператора, )(1',)(<)ф) ))л((. Тггким образом, для каждо! о билинейного о гображепия Й:Уг(Х, У; У) отображение Е .х — 1„'.
(58.48) отображает пространство Х в пространство У'(г', У). Из формул (58.46) и (58.48) следует, что Из неравенств (58.51) и (58.53) следует равенство (58.50). П Определение 27. Отображение одного линейного нормированного прас»пранства на другое называется изоморфизмом или изоморфныл» отображением, если оно взаимно однозначно, линейно и сохраняет норму. Два линейных нормированных пространства, для которых существует изоморфное отображение одного на другое, называются изоморфными.
Пример. Пространство У (л»', Х) для любого линейного нормированного пространства Х изоморфно с Х. Поставим в соответствие каждому элементу хеХ оператор А„: г»»х, 1еК Очевидно, что оператор А„линеен и ограничен: ~~А(~=~~х(!. Легко убедиться, что соответствие х» А„является изоморфизмом между Х и е(М, Х). Т е о р е м а 7. Если Х, 1' и л. — линейные нормированные пространства, то пространства .Уз(Х, У; л.) и .У (Х, .У(У, л'.)) являются изоморфными пространствами, причем изоморфным отображением пространства .Уз (Х, 1 У) на пространство ,У'(Х„.У(У, У)) является отображение /» — »с (58.54) (с,и. (58.4б) и (58.48)). Доказательство.
Обозначим отображение (58.54) через Ф: ФИ=Е (58.55) Согласно определению, отображение Ф(г') является таким отображением пространства Х в пространство .У(У, У), что для любого хеХ элемент (Ф(г'))(х) является отображением У в л, и для него выполняется равенство (Ф ( » )) (х) = Г(х) = /„. (58.56) Поэтому для любого уе У выполняется соотношение ((Ф()))(х))(у) = Цу) = Р(х, у). (58.57) Докажем линейность отображения Ф: пусть е.Уз(Х, У; г), ) „з.з — числа, тогда ((Ф (М'+ 1»8)) (х)) Ы„,=„,М+ 1»8) (х у) = =Х/(х, у)+1»8(х, у) = ) ((Ф(Г))(х))(у)+)»((Ф(8))(х))(у)= =(()Ф(» ))(х)+(1»Ф(8))(х))(у) (мы здесь использовали обычное правило сложения функций и умножения их на число). Так как это равенство верно для любых у е У, то 179 (Ф (2.1'+ ру)) (х) = (1 Ф ( /')) (х) + (рФ (К)) (х) = (2.Ф ф+ рФ (я)) (х), и так как это верно для любых хеХ, то Ф(~~+ р~) =2.Ф ф+ рФ(8), что и означает линейность оператора Ф. Если Г=Ф((), то ~~Д = ~~ Г|~ (см.
(58.50)), т. е. оператор Ф действительно сохраняет норму. Поэтому если )эьО, а следова- тельно, и )ЯФО, то ) Фф))зьО, откуда ФфФО, т. е. ядро отображения Ф состоит только из нуля, что означает взаимную однозначность (инъективность) отображения Ф. Наконец покажем, что отображение Ф отображает простран- ство,х,(Х, У; х.) на все пространство .У'(Х, .У(У, х.)) (сюръек- тивность отображения Ф). Пусть à — линейный ограниченный оператор„ отображаю- щий пространство Х в У'(У, У), тем самым для каждого хеХ элемент Г(х) является ограниченным линейным оператором, отображающим пространство У в х..
Это означает, что для каждого уе У элемент (г"(х))(у) принадлежит пространству х.. Положим 1(х, у)=(Г(х))(у). (58.58) Из линейности операторов Г и г(х) следует, что Дх, у) является билинейным отображением Хх У в х., а из неравенства ~(Дх, у) ) = 1(Г(х))(у) )( < ~~ Г(х) )( 1)у1 < 1( Ц ~/ х (( 1у (( — его ограниченность, т.
е. ~е.У2(Х, У; с). При этом ((Ф(Г)) (х)) (у) = ~ (х, у) = (Г(х)) (у), и так как это неравенство верно для любых хеХ, ун У, то Ф(~)=Г.: 1 По аналогии с ограниченными билинейными отображениями вводится понятие ограниченных мультилинейных отображений (см, и. 58.1) произведения линейных нормированных про- странств Х,, Х, ..., Х„в линейное нормированное пространство У и определяются их нормы. Линейное нормированное про- странство мультилинейных ограниченных отображений 1': Х, х хХ,х...хХ„- У обозначается .х*„(Х,, Хм ..., Х„; У).
Ймеет место теорема, аналогичная теореме 8. Пространства .У(Х, У'(Хм ..., .У(Х„, У))) и .У'„(Х„Хм ..., Х„; У) изоморфны между собой, при этом существует такой изоморфизм этих пространств, что для элементов Гн.У(Х„У(Хм ..., .хр(Х„, у))) и ~а У„(Х„Хз, ..., Х„; У), соответствующих при нем друг другу, для любых хгнХ„, 1=1, 2, ..., л, имеет место соотношение 180 (...((Ехг)хг)...)х„=Дх„хг, ..., х„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
