kudryavtsev3a (947417), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

П О Замечание. Отметим, что неравенство (58.15) справедливо очевидным образом и без предположения, что у'е Ы, [а, Ь|, гак как если ЯИ.„~а, Ь], то ~[у]~„=+со (см. (58.14)) й поэтому неравенство (58.15) выполняется очевидным образом, Аналогично, неравенство (58.16) тривиально в случае, когда 1'Я Е В [а, Ь1, так как тогда )[(](„= + со; конечно, как обычно, здесь предполагается, что для рассматриваемых функций существует правильное разбиение отрезка [а, Ь~] (см. и.

55.1). Упражнение 8. Обозначим через С'с [а, Ь] подмножество прострагктва сьг[а, ь], сосгоящес из непрерывно ди44геренцнруемых на отрезке [о, ь] функций. Доказать, что множество С'г" ! [а, Ь] является линейным нормированным пространством, если под нормой функции у"е С!1.! [а, Ь] понимать ее норму в пространстве С/.![а, Ь]. 58.4. СВОЙСТВА ПОЛУНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ В полунормированных пространствах можно ввести понятие сходящейся последовательности и ее предела.

Определение 15. Если последовательноспгь (х„) элементов полунормированного (в частноспш, нормированного) линейного пространства Х такова, что существует элемент хеХ тихой, что 1пп Цх„— х й =О, то последовательность (х„) называют л 156 сходящейся по полунорме (соответственно по норме) к элемен- ту х и пишут х=1ппх„. Вводя в каком-либо линейном пространстве функций различные полунормы 1в частности, нормы), будем получать различные понятия сходимости последовательностей функций. Например, сходимость в смысле нормы 157.13) означает равномерную сходимость; сходимость в смысле полунормы 157.14) является уже сходимостью другого рода: она называется сходимость>о в среднем, или, подробнее, в смысле р-среднего 1иногда говорят и просто о сходимости в смысле пространства Е ).

Мы уже встречались с частным случаем сходимости такого рода при р= 1 1см. лемму 2 в п. 55.2, следствие теоремы 2 в п. 56.7 и метрику 157.2)) и при р=2 1в следствии из теоремы 12 п. 55.9). При р=2 сходимость в среднем называется также сходимостью в смысле среднего квадратичного. Неравенства 158,15) и 158.16) между различными полунормами функций позволяют установить связь между различными видами сходимостей функций. Например, пусть последовательность функций 7'„, п=1, 2, ..., и функция ( таковы, что; 1о.

П»следовательность 1 >'„) сходится равномерно на отрезке '1а, Ь1 к функции 2о. При всех п=1, 2, ... Š— (нЯЕ [а, Ь1. 'Тогда последовательность 1>„) сходится к функции ( на отрезке ~а, Ь1 и в смысле р-среднего, 1<р(+со. В самом деле, в силу равномерной сходимости последовательности 1(„), последовательность 1/'„— 7') ограничена и, следовательно, („' — (нВ*1а, Ь~1()ЯЕ 1а, Ь~. Поэтому, согласно 158.16), справедливо неравенство 1 кл-( ) кл. Равномерная сходимость последовательности 17'„') к функции ~'на отрезке )а, Ь 3 означает, что 1пп11(„' — Я~ =О. Следовательно, Упражнение 9*. Построить пример последовательности непрерывных неотрицательных на отрезке функций, сходящейся в среднем, но не сходящейся ни в одной точке.

Следует обратить внимание на то, что в полунормированном пространстве у сходящейся последовательности предел, 157 вообще говоря, не единствен. При з гом если 1пп х„= и и 1пп х„= Ь, то полунорма разности двух пределов равна нулю: Цсс — ЬЦ=О. Это сразу следует из неравеисгва Ца-ЕЦ<Ца — х„Ц+Цх„-ЬЦ. Верно и обратное: если а= 1пп х„и Ц сс — (г Ц = О, то и (г = 1пп х„. В и- ~ самом деле, из неравенства Ц х„— (г Ц = Ц (х„— а) + (и — (г ) Ц < Ц х„— а Ц+ ! ! и — Ь ! ! = Ц х„— а Ц вытекает, что если 1пп Ц(х„— а)Ц=О, то и !пп Ц.х„— ЬЦ=О. Определение 16.

Пусть Х вЂ” линейное псглуиормировстное (в частноспги, нпрмированссое! пространспгво. Множс сгпвсг Е~ Х называется пграиичегсным или, подрооиее, огриииченным по ггплунор.ие (соогггветсгггвенсссг пп нормс 1, если существует такач постоян~ач М>0, что для всех хнЕ выполичепюя иеривеиспгво ЦхЦ<М. Лемма 4. Если последовителыюсть (х„) сходится по гюлунорлсе в Х, то она ограничена. Дока з а тельство. Пусть х= 1пп х„; в силу сходимости последовательности, существует такое и, что если п>п, го Ц.х„— хЦ<1 и, следовательно, ЦхЦ=Ц(х.

х)+хЦ<Цх. хЦ+ЦхЦ<ЦхЦ+1. Положим М=гпах (Цх, Ц, Цх Ц, ..., Цх„Ц, ЦхЦ+1); тогда, очевидно, для всех п=1, 2, ... справедливо неравенство Цх„Ц< <М. П Для линейного пространства с полунормой можно определить понятие непрерывности его отображения в другое полу- нормированное пространство.

Определение 17. Отображение (': Х вЂ” г 1' полупор.иировштого (в частности, нормировагсггого) проспграиства Х в полуиормированное (нормированное! простраснягво 1' называется непрерывным в точке х„еХ, если для любой ггослсдователыюсти (.г„), сходящейся к хь по пплунор,ис (гсоргсе) простригютва Х: 1пп х„= хь, последовапгельн ость ', ('(х„) ) сходигпся к ('(хв ) по "Л полунорме (гспрме1 пространства У: 1нп ( (х„) =((хв ). 158 В случае нормированных пространств непрерывность отображения в смысле норм равносильна его непрерывности в смысле метрик, порожденных этими нормами.

В терминах неравенств непрерывность в точке хь отображения ( полунормированного пространства Х в полунормированное пространство У формулируется следующим образом: для любого е>0 существует такое б>0, что для всех хнХ, для которых й х — х„й <б, выполняется неравенство 1(((х) — Дх„)й <с. Эквивалентность двух сформулированных выше определений непрерывности доказывается по той же схеме, что и в случае, когда Х и У вЂ” множества действительных чисел (см.

и. 4.5). Лемма 5. Полунорма ах)( является непрерывной функиией на полунормированном пространстве Х. Доказательство. Пусть заданы элемент хьнХ и число а>0. Тогда для всех таких х, что ~(х — х„'в<к, в силу неравенсзва 158.10), имеем ~)~х~) — 'йх В<'йх — х„()<с, т. е. условие непрерывности функции на Х выполняется при выборе 8=в. 13 Определение 18. Пусть Х и У вЂ” -линейные полунормированные (в частности, нормированные) пространства. Отображение (, изоморфно отображающее пространство Х как линейное пространство на пространство У (см. определение 9) и такое, что для любого хаХ справедливо равенство а- ах = Их)!1т называется изоморфным отображением или изоморфизмом линейных полунормированных (нормированных) пространств.

Если для линейных полунормированных (нормированных) пространств Х и 1' существует изоморфное отображение Х на У, то они называются изоморфными. Например, если (а, Ь) конечный интервал, то соответствие, прн котором каждой функции полунормированного пространства ЯЕ ~а, Ь) ставится в соответствие ее сужение на интервал (а, ), является линейным отображением пространства АЕ„~а, Ь) на пространство з1Е (а, Ь) (сюръекцией), сохраняющим полунорму. Последнее следует из того, что значение интеграла от а до Ь от функции не зависит от значений этой функции или от их отсутствия в точках х=-а и х=Ь. Ядро отображения состоит не только из нуля, а из всевозможных функций, равных тождественно нулю на интервале (а, Ь) и принимающих на его концах произвольные значения (отсюда следует, что э.га сюръекция не является биекцией).

Сужение на интервал (а, Ь) непрерывных на отрезке (а Ь) функций отображает нормированное пространство СЕ,[а, Ь1 не на пространство, а только в пространство СЕ„(а, Ь) (не каждую непрерывную на интервале (а, Ь) функцию можно продолжить с сохранением непрерывности на отрезок 1а, Ь ), но зато в этом случае указанное сужение является взаимно однозначным отображением (инъекцией), поскольку оно сохраняет значение нормы).

Оно является изоморфным отображением пространства СА (а, Ь1 на его образ в пространстве СЕ„(а, Ь) (всякая инъекция является биекцией при отображении множества на образ). Два изоморфных полунормированных (нормнрованных) пространства могут отличаться друг от друга только природой своих элементов, а не свойствами пространства.

Поэтому в дальнейшем мы часто не будем различать изоморфные полунормированные (нормированные) пространства, состоящие из различных элементов; такие пространства можно «отождествлятьп. Поясним это подробнее. Пусть Х и У--линейньге полунормировапные пространства, У~ У*, а /': Х- г' — изоморфное отображение. Рассмотрим множество ХЯ=Х()(У*'г У), получающееся из пространства Х присоединением к нему множества 'г'*г, У.

Таким образом, Хвз,Х= У*з, У. Определим для элементов множества Х* операции сложения н умножения на число, а также норму — они будут снабжаться индексом Х*. Для удобства введем отображение гг: Л в~ У*, задаваемое фор- мулой ,, „.,1л.т), если.'Х, Г(х) ы1 т, если хе Х*гХ. (58.17) Ясно, что г' является взаимно однозначным отображением (биекцией) множества Х" на г'в. Теперь для любых хе Х*, г аХ" н любых чисел )., р положим ().т+1гу)к*'=" г '() т'(х)+рР(г)), !)л/)» = /!7г(х)!!. ~бй Так, определенное пространство Хв является линейным полу- нормированным (нормированным), изоморфным пространству Ув и содержащим Х в качестве своего подмножества. Под утверждением «отождествим в пространстве г'* множество у с изоморфным ему пространством Х» и понимается рассмотрение указанного выше пространства Х* (сравните с отождествлением изометрических метрических пространств и.

57.!). Уира жнсни я 10. Пусть Х- линейное полунорлгированнос пространство. Элсмситы .тнХ и ув У называются эквивалент<мни. осли ~йт — гй=О. Обозначим через Х множество, элементами которого являются классы эквивалснтнык .>лемснтов пространства Х. Пусть т а Х. Г н Х, .т и Я, г н гт 'ь — число. Определим .гн-У как элемент множества Х, содсржащий .тн у, а Хк .. как элемент из х, содержащий хс положим 1) т яг ='ляй».

Доказать. что данныс определения корректны, т. с. не зависят от выбора элементов л и Е и усу, и что Х является линейным нормированным пространством с нормой 1йт1(г Н. Докнтагь, что функиии хч г и г.т непрерывны на всяком линейном погунормированном иространсгве Х (». и г .глемегпы лого иространсгва, в Х чиссю), иначе говоря. что онерапии сложения и умножения на чис:ю непрерывны в укатанном пространстве. 585. СВОЙСТВ» НОРМИРОВАННЫХ НРО»."ГРАН».ГВ В линейном нормированном цространсгве Х можно естес! венцым образом ввести рассгояние между зггемегггггми мото цросгрансгва.

Именно: снравелливо следующее утверждение. Лемма 6. Лино'йпое гтрмнриыоннос ггрсгсггг)гас(спмв Х угсг.гусс!)ген мсчиричесжнги пространство н с метрикой р (х, г) = !;'.т — г(~ . (58.18) щш эпгсэлг ется)илюсиць после!)сгыотс.гыигетей в ггростпрсни пмс Х по этой .исонрнне ссгггггидсгеггг ео е»сгс)гг.ггсгсггглгсг по норлни Доказательство. Функция р(.т, г). определенная формулой (58.! 8). дейсг вительно является расстоянием: свойства расстояния (см. и. 57.1) вытекают из свойств нормы 1 4 (цроверьте эго).

Характеристики

Список файлов книги