kudryavtsev3a (947417), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Упражнения. 3. Доказать, что в и-мерном пространстве каждая система линейно независимых векторов, линейной оболочкой которых является все пространство, состоит из и векторов. 4. Доказать, что кажная система из и линейно независимых векторов а и-мсриом пространстве является его базисом. Примером и-мерного действительного пространства является и-мерное арифметическое векторное пространство (см. п. 18.4). Аналогично этому пространству может быль построено комплексное арифметическое и-мерное пространство С". Его точками называются упорядоченные системы и комплексных чисел: х=(х,, ..., х„), х,. иС, )'=1, 2, ..., и. При этом если хи С", ).~С, то ) х = (л.хг, ..., лл„) и для х=(х,, ..., х„)~ С" и у=(у,, ..., уя)еС" всг х+у = (х,+у,, ..., х„+у„).
Базисом в этом пространстве являются векторы е,.= )гбгг, ..., б,'„1, где бг — так называемый символ Кронекера*); "' Л. Кронекер 11823--1891) -. немецкий магематик. 140 1, если г'=!', 81= г О, если г'гв/. Очевидно, что х=(х,, ..., х„)= 2 хгег, т. е. выполняется г=г условие (58.2). Другим примером конечномерного линейного пространства является пространство Р" многочленов, имеющих действительные коэффициенты и степени, не превышающие некоторого натурального и, к которым добавлен нулевой многочлен.
Для краткости будем называть пространство У" просто иространсгггвом дейсгивительных мноеочиенов степеней, не иревынгангигих и. Покажем, что оно является (и+1)-мерным. Каждый его элемент имеет вид р(х) = а„+а,х+ ... +а„х", т. е. является линейной комбинацией и+1 степеней переменной х, т. е.
функций хгг=1, х, хг, ..., х". Докажем, что эти функции образуют базис в пространстве У ". Для этого надо убедиться, что они линейно независимы. Пусть в пространстве У" некоторая линейная комбинация рассматриваемых степеней равна нулю: ав+а,х+ ... +а„х" =О, (58.3) т.
е. многочлен р (х) =ав+ агх+ ... + а„х" тождественно равен нулю и, следовательно, во всех точках числовой оси принимает те же значения, что и ггулевой многочлен: рв(х) = О+Ох+ ... +Ох, а в этом случае (см. п. !3.2) коэффициенты этих многочленов равны, т. е. ао — — О, гг,=О, ..., гг„=О, (58.4) что и означает линейную независимость степеней 1, х, хг, ..., х".
Отметим, что из того, что два многочлена, принимающих одинаковые значения на каком-нибудь интервале числовой оси, имеют одинаковые коэффициенты (см. и. 13.2), следует, что степени 1, х, х', ..., х" линейно независимы на любом промежутке числовой оси, не вырождающемся в точку. Впрочем, то, что из выполнения условия (58.3) на некотором промежутке числовой оси, не вырождающемся в точку, следуют равенства (58.4), легко показать и непосредственно. Для этого можно, например, продифференцировать тождество (583) гг раз; тогда получим 141 гг! а„=О, откуда а„=О. Если уже доказано, что для некоторого 1т, 0(1г<л имеют место равенства а„, = ... =а„=О, то тождество (58.3) примет вид ае+апт+...+сг.т =О. Продифференцировав его гт раз, получим и, =О.
Таким образом, выполняются все равенства (58.4). Будем говорить, что векторы у,, ..., у„линейного пространства Х выражаются через векторы х,, ..., х„того же пространства с помощью матрицы (и„), г'=1, 2, ..., и, 1'=1, 2, ... ..., л, если г,=и, т, +... +и„,х„, г=1, 2, ..., п. Если векторы х,, ..., х„ образуют базис пространства и матрипа (ац) невырожденная, т. е.
г)е1(ац)ФО, то векторы у,, ... ..., у„также образуют базис. В самом деле, если ).гуг+ ... +).„у„= О, то Хг(а,,т, +...а,„х„)+...+Х„(а„гх, +...+и„„х„)=0, ) га,„+...+г.„а„„=О, определитель этой однородной системы линейных уравнений относительно неизвестных Хг, ..., Х„гго условию не равен пулю: дег(ао) ~0. Следовательно, эта система имеет единственное регггеггие ).г =) г=...=л.„=О, что означает линейную независимость векторов у„..., у„.
Поэтому они являются базисом расслгатриваемого пространства. В частности. если векторы у„..., у„выражаются через базис .л„..., х„с помощью т.реугольной матрицы, т. е. матрицы (аг ) вида а„0 ... 0 а„а„... О а„ г гг„г ... гг,р, 158.5) мт (Хга,, +...+Ха„,)л, +...+(Хга„,+...+)О„„)х„=О; отсюда, в силу линейной независимости векторов х,, ..., л„, следует, что ).гаг г+ ... +Х„и„г =О, (если 1>1, то ап — — 0) с Диагональными элементами а,о ..., а„„, не равными нулю, го векторы у„..., у„также являются базисом, ибо в этом случае с1ет(ап) = амазз.... и„„Ф О. В качестве примера рассмотрим (и+1)-мерное пространство зт" многочленов степеней, не превышающих натурального числа л.
Как было выше показано, степени 1, х, х~, ..., х" образуют базис этого пространства. Рассмотрим произвольную систему многочленов р„(х)та„с+амх+...+амх ноя", /с=О, 1, ..., п, где многочлен р„(х) имеет точно степень /с: а„„40, к=О, 1, л. Тогда очевидно, что эти многочлены выражаются через степени 1, х, х~, ...„х" с помощью треугольной матрицы (58.5), диагональные элементы ам которой не равны нулю. Поэтому каждая указанная система многочленов линейно нсзависима и образует базис в пространстве У". Отметим, егце, что так как линейная зависимость многочленов означает наличие соответствующих линейных соотношений между их коэффициентами, то она не зависит от того, на каком промежутке (не вырождающемся в точку) числовой оси меняются аргументы этих многочленов.
Поэтому линейная зависимость многочленов в пространстве У" равносильна их линейной зависимости на любом из указанных промежутков. В качестве конкретных примеров рассмотрим некоторые часто встречающиеся в анализе специальные многочлены. Примеры. б. Многочлены называются многочленами Лежандра. Легко убедиться, что 1 / Н"х~" т (2л — 1)!! Р ( ) . 1 — л+ 2ЧП(, Нх" ) в! где многоточие обозначает члены более низкого, чем п, порядка многочлена Р„(х).
Следовательно, полипом Лежандра Р„(х) имеет степень л, поэтому полиномы Лежандра РДх), Р,(х), ... ..., Р„(х) образуют базис в пространстве У". Это, в частности, означает, что всякий многочлен степени, не превышающей л, является их линейной комбинацией. 7. Многочлены ТДх)=1, Т„(х)=, сов(пагссозх), л=1, 2, 1 называются полиномами Чебышева. !43 Прежде всего убедимся, что Т„(х) является многочленом степени и. Из формулы Муавра (см.
п. 23.1) следует, что сох изр+ ! яп иср =(сов ср+ ! з!п<р)" = =сов" ср+!С!соя" '~рз!п~р+!зСзсоа" з!ряп'зр+ +ззСз сов" з(ра!пз(р ! !4С4 соя"-4<рз)п4ср+... Приравняем действительные части получившегося равенства сохи!р=соз" ср — С„'соя" зырян'~р+С~соа" ~<ряп~~р — ...; (58.6) в зависимости от четности и последним слагаемым буде! либо яп" !р (если и четное), либо С„"' сов азяп" ' <р (если и нечетное). Заметим, что в правую часть равенства (58.6) входят только синусы в четных степенях и поэтому, применив подстановку яп'8! = 1 — сов' !р для каждого слагаемого правой части, получим Сз'соя" -'"язв)пз" <р=Сз'сох" з" !р(! — созз~р)"=- =( — !)'С„'" "р+..., где многоточие означает, что в остальных слагаемых сов ~р имеет меньшую, чем и, степень.
В результате из (58.6) будем иметь соагнр=(1+Сз+С4+...)сов"<р+,. =2" !сох"аз+..., (58.7) где справа многоточие означает линейную комбинацию степеней косинусов соя" !<р, сох" з~р, ..., 1 (мы воспользовались тем, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна 2" '). Положив в равенстве (58.7) ез=агссоах, а следовательно, сояср ='х и разделив обе части равенства на 2" ! получим — —,соаиагссозх= Т„(х), где, в силу доказанного, в правой части стоит многочлен степени и с коэффициентом, равным 1, при х".
Итак, Т„(х) — многочлен степени и. Поэтому, согласно доказанному выше, многочлены Чебышева Те(х), Т,(х), ..., Т„(х) образуют базис в пространстве эз". Если У и У вЂ” подмножества линейного пространства Х, то через У+У обозначается множество всех элементов х пространства Х, представимых в виде х=у+з, ун У, знУ. Множество У+У.
называется (алгебраической) суммой .ииоззсесизв )' и У.. Если множества Г н У являются подпространствами пространства Х., то множество У+ 2 также является подпространством пространства Х. Действительно, путь х, н У+#, хзеу+У и ).„~.з --числа. Согласно определению суммы множеств, элементы х, и хз представимы в виде х, =у,+з, и !44 х,=уз+с,,у,, г,е У, =,,аз ел.. Поэтому),х, +) их,=),(у,+а,)+ +)з(уз+аз)=()„,у,+)зу,)+(),,е,+)таз). Так как г. и У вЂ” -подпространства, то ).,у,+с.,у,е У, смз, +),а,нл.. В силу определения суммы У+л., отсюда следует, что ),,х, +) зхз н У+У. Это и означает, что множество У+У является подпространством. Сумму двух поднространств У н 2 называют прямой и пишут УО+л„ если пересечение У(12 подпространств У и л.
состоит только из нулевого элемента. Для этого необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент хе У+2 был единственным образом представим в виде х=ул-с, ун У, кал,. В самом деле, еслиУ(т)г =(О', и У,+з,=У,+аз. где У„ у,н );:,,нг, то у,— у,=,— =,. Так как У и г — подпространства, то у, — у,й У, ",— з, нг, т. е. элемент у, — уз=аз —:, принадлежит одновременно к У и к 2 и поэтому равен нулю: у, — узч яа —:, =О. Отсюда следует, что у, =у,, г,=е,. С другой стороны, если хе У()У„х~О, то х=х+0=0+х, т. е. элемент х имеет не единственное представление в виде х=у+гь где уе У, аел,. Определеийе 7. Отобрижение 1' линейного пространства Х в линейное пространство У называется линейным отображением (или, что то же, линейным оператором), если.для любых двух злсментов хе Х, унХ и любых чисел ), и и справедливо равенспгво 1()х+ цу ) = )з1 (х) + ц1(5 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
