kudryavtsev3a (947417), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Следовательно, 1пп р*(х*, х„)=0, и — ° позтому и 1гнп р*(хв, х*„)=0. и— Таким образом, мы доказали, что данная фундаментальная последовательность (х*„) сходится в Х*. Полнота Х* доказана, П Замечание. В применении к пространству рациональных чисел Х=Д доказательство теоремы 1 дает метод построения множества Хе=те' действительных чисел исходя из множества рациональных чисел. Упражнение П. Доказать, что с точностью до изометрических пространств пополнение метрического пространства единственно. 57.6. КОМПАКТЫ По аналогии со случаем евклидовых пространств (см. определение 29 в п.

18.3) дадим следующее определение. Определение 10. Множество метрггческосо пространства иазываетсв комнактолг, если из любой нос,гедователлности ело !30 точек можно выделить подпоследовителы!ость, сходящуюся к его точке, Ясно, что компакт является замкнутым множеством в любом содержащем его метрическом пространсз!, Действительно, если Е~Х, Х-- метрическое пространство, Е компакт и х — его точка прикосновения, то сузцествует такая последовательность х„шЕ, п=1, 2, ..., что 1пп х„=х.

Согласно определению компакта, из этой последовательности можно выделить сходящуюся к некоторой точке компакта Е подпоследовательность. Так как этой точкой может являться только х, то хшЕ. Это и означает замкнутость компакта Е в пространстве Х. Очевидно также, что всякое замкнутое подмножество компакта является компактом. Упражнение 12. Доказать, чзо два непустых непересекаюшихся замкнутых множества метрического пространства, из которых хотя бы одно является компактом, находятся на положительном расстоянии 1определите понятие расстояния межлу двумя множествамн метрического пространства).

Определение 11. Пусть Š— - - подмножество метрического пространства Х и н>0. Множество АсХ пазывиется с-сетью для множества Е, если для любой точки хшЕ сущеспюует такия точка у ш А, что р(х, у)<н, Определение 12. Множество Е метрического пространства Х назывиется вполне огриниченным, если для него при любом с>0 в простронстве Х существует конечная а-сеть. Упражнение !3. Доказать, что если множество вполне ограничено в некотором метрическом пространстве, то для этого множества при любом с>0 сушествует конечная с-сеть, состояшая только из его точек. Легко убедиться, что всякое вполне ограниченное множество является ограниченным. Действительно, если Š— вполне ограниченное множество, то для него, например при с=1, существует конечная г;сеть а,, а, ..., агс Поэтому, каковы бы ни были точки х, шЕ и х шЕ, для них существуют такие а„и а„, что р(х,, а„,)<1, р(хз, а„,)<1.

Следовательно, р(х, у)<р(х, а„)+р(ако о„)+р(а„, х )<2+ щах р(а!, а) вз 2 а ! = 1, 2, ..., в и, таким образом, диаметр сйагп(Е) множества Е не превосходиг конечной величины 2+ птах р(и!, а,). , ! — 1 . 2, ..., в 1 2 1 Обратное неверно: существуют ограниченные множества, не являющиеся вполне ограниченными.

Пример ь Рассмотрим множество Е точек е„=(0, О, ..., О, 1, О, ...) гильбертова пространства 1 (см. пример 6 в и. 57.1), т. е. точек (х,, ..., х„, ...), 2 х„' < + ж, у которых л-я координата равна — 1 единице, а все остальные равны нулю. Очевидно, р(е„, е )= 22, п~т, п, т=1, 2, ..., (57.37) и, таким образом, г(1ат(Е)= уг2 и, следовательно, множество Е ограничено. Вместе с тем из выполнения условия (57.37) следует, что для множества Е нет конечной в-сети ни при каком ж О<с< —. (57.38) 2 В самом деле, если бы нашлась такая е-сеть: А = (а,, а,, ..., а„), то для каждого е„, и=1, 2, ..., нашелся бы такои элемент а, этой в-сети, что р (е„, а, ) < е.

Так как число элементов с-сети А конечно, а число элементов множества Е бесконечно, то найдется номер 1а, для которого существуют по крайней мере два таких различных элемента е„и е, что р(е„, а, )<с, р(е„, а, )<с. Поэтому р(е„, е )<р(е„, а, )+р(а,, е„)<2с <, '2, 'О че <57 38> а это противоречит равенству (57.37). Отметим, что из элементов множества Е=(е„) нельзя составить никакой фундаментальной последовательности, кроме стационарных с некоторого номера.

Это сразу следует из выполнения равенства (57.37). Поэтому последовательность (е„) не содержи~ сходящихся подпоследовательностей (т ак как всякая сходящаяся последовательность фундаментальная) и, следовательно, множество Е не является компактом. Вместе с тем множество Е предо~валяет собой замкнутое множество: если бы нашлась какая-либо точка прикосновения х множества Е, не содержащаяся в нем, то нашлась бы последовательность, состоящая из различных точек множества Е=(е„) и сходящаяся к точке х.

Эта последовательность была бы фундаментальной, что противоречит сказанному выше. Итак, множество Е= (е„) является ограниченным замкнутым множеством, которое не есть компакт. Этот пример показывает, 122 что теорема о том, что в конечномерном пространстве И" свойство множества быть компактом равносильно ограниченности и замкнутости множества (см. теорему 3 в и.

18.3), не имеет прямого аналога в случае произвольных метрических пространств. Кроме того, этот пример показывает, что гильбертово пространство 1, не изометрично никакому конечно- мерному пространству, так как в последнем из ограниченности и замкнутости множества следует, что оно является компактом. Примером вполне ограниченных множеств являются все конечные подмножества метрических пространств, а также все ограниченные множества в конечномерных евклидовых пространствах. Упражнение 14. Доказать, что всякое ограниченное в й" множество явпяется н вполне ограниченным.

Нетривиальным примером вполне ограниченного множества в бесконечномерном пространстве является так называемый гильбертов кирпич. Пример 2. Множество Д гочек х=(х,, ..., х„, ...) гильбертова пространства 1, координаты которых удовлетворяют условию (57.39) ~х„~<., и=1, 2, н называется гипьбергповым кирпичожп Иногда гильбертовым кирпичом называют множество таких точек х=(х„..., хв,,) и(„для координат которых выполняются неравенства ) х ~ < —,, и=1, 2, ..., поскольку у обычного 2"' кирпича длина в два раза больше ширины, а ширина в два раза больше толщины.

Мы будем придерживаться условия (57.39). Докажем, что гильбертов кирпич Д" является вполне ограниченным множеством. Каково бы ни было с>0, выберем и так, чтобы (57.40) и обозначим через Д" и-мерный параллелепипед, являющийся проекцией гильбертова кирпича Д" в 1с", иначе говоря, Д" †э множество тех точек Д"', у которых все координаты начиная с (п+1)-й равны нулю: х=(х„..., х„, ..., О,...).

Множество Д" ограничено в 1кв и поэтому у него имеется конечная --сеть: 2 А =(и,, ат, ..., а„). Выберем произвольно точку х =(х,. „,, х„, ...(а аД"' и обозначим через хив ее проекцию в пространство )1: 123 .т'"'=(х,, ..., х„, О, ..., О, ...). (57.41) Так как хьо я Д", то для нее существует такая ~очка и) --сети А, что р(х'"', и;)<-, (57.42) а тогда р(х, а,.)< р(.т, хво)+ р(х'"', а) < (57.41) (57.42) 5( и=п41 (57.34) 4' '~ 1 (57.40) с множества Е.

Согласно определению -' -сети, имеет место включение Поэтому найдется такая точка а, в =окрестности которой 2 содержишься бесконечно много членов последовательности (х„), тогДа сУ)пествУет н поДпослеловательность х„в Циь -), т=1, 2, ...; для нее р(х„, х„) < р(т„, а()+ р(а(, х„) < — + — ' = е, ! 24 т. е. множество А являе)ся с-се)ью и для гильбертова кирпича. Нетрудно убедиться, что из того, что гильбертов кирпич задается нестрогими неравенствами (57.39), следует, что он является замкнутым множеством. Таким образом, он представляет собой замкнутое вполне ограниченное множество, Лемма 5.

Множество вполне огриниченв тогда и только тогда, когда каждая последовательность этого множества содержит фундаментальную подпоследовапгегьноспгь. Доказательство. 1) Пусть Š— вполне ограниченное подмножество метрического пространства Х и задана последовательность х„в Е, и = 1, 2, .... Зафиксируем произвольно с>0; для него существуе~ --сеть А=(а,, ..., а„), а,нХ, 1=1, 2, ., )(, т. е. диаметр множества значений последовательности не превышает с. Возьмем теперь с= 1 и из заданной последовательности выделим подпоследовательность х„,хин...,х,, (57.43) диаметр множества значений которой не превышает 1 (здесь х, =х„в смысле предыдущей записи). Из последовательности (57.43) выделим подпоследовательность ХЗ О Х«2, ..., Х2«« 1 диаметр множества значений которой нн превышает —.

Характеристики

Список файлов книги