kudryavtsev3a (947417), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Иногда бывает удобно «отождествить» элементы пространств Х и Х', соответствующие друг другу при изометричном соответ- ствии пространств Хи Х'. Поясним более подробно операцию ото- ждествления элементов двух изометрических пространств; Х и У. Пусть Хи У в — метрические пространства, У~ У *,?: Х-+ У изо- метричное отображение.

Рассмотрим множество Х * = Х( ) ( У * ~ У), получающееся из пространства Х присоединением к нему множе- ства У * г, У. Таким образом: Х * г,Х= У а г, У. Определим для точек хеХ" и упХ* понятие расстояния р *(х, у). Для удобства введем отображение Г: Х*- У*, задаваемое формулой йег ) ? (х)', если хеХ, если хаХв'гХ. Ясно, что Г является взаимно однозначным отображением (биекцией) множества Х' на У* Теперь для любых хеХ* и уе У* положим рх (х, у) = р (г" (х), Г(у)) .

Легко проверить, что определенная таким образом функция рк. (х, у) удовлетворяет трем аксиомам расстояния и, следова- тельно, Х* является метрическим пространством, а отображе- ние Г изометрично отображает пространство Х* на У*, причем при этом отображении множество Х переходит в У. Под утверждением «отождествим в пространстве Ув мно- жество Х с изометричным ему пространством У» и понимается рассмотрение пространства Х* вместо У*. Определение 3. Пусть Х вЂ” метрическое пространство; последовительность его точек (х„) называется сходящейся к точке хпХ, если (пп р(х, х„)=0, т.

е. если дл.я любого числа е>0 п — т существует такой комер п„что для всех номеров и > и, выполняется неравенство р(х, х„)<в. Н этом случие пи<петен х= !пп х„или х„- х при и- эо и говорится, что точка х л а является пределом дианой последовательности. Например, в случае примеров 1 и 2 сходимость в рассматриваемых там метрических пространствах означает обычную сходимость числовых (соответственно действительных или комплексных) последовательностей, В примере 3 сходимостью последовательности является сходимост ь последовательности точек в и-мерном пространстве, встречавшаяся нам раньше (см. п. 18.1).

В метрическом пространстве функций, определенных и ограниченных на некотором множестве, расстояние между которыми определяется формулой (57.1), последовательность функций <<«э„) сходится к функции <!>, если 1пп зцр!<р(!) — <р„(!)!=О, <г ю % т. е. если последовательность !<!>„< равномерно на множестве Е сходится к функции <р (см. т. 1, п.

36,2). Наконец, пример 5 дает вид сходимости последовательности функций в смысле некоторой интегральной метрики. В случае п=! подобная сходимость уже встречалась в п. 55.2 (лемма 2) и в п. 56.7 (следствие леммы 4). Для всякого метрического пространства Х естественным образом вводится понятие е-окрестности с<(х, в) точки хпХ, е>0: (7(х, в)= (у:уаХ, р(у, х)<е ), а затем дословно, так же как для и-мерного пространства К" (см. п.

18.2), вводятся понятия точки прикосновения множества, предельной и изолированной точки, граничной и внутренней точки, замыкания А множества А, понятие замкнутого и открытого множества. Справедливы для произвольных метрических пространств и леммы 3, 4, 5 и 6, доказанные в п. 18.2 для открытых и замкнутых множеств и-мерных евклидовых пространств, причем доказательства, приведенные в п.

18.2, сохраняют свою силу и в общем случае. Нетрудно убедиться, что у последовательности метрического пространства может быть только один предел. Допустим противное: пусть у последовательности точек х„, п=1, 2, метрического пространства Х точки ап Х и Ы Х являются ее 1 пределами и аФ(>. Тогда, выбрав в так, что 0<к<-р(а, Ь), 2 !ОО получим, что окрестности ()(а, а ) и ()()г, а) не пересекаются и в каждой из них должны лежать все точки данной последовательности, кроме конечного их множества, а это невозможно, Всякое подмножество метрического пространства является метрическим пространством, поэтому в нем также имеются открьпые и замкнутые относительно него множества.

Связь между открытыми и замкнутыми множествами всего пространства и открытыми и замкнутыми множествами его подпространства устанавливается следующим предложением. Лемма 1. Множество замки сто (ссткрьспго) в подпространсспве метрического прострапсспва тогдсс и пголько тогда, когда оно яв,тется пересечением подпрссетранспгва с зимкнутьсм (соотссетственно открытым) множеством вс его прост)!асс! пгва.

Доказательство. Пусть Е--подпространство пространства Х и Г-- замкнутое подмножество пространства Х. Покажем, что тогда пересечение Е(!Г замкнуто в Е. Действительно, каждая точка прикосновения множества Е()Г, содержащаяся в Е, является и точкой прикосновения множества Г. Позгому (в силу замкнутости Г) она одновременно содержится и в Г, т. е. содержится в пересечении Е!"!Г. Это и означает замкнутость множества Е('!Г в подпространстве Е. Наоборот, пусть Е~ Х и множество Г~Е замкнуто в Е. Если à — замыкание множества Г во всем пространстве Х, то Г является замкнутым в Х множеством, а пересечение Е()Г состоит из точек прикосновения множества Г, содержащихся в Е, которое, в силу замкнутости Г в Е, совпадает с множеством Г, т. е, Г=Е()Г.

Если теперь 0 — открыпгое в пространстве Х множество, то, в силу леммы 6 п. 18.2, его дополнение Г=Х'~0 является замкнутым, а так как Е() 6= Е~(Е(!Г), где, согласно уже доказанному, пересечение Е(1Г замкнуто в Е, зо, в силу той же леммы, его дополнение в множестве Е, т. е. пересечение ЕЯ6, является открытым в подпространстве Е множеством. Наконец, если 0 — открытое в подпространстве Е множество, то его дополнение Г= Е~ 6 замкнуто в этом подпространстве и поэтому, согласно выше доказанному, Г=ЕЙГ, тогда 6=Е('!(Х'! Г), где, все в силу той же леммы, множество Х~Г является открытым в пространстве Х множеством, г ! 57.2. ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА На метрические пространства обобщается понятие фундаментальной последовательности (см.

определение 1О в п. 3.7). Определение 4. 1соследовательссоссггь сх„с! ~!очек метрического проснграпспгва Х называется фундалгессспасьссой (и,ги последовательностью Коши), если для любогд числа с>0 существует такой номер и,, что для вссх номеров сг>п„и т>гг, выполняется неравенство р(х„, х ) <с. !О! Лемма 2.

Если последователы<ость (х„) сходится, пю она Фундаментальная. Доказательство. Пусть 1пп х„=х. Тогда для любого л ю числа а>0 существует такой номер п„что для всех номеров ь п>п, справедливо неравенство р(х, х„)<-. Следовательно, если 2 п>п, и т>п„то р(х„, х„)<р(х„, х)+р(х, х„) <-+-<а. (3 Определение 5. Метрическое проспгранство называется полныл<, если всякая фундал<елтальная последовательноснгь еео точек сходится к его о<се точке. Очевидно, что метрическое пространство, изометричное полному пространству„также является полным метрическим пространством.

Примеры. 1. Метрические пространства действительных и комплексных чисел являются примерами полных метрических пространств. Полным является и и-мерное евклидово пространство Я" (см. п. 18.1). Рациональные числа дают пример неполного метрического пространства. 2. Рассмотрим метрическое пространство функций, определенных и ограниченных на множестве Е, расстояние между которыми определено формулой (57.1).

В этом пространстве последовательность функций <р„, и=1, 2, ..., является фундаментальной, если для любого числа а >0 существует такой номер п„что для всех номеров и > и, и т > т, выполняется неравенство р(<р„, <р ) =кар~ <р„(х) — <р„(х)~ <а, т. е, если последовательность (<р„) удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости последовательности на множестве Е (см. п.

36.2). В силу этого критерия, последовательность (чг„) равномерно на множестве Е сходится к некоторой функции <р, т. е. 1пп хпр1<р(х) — <р„(х)1 =О. л с Е Покажем, что эта функция <р также ограничена и, следовательно, принадлежит рассматриваемому пространству. Действительно, в силу (57.7), для любого числа с>0, в частности для а=1, существует такой номер п„что для всех и >и, и всех хе Е выполняется неравенство ~ <р(х) — <р„(х) ~ <1; 102 поэтому / ср(х ) / < / ср (х ) — <р„, „(х ) / + ! ср„„(х ) ! < 1+ вцр / ср„„(х ) ) . Так как функция ср„ , ограничена, то ограничена и функция 'р. Мы доказали тем самым, что рассматриваемое пространство функций является полным. Можно показать, что метрическое просгранство функций, рассмотренных в примере 5, не является полным, Упражнение 5.

Доказать, что пространство непрерывных на отрезке [а, Ь 1 функций, расстояние между которыми определяется по формуле (57.2), не является полным. 3. Докажем полноту гильбертова пространства 1 (см. пример 6 в п. 57.1). Пусть последовательность точек х'в'=(х~св', х~ф', ..., х~"', ...), /с=1, 2, ..., (57.8) является фундаментальной последовательностью пространства Тогда из неравенства р(х" я', хрй)= > )х~~™ — х1в'~, Ус=1,2, ...,р=0,1,2, „п=1,2, и фундаментальности последовательности (57.8) следует, что при любом фиксированном н числовая последовательность х~"', /с= 1, 2, ..., удовлетворяет критерию Коши (см.

п. 4.7) и, следовательно, сходится. Пусть (пп хвв'=х„. В силу фундамен- к ю тальносги последовательности (57.8), для любого е>0 существует такой номер )с„что при любом номере 7с>к, и любом натуральном р выполняется неравенство р(хн'", хро)<е, Отсюда для любого фиксированного натурального числа сн и подавно ,'>" (хс„"'а' — х~~~)з<сз. «=З Переходя здесь к пределу при р- сс.

получим 103 и так как это верно при любом т=1, 2, „то ',! (Ки — Хг„п)<С2, /Г>/Г,. и= 1 Таким образом, точка у'"'=(х, — х,'"', ..., хи — х!"', ...), /г>/г„принадлежит пространству 1, но тогда и точка х=(х„..., хл, ...)= =хш+у® также принадлежит пространству 1,. В самом деле, (57. 9) '!" х2= Е [(х„— х!н)+х!2! [2< л=! и=! х г < ,'! (Хи — Х'„")2+ , 'Х,'"' < +гкг, /Г>/1„ л=! л= 1 ибо точка х'"' принадлежит пространству 1 и, следовательно, 2 х!н <+оэ. л= 1 Условие (57.9) означает, что !1Ш Х"'=Х, л — х 104 т.

е. что последовательность (57.8) сходится. Следовазелы10, пространство 12 полное. П Согласно определению, фундаментальная последовательность — это такая последовательность„ у которой члены неограниченно сближаются при возрастании их номеров. С такой ситуацией часто приходится встречаться при численном решении математических задач: последователы[о получающиеся решения все больше приближаются друг к другу и, какое бы положительное число ни было задано, на достаточно большом шаге их разность сделается и будет оставаться меньше этого числа.

Характеристики

Список файлов книги