kudryavtsev3a (947417), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Если в пространстве, к которому принадлежат рассматриваемые приближенные решения, они накапливаются около некоторой точки этого пространства, иначе говоря, последовательность этих решений оказывается не юлько фундаментальной, но и сходящейся, то ее предел, как правило, оказывается точным решением задачи. Этим объясняется, что пространства, в которых каждая фундаментальная последовательность сходится, играют большую роль в математике.

Для того чтобы показать, что не всегда фундаментальные последовательности сходятся, рассмотрим следующую задачу. Найти в пространстве гладких кривых, лежащих на заданной Йаш(Е) '="' кпр р(к, у) к е Е, уе Е называется его диамензро,зь Множество метрического пространства называется ограниченным, если его диаметр конечен. (57.10) Упражнения.

6. Доказать, что если Е есть замыкание множества Е в метрическом пространсзве, то 01апз)Е ) =-0)апз(Е) Доказать, по всякая сходяьчаяся последовательность метрического пространства ограничена. Последовательность 1Е„') непустых множеств метрического пространства называется носггедоватвдьносзг)ьго Коши, если они последовательно содержат друг друга и их диаметры стремятся к нулю. Таким образом. последовательность множеств 1Е„) является последовательностью Коши, если: !57.11) (57.12) !05 1) Е„ФЯ, 2) Е„,, ~Е„, н=1, 2, плоскости и проходящих через ее точки А, в В, С, не лежащие на одной прямой, кривую наименьшей длины (рис.

255). Нетрудно видеть, что эта задача не имеет решения, хотя и можно построить фундаментальную последовательность гладких кривых, длины которых стремятся к нижней грани длин л всех гладких кривых, проходящих через точки А, В, С. Для этого достаточно, приближаясь к вершине В угла Е АВС, С гладко скруглять стороны угла (см. рис. 255). Однако полученная таким образом Рис. 255 фундаментальная последовательность не имеет предела в множестве гладких кривых.

Это связано с тем обстоятельством, что в данном случае кривой наименьшей длины является не гладкая кривая, а ломаная с вершинами в точках А, В, С. Рассмотрим некоторые свойства полных метрических пространств. Прежде всего ясно, что каждое замкнутое подмножество полного метрического пространства также является полным пространством. Для описания следующего свойства полных пространств введем понятия диаметра подмножества метрического пространства и последовательности Коши его подмножеств.

Для подмножества Е метрического пространства Х величина 3) 1пп йаш(Е„)=0, (57.13) л о Если последовательность (х„) точек метрического пространства является фундаментальной последовательностью (последовательностью Коши) и Е„=(х„, х„„...), п=1, 2, ..., то последовательность множеств >,Е„) является последовательностью Коши. Теорема 1. В полном метрическом пространстве всякая последователыюсть Коши замкнутых множеств имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.

Следствие. Всякая последовательность Коиш множеств полного л!етрического пространства имеет, и притом единственнуш, точку, явля!ощузося точкой прикосновения !)ля всех множеств последовательности. Доказательство теоремы. Пусть (Р'„)--последовательность Коп!и замкнутых множеств Р'„полного метрического пространства Х. Выбрав в каждом множестве Г„по точке х„ (это возможно в силу выполнения условия (57.11)), '!" л о ! ц п (57.!4) получим фундаментальную последовательность (х„) в пространстве Х. В самом деле, для любого с>0, в силу выполнения условия (57.13), существует такой номер п„, что для всех п>пь выполняется неравенство а(Г„) <с.

Поэтому если п > пь, т > п и, например, и > т, то х нГ, х„н Г„~ Р'„„а следовательно, 15 7. ! 2) р(х, х„)<с. В силу полноты пространства Х, последовательность (х„) сходится, т. е. существует точка х= 1пп.х„, Для любого и=1, 2„..., в силу выполнений условий (57.12) и (57.14), все члены последовательности (х„, х„, „...) принадлежат множеству Е„, а так как зта последовательность сходится к точке х и ń— замкнутые множества, то хор„при любом и, т. е. ° О Е..

106 Если уа 1"1 с"„, то для каждого п=1, 2, ... будем иметь л=! хелп' увал и поэтому р(х, у)<11!ат(р„). Перейдя здесь к пределу прн и- ж, в силу условия (57.13), получим р(х, у)=0 и, следовательно, х=у, т. е. пересечение !"! Е„состоит из единственной точки х. П и=1 Доказательство следствия. Если (Е„) — последовательность Коши полного метрического пространства, то последовательность (Е„) замыканий Е„множеств Е„является последовательностью Кон1и замкнутых множеств. Согласно теореме, существует, и притом единственная, точка хеЕ„, о=1, 2, ....!) Заметим, что в доказанной теореме условие о стремлении к нулю диаметров замкнутых множеств существенно: если это условие не будет выполнено, то пересечение последовательности непустых замкнутых множеств, последовательно содержащих друг друга, может оказаться пустым.

Например, последовательность лучей Г„= (х: х> и) на прямой М образует последовательность последовательно вложенных друг в друга замкнутых множеств 1 Е2 "' '~п пересечение которых пусто: () Г„=о. л -1 57.3. ОТОБРАЖЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Пусть |': Х- У вЂ” отображение метрического пространства Х в метрическое пространство У. Точка у а у' называется пределом отойраженил/' в точке хо, если !пп р(7(х), у )=О. Нп.ч! О В этом случае пишут 1пп/(х) =у . Если 1пп 7'(х)=1'(хв), то отобРажение 7'называетсЯ непРеРывс г ныл1 в 1почке х1н Это определение равносильно следующему определению, формулируемому в терминах последовательностей. ю7 Отображение /: Х- У называется непрерьгвныси в точке х„еХ, если для любой последовательности ~очек х„еХ, и=1, 2, такой, что 1пп х„=х„, имеет место 1пп /(х„)=/(х ).

Как обычно, является верным и равносильное определение непрерывности в терминах окрестностей, Отображение /: Х- У называется непрерывным в точке х аХ, если для любой окрестности 1' точки /'(хв) сугцествует такая окрестность Ь' точки .т, что /(//) К На «5-а-языке» определение непрерывности в точке выглядит следующим образом. Отображение /': Х-+ У называется непрерывным в ~очке х еХ, если лля любого а>0 существует такое б>0, что лля любой точки хнХ, лля которой р(т, х )<б, выполняется неравенство р(/(х) ./(х ))<а. Доказатсльсг во эквивалентности всех приведенных выше определений непрерывности проводится аналогично случаю числовых функций.

Отображение /': Х- У называется ггепрерывггы.и сггггобригкепиеги ггрсгсгггрсггссгггви Х в прострапсгво У, если оно непрерывно в каждой точке .те Х. Если для любого к> 0 существует такое Ь>0, что для любых точек .теХ, х'еХ, для когорых р(т', .т)<б„выполняется неравенство р(./(х'), /(х))<с. то отображение /' называется равнохнерно <еггрерывпысн па гг/гостранствс Х. Равномерно непрерывное отображение метрического пространства в другое метрическое пространство очевидным образом непрерывно в кажлой точке. Последовательность отображений /;; Х- У называется сходла1еасзг к огггобрижегсгсгсг /'; Х-+У, если для каждого хеХ последовательность точек,' /„(х),' метрического пространства У сходится к точке /(х): !пп /„(х) =/'(.т).

г08 Последовательность отображений т„: Х т', сходящаяся к отображению Г: Х- 1; называется равномерно слодяи1ейся, если для любого сс>0 существует такой номер и, что для всех номеров п>п и всех точек хбХ выполняется неравенство р(г'„(х), /(х))<е. Упражнения. 8. Сформулировать и доказать критерий Коши. являюшийся неооходнмым и достаточным условием равномерной сходимости отображений метрического пространства в полное метрическое пространство. 9. Доказать. ч го предел равномерно сходящейся послеловательностн непрерывных отображений одного метрического пространства в лругое шкже является непрерывным отображением. Пример.

Рассмотрим метрическое пространство ограниченных и непрерывных на некотором метрическом пространствеве Х функций 7'„расстояние между которыми определяегся по формуле (57.!). Так как футщаментальность последовательности (т'„') в смысле метрики (57.1) означает„что последовательность ',г'.) удовлетворяет условию Коши равномерной сходимости йа множестве Х, то всякая фундаментальная последовательность непрерывных функций (7'„, равномерно сходится к некоторой функции Г' Эта функция у; как отмечалось вьппе, непрерывна и, как было доказано несколько раньше в этом пункте, ограничена на Х, т.

е. принадлежит рассматриваемому пространству функций. Таким образом, нространство ограниченньгх и непрерывных на лгетрическом гзростраистве Х функлийт является поаныы .метрическилг простраьктвоы, Оно обозначается С(Х)в' и является, очевидно, подпространством всех ограниченных на пространстве Х функций с расстоянием, определенным той же формулой (57.1). В гом случае, когда пространство Х является о~резком числовой оси: Х= [а, Ь1, вместо С([а, Ь)) будем писать короче С[а, о).

Характеристики

Список файлов книги