kudryavtsev3a (947417), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В частности, так как всякая функция, непрерывная на некотором компакте А, лежащем в п-мерном евклидовом пространстве Я", ограничена (см. и. 19.4), то пространство функций, непрерывных на компакте А, с расстоянием, определенным по формуле (57.1). является полным. В дальнейшем буде~ показано, что это верно для любых компактов (см. далее определение 1О в п. 57.6), а не обязательно для лежащих в конечномерном пространстве И". Лемма 3. Отобразгсение ~': Х-+т' .метрического проспи рангтпва Х в .метрическое пространство т' непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого открьопого лтнодкества ггргзгптрансптва 1' являетгя открыты.лг,множество.м пространства Х. " Г первая буква татинского слова сопбпангп непрерывный. $09 Доказательство проводизся аналогично доказательству леммы 2 п.
4! .4. Пусть З': Х-+ 1' непрерывное отображение, )г — открытое подмножество пространсгва У и !з'=у '()г)— прообраз У при отображении з: Тогда если хи б', то для окрестности Г точки 1'(х), согласно определению непрерывности в точке, существует такая окрестность Е'„, что !(Гв)~ Г и, следовательно, сЗ ~ !з'. Таким образом, для каждой точки хв!З существует ее окрестносз ь савв, содержащаяся в б'. Это и означает, что Г- — открытое множество. Пусть при отображении )': Х- У прообраз каждого открытого в У множества является открытым в Х множеством, тогда для любой точки хиХ и любой окрестности )г точки /'(х) прообраз Г=у' ' (К) открытого множества У также открыт.
т. е. является окрестностью точки х. Таким образом, для любой окрестности У точки у (х) существует такая окрестность Г точки х, что !(!з')= Г Это и означает непрерывность отображения г в ~о~хе хеХ. П Л е и м а 4. Отображение з: Х-+ 1' метрического просп|ранства Х в метрическое пространство У непрергввно тогда и только тогда, когди прообриз каждого зи.икнутого лтожества простринства У является зимкнутым лзножестволз пространства Х. Доказательство. Так как открьггые и замкнутые множества являются взаимно дополнительными (см. лемму 6 в п, 18.2) и прообраз дополнения множества является дополнением прообраза множества, то условие, что прообраз каждого замкнутого множества является замкнутым множеством, является равносильным тому, что прообраз каждого озкрытого множества является открытым.
Поэтому лемма 4 сразу следует из леммы 3. П Теорема 2. Композиция непрерывных отображений метрических пространств является непрерывнгвм отображением. Доказательство. Если Х, У и л.- метрические просзранства, г":Х-+1' и е: У- л.- непрерывные отображения, то, согласно лемме 3, для любого о~крытого в л множества 6 множество е ' (6) является открытым в У множеством, а / '(д '(6))=(д.~) '(О) — открытым в Х множеством. Таким образом, прообраз любого открытого множества при композиции е Г' является открьпым множеством, что, в силу той же леммы 3, и означает непрерывность эзой композиции.
3 В дальнейшем нам понадобится еще понятие непрерывности отображения (функции) у=г(х, у), хвХ, ув У, произведения Хх У метрических пространств Х и У (в частности, может быть Х= У) в метрическое пространство л.. Прежде всего заметим, что произведение Хх !' метрических пространств Х и У превращаешься также в метрическое пространство, если в нем ввести метрику р по формуле но р((х', у'), (х, у)) =' (57.15) (аксиомы метрики для р легко проверяются). Отображение Т: Хх )"-+2 называется непрерывным в точке (х, ус)пХх У, если оно непрерывно на метрическом пространстве Хх У с метрикой (57.15), т. е.
если (пп Т(х, у) =Т(хсь у ). Р((а,у), (агу„)) 0 57.4. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ р(/(х), Т(у)) < ()р(х, у)<г!б<а, (57.16) т. е. сжимающее отображение равномерно непрерывно, а следовательно, н непрерывно в каждой точке х пространства Х: !ппу (у) =Т(х). (57.17) Определение 7. Точка хаХ назьгвается неподвижной точкой отображения /: Х- Х, если у (х) =х. Теорема 3 (иринцип неподвижной точки Пикара-Банаха*!).
Сжимающее отображение полного метрического пространствп в себя имеет, и притом единственную, неподвижнуго точку. Более того, если Т: Х- Х вЂ” сжимающее отобрпжение полного метрического прострпнства Х в себя и а — его неподвижная точка: ((и) = а, то для любой точки хапХ итеррационнпя последовательность *' Ш Э. Пикар (1856- 194!) - французский матсиагик; С. Банах (1892— 1945) — - польский математик. 111 Докажем теорему о существовании неподвижной точки у одного класса отображений метрических пространств в себя.
Эта теорема имеет много разнообразных применений при доказательстве сугг!есгвования решений и их приближенного вычисления для тех или иных уравнений. Определение б. Отображение Г: Х- Х метрического пространства Х в своя называепгся сжимпющилг, если сукщесгтвует такое число (), 0 < !7< 1, чгпо для любых точек ха Х, у е )г выполняется неравенство р(.Т(х), Т(у))<,р(х, у).
(57.16) Из выполнения этого условия следует, что если для любого с>0 взять б=а, то для любых двух точек хеХ, уеХ, для которых р(х, у)<Ь, выполняется неравенство хо х, =/(хо) -хг=./(хг) "., х„„г =/'(х„), ... (57.18) сходипгся к точке а, причем если опгобрсгэгсение /' удовлетворяет утьговию (57.16)„то имеепг место следующая ог)еггка сходилгости последовательности 157.18): р(х„, а)< р(хв, /(х )).
(57. 19) х„,,=./'(х„), п=О, 1, 2, является фундаментальной. Действительно, (57.20) р(х„, х„,,) = р(/(х„,), /(х„)) < г)р(х„г. х„) < 9" Р(хо хг) = г) Р(хо /(хо)). (57 21) Поэтому р(х„, х„,.„)<р(х„, х„.г)+р(.х„,г х„„)+... ...+Р(х„,, х„) (д" +г/'' '+...+о"' ' ')Р(хв.
/(х~))= =: — - р (х„ /(х„)) < р(х„, /(х,)). (57.22) Так как 0<г)<1, то 1пп ~ -р(х, /'(х ))=О и, следовательно, для любого с >0 существует такое п„, что для всех п>пв — Р(хо ./'(хо))<с (57.23) а тогда для всех п>п н всех т>0 будем иметь Доказательство. Пусть для отображения /:Х- Х полного метрического пространства Х в себя выполняется условие (57.1б). Выберем произвольно хв е Х н покажем, что соответсг вующая итеррационная последовательность ,"х„) (см. (57.18)) 1Э(Хл -хи и ) < (от.гг) т.
е, последовательность (х„) фундаментальная. В силу полноты пространства Х, отсюда следует, что она сходится, т. е. что существует 1пп х„~, =-анХ. и и Поэтому, в силу непрерывности отображения Итак, )'(а)=а, т. е. а — неподвижная точка отображения Г. Перейдя к пределу в неравенстве (57.22) при лг- ао, получим Р (х тт) ~ — — Р (хо 7 ( хо )) Все утверждения теоремы доказаны. ) Отметим, что для приложений существенным являешься тот факт, что принцип сжимающих отображений дает возможность не только доказать существование решения уравнения, но и найти его с любой точностью при помощи итерационной последовательности (57.!8) и оценки (57,19).
Замечание. Если некоторая степень отображения полного метрического пространства в себя является сжимающим отображением, то само отображение имеет, и притом единственную, неподвижную точку. В самом деле, если отображение (:Х- Х полного метрического пространства Х в себя таково, что его и-я степень Г'"=7"-7' ... 7; л>1, является сжимающим отображением, то у нее и рак существует неподвижная точка хнХ, т, е.
7""(х)=х; тогда / (х) =1( 1 "(х)) =/ "( т(х)), т. е. Ях) — также неподвижная точка отображения г'". Но такая ~очка, согласно доказанной геореме, единственная, следова- тельно, /(х)=хэ Пример. Рассмотрим ингегральное уравнение Вольтерраао и В. Вольтерра 11е60 - 1940) — итальиискиа математик. 1!3 ~ А (х ) (1+ Лг) — А (х) (1) ~ 157.25) ь <~Ц)1к(г+лг, к) — к(г, к)их(5)) сь+)Я+ль) — 7(1)~« !! <17 1а7(К; 1Л11) ьир (х(5)1(Ь вЂ” а)+17'(1+ Л1) — Я) ~, [.ь) ге(а, ь), 1+л1е(а, ь), (57.26) где оз(К, (Лг1) — модуль непрерывности функции К на квадрате Д. В силу непрерывности функции х(ю) на отрезке (и, Ь), она ограничена на нем: ацр 1х (ю) ! < + х7, и,ы а в силу непрерывности функции К(О 5) на квалрате Д, она равномерно непрерывна на нем: (57.27) 1пп оз (К; 1Л11) = О.
л!-.о (57,28) Наконец, в силу непрерывности функции 7, 1пп ( ~'(1+ лг) — ф)1= О. (57.29) Поэтому 1пп (А (х) (1+ Л1) — А (х) (1) ) = О, л!-.о т. е. функция А(х)(1) непрерывна на отрезке 1'а, Ь'). 114 ! х(г)=Х) К(1, 5)х(5) 515+1(1), (57.24) и где К(О к) и 1(1) — заданные непрерывные функции: функция 7 на отрезке (а, Ь1, а функция К на квадрате Д= (а, Ь ) х (а, Ь), ) — некоторое число. Оператор А(х), определяемый формулой ! А (х) '="" Ч' к(О 5) х (5) й+7 (1 ), (57.25) а отображает полное пространство непрерывных функций С" [и, Ь ) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
