kudryavtsev3a (947417), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Доказательство. Множества 6"„' (см. (57.53)) являются открытыми множествами, так как они представляют собой сумму конечной совокупности открытых множеств 6,, 6,, ... ..., ал. ПОЭтОМу ИЗ фОрчуЛЫ (57.54) СЛЕдуЕ1, Чта МНОжсетВа Е„ являются замкнутыми. Из формул (57.53) следуют также соотношение ()6„* = () () 6„=()6„= Х л=1 (57.53> л=-1 1=1 л=1 (57.52> (это означает, что система (ал) образует покрытие пространства Х) и включения (57.56). Из определения множеств Гл (см. (57.54)) и вложений (57.56) следуют включения (57.57).

Наконец, № л № () Рл лл ()(Х(,6'„)=Х(, Ц ал = Х(,х=а. ) л=1 (57.5Ф) л=1 л — 1 (57.55> Доказательство следствия 1. Если >ал( — счетное покрытие пространства Х открытыми множествами и пересечение любой последовательности непустых замкнутых множеств, последовательно вложенных друг в друга, не пусто, то равенство (57.58) возможно только в том случае, если существует такой номер и=п,, что множество Рл является пустым: Г„,=о. В силу формул (57.54) зто означает, что Х=а„"', т. е. что Х= () 6,.

1=1 Таким образом, любое счетное покрытие 16„) пространства Х СОдЕржИт КОНЕЧНОЕ (61, 62, ..., 6л,), ) Доказательство следствия 2. Если метрическое пространство сепарабельно, то из любого его покрытия открытыми множествами можно, согласно лемме 7, выделить счетное покрытие, а из него по следствию 1 — конечное. П (30 Теорема 8. Для того чтобы гистрическое пространство бьто колтакпго.и, необходи.ио и досп1иточно, чпюбы из любого его покрытия онгкрытььии лпюжеспгва.ии,поясно было выделить конечное покрытие.

Доказательство, Необходимость сразу следует из теоремы 7, леммы 8 и следствия 2 леммы 9. Докажем достаточность. Пусть из любого покрьпия метрического пространства Х открытыми множествами можно выделить конечное покрьпие. Допустим, что Х не является компактом, т. е. что существует последовательность х„иХ, и =-1, 2, .„, из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность. Следовательно, какова бы ни была точка х~аХ, она не является частичным пределом последовательности ',т,„'. Поэтому у каждой точки х~Х найдется окрестность (обозноачим ее через 6,), содержащая лишь конечное множество элементов последовательности 1х„).

Таким образом, каждая точка х~Х принадлежит соответствующему открытому множеству 6„а это означает„что система всех множеств 6„образует покрьпие пространства Х: О 6,.=Х. х .х Согласно предположению, из этого покрытия можно выделить конечное покрытие пространства Х. Пусть его образуют множества (57.59) 6„, 6,, ..., 6, Каждое множество этой системы содержит лишь конечное множество членов последовательности ~х„1. Следовательно, и все множества этой системы содержат только конечное множество членов рассматриваемой последовательности.

Это, однако, невозможно, так как, покрывая пространство Х, множества (57.59) должны содержать все элементы последовательности ~~х„), которых бесконечно много. Полученное противоречие доказывает, что множество Х является компактом. П Заметим, что так как для всякого подмножества Х метрического пространства г' множество 6~Х открыто в Х тогда и только тогда, когда оно является пересечением с Х открытого в У множества, то в лемме 7 и в теореме 8 рассматриваемые там метрические пространства Х могут являться подпространствами других метрических пространств У и элементы покрытий 16„) пространств Х могут быть открытыми в У (а не в Х) множествами.

Теорема 9. Для того чтобы сепарабельное .иетрическое проспгропсп1во бы.ю ко.ипиктот, необходимо и досп|аточно, чтобы любая нос ледовательпосп|ь его оепустых за.икнутых ~з1 множеств, последовательно вложенных друг в друга, имела непустое пересечение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость выполнения условий, сформулированных в теореме, для компактов составляет содержание леммы 8, а достаточность вытекает из следствия 2 леммы 9 и теоремы 8. 1Э 57.7 НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ Теорема 10. Непрерывный образ компакта является компактом.

С л е д с т в и е. Нри непрерывном отображении компакта образ каждого его замкнутого подмножества является замкнутым множеством. Доказательство. Пусть ГсХ-+à — непрерывное отображение компакта Х в метрическое пространство У и (У,) — покрытие образа у(Х) пространства Х открытыми в У множествами У„, сх нсЛ. Тогда для любого сс н91 множество Н,=)' '(1'„), согласно лемме 3, открыто, а так как (У,) — покрьпие множества ЯА), го (1г',) является покрытием компакта Х.

В силу теоремы 8, из покрытия (Н„) можно выделить конечное покрытие Нс, !/з, ..., ~/„, а тогда множества 1', =7'(б'с), Уз=Я~2), ", У„=з (Г„) будут образовывать конечное покрытие множества 7"(Х). Таким образом, из любого покрытия множества /(Х) открытыми множествами можно выделить конечное покрытие, а это означает (см, теорему 8), что множество 1(А) является компактом. П Следствие вытекает из того, что всякое замкнутое подмножество компакта является компактом и из того, что компакт все~да является замкнутым множеством.

Т е о р е м а 11. Непрерывное отображение компакта равномерно непрерывно. Эта теорема доказывается дословно так же, как равномерная непрерывность непрерывного отображения компакта, лежащего в конечномерном пространстве (см. лемму 4 в п. 41.4). Аналогично конечномерному случаю взаимно однозначное непрерывное отображение одного метрического пространства на другое называется гомеоморсризмом (см.

определение 5 в п. 41.4), если обра~ное отображение также непрерывно. Теорема 12. Взаимно однозначное и непрерывное отображение компакта является гомеоморфизмом. Доказательство. Если 72Х- 1' — непрерывное взаимно однозначное отображение компакта Х в метрическое пространство 1; то для любого замкнутого множества Г~Х его образ, с(Р), т. е. прообраз Г при обра~ном отображении /' ', является компактом (теорема 1О) и, следовательно, замкнутым множеством.

Таким образом, при обратном отображении /' с32 прообраз каждого замкнутого множества есть замкнутое множество, а поэтому, согласно лемме 4, отображение у' непрерывно. П Т е о р е м а 13, Если /'гХ- й — непрерывния действительпозначпия функция, определенная на компакте Х, то она огриничена на Х и принимает на пем наибольшее и пиименьшее значения. Доказательство. Действительно, образом компакта Х при отображении у является комгикт /'(Х), лежащий на числовой оси. Как и всякий компакт, он является, во-первых, ограниченным множеством, а во-вторых, замкнутым. В силу последнего, его верхняя и нижние грани, будучи его точками прикосновения, принадлежат ему. П 57.8.

СВЯЗНЫЕ МНОЖЕСТВА Введем теперь понятие связности в метрических пространствах. Определение 14. Метрическое пространство называется связным, если его нельзя представить в виде обьединения двух непустых непересекагогцихся замкнутых множеств. Если пространство Х несвязно, т. е. Х=А1)В, где А1')В=о, А Фо, В ~ Я, А и В- -замкнутые множества, то так как А = Хз В и В=Х'1А, то А и В одновременно и открытые множества. Примером связного множества является любой промежуток конечный или бесконечный числовой оси.

Примером несвязного множества является объединение двух непересекающихся о~резков. У п р а ж и е н и я. 15. Доказать, что всякое линейно связное множество является связным. 1Сь Доказать, что объединение двух связных пересекаюпзихся множеств является связным множеством. 17. Доказать, что если множество Е метрического пространства связно и Ес.Е,о Е, то множество Е, также связно. !8. Связный непустой компакт называется континуумом. Доказать. чзо пересечение последовательности континуумов, последовательно вложенных друг в друга, является контииуумом. Теорема 14.

Непрерывный образ связного множества связеп, Доказательство. Пусть у -- непрерывное отображение связного метрического пространства Х на метрическое пространство 1' и пусть У=А1)В, где А и  — непересекающиеся замкнутые множества. Тогда Х=7 г(А)о/" г(В), где 1' '(А) и ' (В) также непересекающиеся замкнутые множества (см. лемму 4).

Так как Х- — связное множество, то это возможно только в том случае, когда одно из множеств 7' ' (А) или Г ' (В) пусто, а тогда пусто и одно из множеств А или В. Это и означает связность пространства Г. П 133 57АЕ кРитеРий АРцелА кОмнАктнОсти систем ФУНКЦИЙ Если замыкание множества метрического пространства является компактом, то само множество называется предком- пакт»»ым. Предкомпактность множества означает, что из всякой его последовательности точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность, но, быть может, не к точке самого множества. Очевидно, что, в силу теоремы 5, для того чтобы множество, лежа!нее в полном метрическом пространстве, было предкомпак~ным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограничено.

Задача о выяснении предкомпактносги гого или иного множества, лежащего в некотором заданном метрическом пространстве, часто встречается в математическом анализе. Поз»ому болыцой интерес представляют критерии компактности или предкомпактности множеств для различных конкретных метрических пространств. Рассмотрим вопрос о предкомпактности множеств для одного из важнейших пространств С [а, Ь), состоящего из непрерывных на отрезке [а, Ь| функций, для которых введена метрика рК е)=»пах (!'(х) — я(х)~, 1' еС[а.

Ь), я и С[а, Ь| )А ь) (57.60) (см. пример 4 в и. 57.! и пример в и. 57.3). Определение 15. Семейство 5= ).»'») функций 7, принад»»езк»»- »цих»гроспгра»»»»ггв) С[а, Ь), называется равномер»»о огра»»иче»»- ны,и, если существует такая постоят»ая с> О, что для вс».т 1 и5 и вс»л. х~[а, Ь1 выполпя»тся нераветтво (Дх) ( <с.

(57. 61) Согласно определению (57.60), зто равносильно тому, что р(1, 0)<с, 1 н5, что, в свою очередь, равносильно тому, что множество 5 ограничено в метрическом пространстве С[а, Ь1. Определение 16. Семейство 5=Я фуг»кций ~'»а5[а, Ь) пазы- воетсл ровностепе»п»о не»грерывным, если для кансдого е> 0 »чгщ»ствуепг такое б>0. что для всех г'»н5 и веет х, »и[а, Ь|, ля~[а, Ь), длЯ котоРыл )хг — х»1<6, выполнЯетсЯ неРавенство / /'(хг) — Дх, ) ! < с. (57.62) Теорема 15 (теорема Арпела»о). Для того чтобы семей- *' Ч.

Характеристики

Список файлов книги