kudryavtsev3a (947417), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Множество линейных операторов 1':Х- У, отображающих линейное пространство Х в линейное пространство У, обозначается через 2(Х, У). Легко непосредственно проверить, что множество 2(Х„У) при естественном определении сложения его элементов и умножения нх на число, т. е. при определении этих операций по формулам (1с+12)(х) =' 11 (х)+1з(х)„1с н2(Х, У) .12 ей(Х, У), ()51')(х)Юг.(1(х)), 1е "(Х У) Хнзс или ) нС, хаХ образует также линейное пространство (действнтельное, если пространства Х и У были действительными линейными пространствами, и комплексное, если они были комплексными).
Определение 8. Если 1:Х-+У, Х и У вЂ” линейные пространства, то множество (х:1(х)=0) ~Х называется ядром отобра,жения 1' и обозначаепюя через ссег1'"'. $сег1М (.х:1(х)=0). " От аевя. 'астпа! яаро. 145 Отметим, что нуль всегда входит в ядро линейного отображения. Действительно, если )": Х-+ У вЂ” линейное отображение, то нуль пространства Х отображается в нуль пространства з: у(о) = р(о о) =ор(о) =о, т. е. Ое)сег)". Лемма 1. Для того чтобы линейное отображение г':Х-+У линейного пространства Х в линейное пространство У было взаимно однозначным отображением Х в У, т.
е. бьио иньекиией, необходимо' и достаточно, чтобы его ядро состояло только из нулевого элемента: )сег 1'= О. (58.8) Доказательство необходимости. Выше было показано, что любой линейный оператор 1' переводит нуль в нуль. Поэтому если 1' — инъекция, то не существует х~О такого, что у(х)=0. Это и означает, что )сегг"=О. Доказательство достаточности. Пусть выполняется условие (58.8) и г(х)=Ду). Тогда, в силу линейности отображения т', имеем т(х — у)=1(х) — у(у)=0, т.
е. х — уе)сег~ и так как )сег/=О, то х — у=О. Следовательно, х=у. Это и означает, что 1' — инъекция. П Примером линейных взаимно однозначных отображений являются прямое и обратное преобразования Фурье в соответствующих линейных пространствах функций (см. леммы 3 и 4 в п. 56.5).
Л ем м а 2. Ядро всякого линейного отображения одного линейного пространства в другое является подпространством отображаемого пространства. Доказательство. Еслибы линейное отображение линейного пространства Х в некоторое другое линейное пространство, то для любых элементов х,е'кег); хге)сег~ и любых чисел ).о ).г имеем .1 (). с х с + )-г хг ) = )-г/ (х) + ).гг (хг ) = 0 и, следовательно, )с,х, +) х е)сегт, а это и означает, что ядро кегг является подпространством пространства Х. П Определение 9. Пусть Х и У - .
линейные пространства. Линейное взаимно однозначное отображение пространства Х на пространство У называется изоморфным отображением или изоморЯизмом линейных пространств. Если для линейных пространств Х и У существует изолсорфное отображение Х на У, вго они называкгтся изоморфь ными. Два изоморфных пространства могут отличаться лишь природой своих элементов, а не свойствами линейного прост- ~ль ранства как такового, поэтому в дальнейшем часто мы не будем различать изоморфные линейные пространства. упражнение 5.
Доказагь„что все и-ыерные иинейные Лейетвительные пространства изоморфны иежлу собой. Определение 10. Лгснегпсое пространство, не являющееся конечпомерным, называетс.я бесконечномерньсм. Очевидно. что линейное пространство является бесконечно- мерным ~огда и только тогда, когда оно не имее~ конечного базиса. Примером бесконечномерного пространства является линейное пространство всех многочленов от одной переменной. Действительно, это пространство заведомо не имеет конечного базиса: любая линейная комбинация заданной конечной системы многочленов является многочлепом степени не выше степени старшего многочлена из указанной системы, и поэтому мпогочлены больших степеней не могут быть получены указанным способом.
Попытка обобщить понятие базиса в случае бссконечномерных пространств приводит к бесконечным суммам, т. е. рядам К вида 2 Х„е„. Для того чтобы имело смысл говорить об их и=! сумме в пространстве Х, в нем должно быть определено понятие сходимости последовательностей. Рассмотрению одного такого вида пространств посвящен и. 58.2. Определение 11. Прог>зведенссем л,=Хх У линейных пространств Х и У назьсвае>пся линейное проспгранс'тво г, элементами которого являются элелсенты ==(х, у) теорепгико-множес>пвенпого произведения .ипоэкеств Х и У (т. е.
множество всевозможпыт пар (х, у), где хеЛ; уб У (см. и. 1.2), для котоРых опРеделсна ли>сейнал опеРа>7ич 7.>с!+7 ге„с! =(х,, У,)ал., ег=(хг уг)а~ Х! " 7"г -чисьга (де!!ство>>гелани>е или комплексно>е>, по формуле > !с!+>сгсг = (>с!к!+к!к!. > гуг+7сгуг). Выполнимость аксиом линейного пространства при таком определении линейной операции легко устанавливаешься непосредсгвенной проверкой. Аналогично понятию произведения двух линейных пространств определяется понятие произведения и линейных пространств для любого натурального и. Отметим еще один нужный для дальнейшего тип отображений произведений линейных пространств. Определение 12.
0>ггоораэкеагсс з=У(т, у). хбХ, уб У, саг., произведения Хх У липейнык ггрострапспм Х и У в линейное >47 пространство Л называется билинейным, если при фиксировании одной из переменных х, у оно линейно относительно другой переменной. Таким образом, если г=Д(х, у) — билинейное отображение, то для любых чисел Х! и ) г, действительных или комплексных, имеют место равенства Дггхг+Агхг, У)=к!1(х! У)+г!гГ(хг, У), хгеХ, хгеХ, Уе У, ~(х, )!у!+)гуг)=) г!(х, у,)+)Ях, у,), хаХ, у,а1; у,н У. Отсюда следует, что для любых чисел ).„Хг, р„р Х()гхг+)гхг, Ргуг+Р Уг)=) Р.Г(х У )+ +) г!гЛхг Уг)+)'г!гггс(х! Уг)+) гйгг(хг Уг) (5" 9) Примеры.
8. Скалярное произведение (х, у) в и-мерном линейном пространстве 1х" является билинейным отображением Я" хлг" в Я. 9. Векторное произведение трехмерных векторов является билинейным отображением 1!'з х Яг в й'з. 10. Билинейная форма А(х, у)= ,'! анх!у,, х=(х„..., х„), !н=! у= у„..., у„), является билинейным отображением М" х М" в М.
илинеййые отображения ): Хх У- л, образуют линейное пространство при естественном определении линейных операций над этими отображениями: если /„: Хх У-+Л и гг: Хх У-+л.— два билинейных отображения, то для любых хнХ, ун У и любых чисел Аг, ) г билинейное отобРажение г,Уг+).гУ определяется равенством () гг! +2гг2)(х у) = )! г! (х, у)+ сггг(х, у), т.
е. согласно общему правилу арифметических действий над функциями. По аналогии с билинейными отображениями вводится понятие мультилинейных отображений: если Х„ Хг, ..., Х„, У— линейные пространства, то отображение Д(х„хг, ..., х„), хгяХь г=1, 2, ..., и, произведения Х, хХ х ...хХ„в У называется мультилинейным, если оно линеййо относительно каждой переменной хь когда остальные и — 1 переменных фиксированы.
58.2. НОРМА И ПОЛУНОРМА Определение 13. Пинейное пространство Х (действительное или комплексное) называется полунормированным, если на мнозкестве его точек определена действительная функция, называе- 148 ))0)) =)~0.»)) =, 0)) х)) =0 Полунорма, удовлетворяющая условию: 4" (невырожденпость) если ))х))=0, то х=О, называется нормой.
Линейное пространство, в котором задана норма, называется нормированным. Согласно определению 13, норма является и полунормой. Из свойства 3о полунормы легко следует, что для любых двух элементов х и у линейного полунормированного пространства выполняется неравенство ))) х)) — ))у)) ) <))х — у)). (58.10) В самом деле, )) х)) =))(х — у)+у)) < ))х — у))+)) у)), 3' )) х)) — )) у)) <)) х — у)). поэтому Аналогично, )) у )) — )) х )) < )) у — х )) = ))х — у )).
Из последних двух неравенств и следует неравенство (58 Л О). Отметим, что всякое подмножество линейного полунормированного (в частности, нормированного) пространства, являющееся подпространством линейного пространства, в свою очередь, является линейным полунормированным (соответственно нормированным) пространством. ь Унражнснис 6. Выяснить, будут ди яыражсния аар К"'(с)1, )1Г'ий))Нс «хюхь нормой; полунормой; для каких функций; лля каких и. 149 мая полунормой, обозначаемая ))х))», или ))х)), ха Х, и имеющая следующие свойства. 1о (пеотрицательность). Для всех хеХ выполняется неравенство ~)х)~>0. 2" (однородность).
Для всех хаХ и всех чисел ). имеет место равенство )) л х)) = ) Щ х )). 3о (неравенство треугольника). Для всех хеХ и уе у выполняется неравенство ))х+у))())х))+))у)) Из свойства 2о полунормы следует, что ))О)) =0 (здесь в левой части равенства стоит нуль пространства Х, а в правой †ну множества действительных чисел). В самом деле, фиксируя произвольно элемент хеХ, получим 58.3. ПРИМЕРЫ НОРМИРОВАННЫХ И ПОЛУНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ 1.
Множество действительных чисел и множество комплексных чисел, если в них за норму взять абсолютную величину чисел, образуют линейные нормированные пространства. 2. Если в действительном арифметическом л-мерном пространстве 12" норму вектора х=(х„..., х„)е12" определить как его длину (см. п. 18.4) то )г" будет линейным нормированным пространством. 3. Комплексное арифметическое и-мерное пространство С" (см. п. 57.2) будет нормированным, если положить !!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
