kudryavtsev3a (947417), страница 25
Текст из файла (страница 25)
!!л,1!,,!'и...и!*.!',,-! „...,, ! с. 4. В действительном арифметическом л-мерном пространстве 1г" можно ввести не только норму, совпадающую с длиной ~х~ его элементов х=(х„..., х„)е)г". Например, положим '!1х'!ь — '(!' (Р+ "+~!х.'!Р)"Р ' <11<+" 11 х Ц „, = «пах 1х! !. -- !......и Очевидно, длина вектора совпадает с нормой ~~х1) .
Проверим выполнение аксиом норм для ))х11„1<«<+ 1г. !1ри «=1 по свойству абсолютной величины чисел и л и 11х+у111= „'! 1х!+у,.1< „"! ~х11+ ,'!" !у!~=)~х111+11у~11. ~=1 1=1 и=! При 1 < р < + со применим неравенство Минковского (см. п. 35.8*): ,«и '!, 1,<р «и !11 р / л ', 1/р 11х+у()„=~ 2 1х,+у!1« ) <~ ,'! !х,.(р) +( ,'! ~у!1р) 1=1 !=1 1=1 =~~х11„+11у(1„. Для 1(х~~„имеем 1(х+! )( = !пах 1х,+у,1< «пах (1х,)+)у,1)< !.--1.! ., < =! и < щах 1х1~+ и!ах !у,1=1!х!1и+11 г!1„ ! ! ! =1.".
!50 Остальные свойства норм для 11х11„1<г<+ ос, проверяются Е1ЦЕ ПРОЩЕ. Упражнение 7. Доказать, что 11х1,, = 1пп 11 х1, х с К". Определение 14. Две нормы 11х11 и 11х11а в линейном пространстве Х называются эквивалентньзми, если существуют такие постоянные с, >О и с > О, что для всех хе Х выполняется неравенство с, 11 х 11< 11 х 11 а < сз 11х 11. (58.11) Теорема 1. В конечномерном линейном пространстве все нормы эквивалентны. Доказательство. Пусть Х вЂ” конечномерное действительное линейное пространство (случай комплексного пространства рассматривается аналогично).
Следовательно, в нем существует базис 1е,, ..., е„), состоящий из некоторого числа пн2зг его элементов, и для любого хеХ имеется и притом единственное разложение х = х, е, + ... + х„е„. Пусть 11х~( — некоторая норма в пространстве Х. Покажем, что она эквивалентна квадратичной норме ь =,йГ+ ...*7.
Поскольку две нормы, каждая из которых эквивалентна третьей, также эквивалентны между собой, то из этого и будет следовать, что все нормы любого конечномерного пространства эквивалентны. ПРежде всего заметим, что с, м ~1~1ез 11+...+11е„11>0, ибо длЯ всех й = 1, 2, ..., и имеет место неравенство е ФО„и, следовательно, 11е,11 >О. Далее, из очевидного неравенства 1.,1хЗнз,.ь .'-11 ь ь=ь з, ..., получим, используя свойство нормы, неравенство 11х11=11х,е,+...+х„е„11<~х,~ 11ез11+...+~х„~ 11е„11< <(11е, 11+...
+ 11е„11)11х11з = с, 11х11з. Итак, существует такое с, >О, что для любого хеХ 11х11~< сз 11х11з. Докажем теперь, что сугцествует такое сз>0, что 11 . 11 > с 11 х 11 . 1 5 1 Поскольку в случае х=О это неравенство очевидно выполняется при любом с,>0, то его достаточно доказать лишь для тФО. Выберем базис е,, ..., с„) в пространстве Х так, чтобы он состоял из единичных в смысле квадратичной нормы векторов (! е, ~ ~, = ...
— -- (( е„! Ь = 1. Это всегда возможно, так как если (е,, ..., е„) -какой-то базис линейного пространства, а ~(. ~(-какая-либо норма в этом пространстве, то е, е„ 1)е, 11 ))е„(1 также будет его базисом, причем норма всех его элементов будет равна 1: ~1е,~11 ~)т„1) ((е„((=1, /с=1, 2...., л. Пространство Х с выбранным базисом можно рассматривать как арифметическое л-мерное пространство (см. п. 18.4).
Для этого достаточно каждому его вектору х=х,е, +...+х„е„ сопоставить упорядоченный набор л чисел (т,, .... х„) - его координат относительно указанного базиса. При этом квадратичная норма (~.т(~, является длиной вектора хл ((.т((з= /х, +...+х~=(х(. Единичная сфера 8'" '=(х:х',+...+х,',=-1', лого пространства является, как известно (см. и. !8.3 и п. 18.4). компактом. Рассмотрим на ней функцию Из неравенства ~ /(х)--/(у)~ =~((х(~--1(.г~~(< ~(х — у ~~ < «', !(. — у~(,=с,!.
— у~, . еХ, 1 а У, следует, что эта функция непрерывна на всем пространстве Х и, следовательно, на сфере 5" Поскольку для любой точки хеЯ" ' имеем 1,'х~~з=1, то хФО. поэтому, в силу свойства 4' нормы, функция /' удовлетворяет на сфере о" ' неравенству /(х)=~(х~(>О. Согласно теореме Вейсршграсса. всякая непрерывная на компакте функция достигает на нем своего минимального значения. Пусть функция /' досыпает свой минимум на сфере Я" " в точке х„еЯ" '.
Положим г, Ф ппп /(т)=/(х„)>0. ех 152 Тогда для любого хи Я" ' будем иметь !(х!! =Г(х)>/(хо)=с,. х Теперь, заметив, что для каждого хнХ, х~О„точка — лежит !!х!!я на сфере 5" и, следовательно, для нее — --- )сз получим !!х!!2 (! " !! = !! х (! в = )! х (! з ~ с в !! х (! в .
!!х!!2 !!х!!2 т. е. !!х!!)с,!!х!!„хаХ, х~О. Эквивалентность норм (!х!! и !!х!!, доказана. с) Примеры. 5. Пусть снова 1 < р < + сс. Рассмотрим линейное подпространство всех последовательностей л=(х„.,., х„, ...), х„н 1к (или х„б С), состоящее из таких последовательностей, для которых !!х!! ='( ,'~ !х„! "<+ Хв=г (58.12) пв Обозначим это пространство через В(Е)Я'.
В том случае, когда Е является метрическим пространством, подпространство пространства В(Е), состоящее из непрерывных на Е функций 7: ы Л вЂ” первая буква английского слова Ьонпдед †ограниченн. !53 Функция !!х!!„является нормой, что проверяется аналогично конечному случаю (см, пример 4), так как, в частности, неравенство Минковского справедливо и для бесконечных сумм. В том случае.
когда все элементы рассматриваемых последовательностей - действительные числа, их пространство с нормой (58.12) обозначается через Соответствующее метрическое пространство в случае р=2 было рассмотрено в примере 6 п. 57.1. 6. Линейное пространство всех ограниченных действительных функций, определенных на произвольном множестве Е, являющееся подпространством пространства Е(Е) всех действительных функций г': Е- И 1см. п. 57.1); превращается в нормированное, если в нем ввести норму по формуле !! д агу !7(г)! (58.13) обозначим через С(Е), а норму (58.13) в эт.ом просгранстве будем обозначагь также и через )Щс. Если Е является компактом в И", то (см. теорему 3 в и. 19.5) 1! 1 !! с = ь цР ! ) (() ~ = пьах ! ) (1) ). В частности, это верно лля пространства С'(а, Ь3 функций, непрерывных на отрезке (а, Ь3 числовой прямой.
7. Пусть фиксировано число р, 1 <р < + оо. Рассмотрим множество функций Г, заданных на некотором конечном или бесконечном интервале (а, Ь), — ос <а<Ь<+ со, для каждой из которых существует правильное разбиение этого интервала (см. п. 55,!) и интеграл ь ) 1) (х)~~г(х а сходится. Это множество образует, как легко провери~ь, линейное пространство и обозначается АА„(а, Ь)"'.
Положим Гь 1т !л,'="~) )Ф)~' ( ~' а (58.14) Покажем, что (58.14) является полунормой в !!Е, (а, Ь3. Из формулы (58.14), очевидно, сразу следует, что )Щ >О. При этом из условия ))( 11='О не следует,' что (=ОГ. В самом деле, пусть — оэ<а<Ь<+со; рассмотрим, например, функцию ( 1 при х=а, ) О при хб(и, Ь3. Ясно, что )1у' )!= О, но функция !'не равна тождественно нулю на отрезке (а, Ь3 и поэтому не является нулем линейного пРостРанства Яаэ,'(а, Ь3. Проверим однородность выражения (58.14): для всех /'и!(ьр(а, Ь) и любого ),б.ь! (или ) бС) имеем ! ь (т Гь 11 !М~!,=РМИ! ! ~'=!).!Р!Лг) ~ ~'=~).ПЛ,. а а и Л вЂ” первая буква фамилии Б.
Римана (В. К(егпапп), а а --первая буква фамилии А. Лебега (Н. Ьеьеьлпе) 154 Докажем для (58.!4) неравенство треугольника. Для любых ун!кк,„(а, Ь) и 8б!!Е„(а, Ь), согласно неравенству Минковского для интегралов (см. и. 28.3*), получим !1 !!.1+8!!е= ) (((!)+в'(!)!еа!З ~ ~а Гь !Х ф!Ф)!'(~'+~О ()!' Ь~'=!!Л,+Ы, а а Итак, действительно, !)Я!„является полунормой (не являющей- ся нормой) в линейном пространстве Ш. (а, Ь).
8. Рассмотрим множество всех непрерывных на отрезке '!а, Ь) функций. Оно является линейным пространством. Мы уже знаем, что в пем можно ввести норму )(Я(с, определенную в примере б этого пункта. Можно в пем рассмотреть и полунорму (58.14), причем в этом пространстве полунорма (58.!4) является уже нормой. Действительно„если функция Г непрерывна на отрезке (а, Ь) !! ! )!е =О, ! <р < + со, н, следовательно, (У(. )!'с( =О, !! то из неотрицательности и непрерывности функции ! /(х)!е, хн(а, Ь) следует (см. свойство 9в интеграла в п.
28.1), что ~'(х): — О на 1а, Ь). з1рос!пранство непрерывных на отрезке (а, Ь1 функций с нормой (58.14) обозначиется через СЕ (а. Ь). Подобным же образом строятся аналогичные пространства для функций, заданных на промежутках других типов, в том числе и на бесконечных промежутках, например, пространства СЕ (а, Ь), — со < а < Ь < + оо, 1 < р < + сс, которые состоят из непрерывных функций, заданных на интервале (а, Ь), и для которых конечен интеграл (58.14). Если одно и то же множество функций прийадлежит различным линейным нормированным или полунормирован- ным пространствам (например, пространства С(а, Ь| и СЕ„(а, Ь1 состоят из одних и тех же функций), то часто бывает полезным оценить одну норму (полунорму) этих функций через другую.
Теоремы, выражающие подобные оценки, называются обычно теоремами вложения. Поясним сказанное на примере, сформулированном в виде леммы. Лемма 3. Пусть — со<а< Ь< + со, 1<р<+со. Если /'н йЕе ) а, Ь|, то ! !(Я!! <(Ь вЂ” а)й !!Я(~, -+- = 1, (58.15) ~У !55 а если ('е КЕ„~а, Ь) (]В(а, Ь~, то ! ~[Д, (Ь вЂ” )-.1Щ„. (58.1б) Д о к а з а т е л ь с т в о. Принимая во внимание, что полунорма )[Д определяется по формуле (58.14), получим, используя неравенство Гельдера (см. п. 28.3*), ь (Щг =) [('(г)~ 1 агу< ь < (~Я)гглт(! (Их~ =(Ь вЂ” а)В~[Я)„, — +-=1, я 1 1 а .1 тем самым (58.15) доказано. Неравенство (58.1б) также сразу вытекает из определений (58.!3) и (58.14) соответствующих норм: ! ! Гь (ь Р т,=~И(г)~'йу~ - ][-р[((К" дг~ = я ! а !аЫ уь ! =~Щ ] с(у =(Ь вЂ” а)я~Я .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
