kudryavtsev3a (947417), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Это неравенство, очевидно, является обобщением неравенства (41.42) в п. 41.6. Существует еще один подход к понятию нормы оператора, связанный с понятием так называемых ограниченных операторов. !70 Определение 25. Оператор А: Х- У называется ограниченным, если существует такая постоянная с>0, что для всех элементов хе Х выполняется неравенство )~Ах)( <с ()х(~ .
Если А — линейный ограниченный оператор, то все постоянные с>0, обладающие указанным свойством, ограничены снизу нулем, и поэтому их множество имеет конечную нижнюю грань. Обозначим ее через с„: со —— 1ПР(с: ((Ах(( «<с ))х(), хеХ) . Покажем, что со= 1~А!~. (58.29) Прежде всего заметим, что справедливо неравенство ~~Ах~~ <с„~~х~~ . В самом деле, если бы нашелся такой элемент хоеХ, что (~Ах ~~ >со ~(хо~~, то нашлось бы число с>0, для которого выполняется неравенство ~!Ахо~~ >(со+с) ~~хо~~. Однако это невозможно, так как, согласно определению нижней грани, существует такое число с > О, что с < со+ е и для всех х е Х выполняется неравенство ~(Ах~~ <с ~~х~~.
В частности, ~~Ахо(~ < <с ~~хо~1 <(со+с) ~~хо~~. Таким образом, нижняя грань со также удовлетворяет неравенству, с помощью которого определяется ограниченность оператора А. Поэтому в определении постоянной с можно заменить нижнюю грань минимумом: с =пни (с: ~(Ах)! <с ,'(х!), хеХ) . Из неравенства ~~Ах~(<со ~~х~~ при хэеО имеем ))Ах)! / !)х)/ <со, откуда ~~А4~ внр —,<со хеХ. 3х!~ Случай строгого неравенства )лх~~ япр — '<со, хеХ, ~о "'" невозможен, так как тогда нашлось бы такое число с>0, что ) Лх,'! кнр — — '<со-с ~~х~~ и, следовательно, для любого хеХ, хФО, тем более было бы справедливо неравенство !71 !Ах? <с — с, или ВАх>, '<(с — е) >1хВ, хеХ, Ы что противоречило бы выбору с как минимальной постоянной, обладающей свойством ~~Ах! <с !~хВ, хеХ. Итак, с = Впр -",,' = В А В .
,, 'лх,'~ Образно говоря, это равенство означает, что оператор А ограничен тогда и только тогда, когда он имеет конечную норму. Таким образом, множество ограниченных операторов составляет пространство .У (Х, У). В п. 4!.6 было показано, что всякий линейный оператор А: Х- У в случае, когда линейные нормированные пространства Х и У конечномерны и в качестве норм в них взяты квадратичные нормы !х~!т н ~~у>>т, х~Х, у~ У, имеет конечную норму. В конечномерных линейных пространствах все нормы эквивалентны (см. теорему 1 в п. 58.3), поэтому отсюда следует, что любой линейный оператор А, отображающий конечномерное линейное пространство Х в конечномерное же линейное пространство У, ограничен при любом выборе норм в этих пространствах, т.
е, в этом случае В(Х, У)=Л (Х, У). Упражнение ?3. Доказать, чго если Х и à — линейные нормированные пространства, причем Г --банахово пространство, то пространство линейных ограниченных операторов .К (Х, ?) также банахово. Так как всякое линейное нормированное пространство является метрическим пространством, то можно говорить о непрерывности отображения одного линейного нормированного пространства в другое. Оказывается, что понятие ограниченности линейного оператора тесно связано с его непрерывностью. Теорема 3, Пусть Х и У --линейные нормированные проспгранства.
Для >пого чтобы линейный оператор А: Х- У был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы он был непрерывен. Доказательство. Если А — ограниченный линейный оператор, то из неравенства !(Ах — Ахо! = !А (х — хо)!) < !~АВ >!х — хо,", !?К27) сразу следует, что 1пп А х = А хо . х ха >72 Если же А — непрерывный линейный оператор, то из непрерывности его в нуле следует. что, например, для с=1 существует такое Ь>0, что из условия !!х!!<8 следует, что !!Ах) <1.
Зафиксируем какое-либо т), 0<т) <б. Так как для любого хеХ, хФО, выполняется неравенство — = — )!х) =т)<8, )х1 !!х,'! то для любого хнХ, хФО, согласно выбору числа 6, будем иметь (58.30) Но, в силу линейности оператора А, имеет место равенство ( —,",„"„)- — „„", <*! Следовательно, для любого хе Х, хФО, справедливо неравенство ..— !Ах!! < 1, г. е. неравенство !Ах!! ! — < —, ч что и означает ограниченность оператора А. (3 Задача 38. Построить пример линейного разрывного оператора на некотором линейном нормированном пространсгве. Рассмотрим теперь композицию линейных операторов.
Теорема 4. Если Х, У и л, — линейные нормированные пространства, а А: Х-+ У и В: У- Х вЂ” -линейные ограниченные операторы, то для нормы композиции В А операторов А и В выполняется неравенство (58.31) !!В А(! < )!В8 !)А!). Следствие. Ко.ипозицггя огриниченных линейных операторов также является ограниченным линейным оператором. Доказательство. В самом деле, для любого хнХ имеем !!(В А)(х)!!=)!В(Ах))! < /!В!! !/Ах/! < !!В)! (!А!! !!х(). (58.27) (58.27) )73 В силу свойства (58.28) — (58.29) нормы линейного оператора, отсюда сразу следует неравенство (58.31).
(3 Произведением Х х У линейных нормированных пространств Х и г' называется линейное пространство Х х )' (см. определение 11 в п. 58.1), в котором задана норма формулой ~)(Х, ))~ лег г~~Х)~2+ ~~ '(2 (58.32) где ~~х)~ — норма элемента х в пространстве Х, а 1у)~ — норма элемента у в пространстве Х. Выполнимость аксиом нормы для )~(х, у))) легко устанавливается непосредственной проверкой. Упражнения 14. Доказать, что если лгг г мг 1(х, у)1з = игах Пхй 1у1) и 1(х, г)( ** = 1х1 -~- ))у1, где (х, у) е Х х У, Х и У вЂ” линейные нормированные простраисгва, то 1(х, у)1' и 1(х, у)1вь являгогся нормами, эквивалеитиыми норме (58.32).
15. Доказать, что произведение баиаховых просграисгв также является банаховым пространством. Теорема 5. Если А:Х х )'-+л,— линейный ограниченный оператор, отобрансающий произведение Х х У линейных нормированных пространств Х и 1' в линейное нормированное пространство г„то существуют, и притом единственные, такие линейные ограниченные операторы А,: Х-+л, и А: 1'- г„ что для любого элемента (х, у)нХ х )' имеет место равенство А(х, у)=А, (х) +А (у). (58.33) При этом для норм операторов А, А, и А выполняются неравенства ~)Аг)~ < ~~А~~, ~)А ~) <)~А~, '.
(58.34) Обратно: если А,:Х- Л и А: )х- г. — линейные ограниченные операторы, то оператор А: Х х Х-+г., определенный формулой (58.33), является линейным ограниченным оператором и для него имеет место неравенство )(А)( < )(Аг(,' + ))Аз)) . (58.35) Д о к а з а т е л ь с т в о. Если задан линейный ограниченный оператор А:Х х У г., то для любого хеХ положим А,(х) =А (х, О) (58.36) и для любого ун У— А з (у) = А (О, у) .
(58. 37) Как легко убедиться непосредственной проверкой, операторы А, и А, линейны. Докажем их ограниченность: 174 )(А, (х)(! = ()А (х, 0)) < ()А)) ))(х. 0))( = (,'А)) ))т)) .(5838) (583б) (58.27) (5842) Аналогично, ) Аз (г)~! < ~(А)( )) г(( . (58.39) Из неравенств (58.38) и (58.39) сразу следует ограниченность операторов А, и А,, а также неравенство (58.34). Докажем формулу (58.33): А (х, ») = А ( (.т, 0) + (О. г)) = А (х, 0) + А (О, у) =,(, (х) + А (») (5837) Если В,: Х-+х. и В,: У'- 2 — два т.аких линейных ограниченных оператора, что А(х, у)=В, (.т) +В,(у), (58.40) то, заметив, что В, (0) = О, будем иметь для любого х е Х равенство В,(.т)=В,(.т)+Вз(0) = А(х, 0) = А,(.т).
(5840) (58.36) Аналогично, для любого уе )' имеет место В (.))=А(у) т. е. В, =А,, В =А„иначе говоря, линейные операторы А, и А, для которых имеет место формула (58.33), единственйы. Наконец, если А,:Х-+~, А: т' Л вЂ” линейные ограниченные операторы и оператор А: Х х )'-+У определен формулой (5833), то, очевидно, А — линейный оператор н, кроме того, ограниченный, ибо 8А (т, у) )~ = ()А, (х) +Аз(у)() <((А, (х)) + ((Аз())8 < (58ЗЗ) (58.27) <))А,)) !,'х/! + (~А ((()у)) и поэтому — — < ) А, ~) -- ) — '-. — + ( А, (( - — —.'- —" — < ) А, (! + )) А, ( (5832) Отсюда сразу следует ограниченносгь оператора А и неравенство (58.35).
Аналогично понятию произведения двух линейных нормированных пространств определяется понятие произведения л линейных нормированных пространств при любом натуральном л и для него доказывается теорема, аналогичная теореме 5. 175 5к.т. Вилинкйнык отой Ажкния НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ Введем понятие ограниченного билинейного отображения (см. опре)зеление 12 в п, 58.!). Определение 2б. Би:шпейпое оншбражс пи /1 Х х )' — г2 (Х. )' и г2 ..шнейныс норлшровсшные просп)ранстви) пазывссепгсп огрсосичс тсы.ч, ес.ш сги/еств»)ст )лакан шнтолшса,ч с>0, что длн .!Вн)ы» .»еХ, 1'е г ВыРРО.)пяеРпс»ч ~сриВснс)РРВО 111'(.», г)11 < с 11.»'11 11) 1) . (58.41) Нетрудно убедиться, чго множество ограниченных билинейных отображений 1; Х х г' г2 образует подпространсгво линейного пространства всех билинейных отображений Х х )'- г2 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
