kudryavtsev3a (947417), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(58.59) В заключение отметим, что когда Х, =Х,=...=Х„=Х, то вместо,У„(Х, Х, ..., Х; У) пишут .с а(Х"; У). 88.8. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ Определению понятия дифференцируемости отображения множества, лежащего в одном линейном нормированном пространстве, в другое такое пространство предпошлем, как всегда, несколько замечаний о символе «о малое» для рассмат- риваемого случая. Пусть Х и У вЂ” линейные нормированные пространства, ЕсХ и хепХ. Отображение и: Е~ У назовем бесконечно малым при х~хе по сравненщо с отображением ~~ х — хе '8" и будем писать ес(х) =о((х — х„)"), если существует такое отображение 8: Е- У, что для всех пгочек из лоюжества Е, принадлежащих некоторой фиксирован- ной окрестности точки х„, имеепг место равенство а(х)х а(х) 8 х — хе Ц" 1пп а(х) =О.
з и а (58.61) *' М. Фраме 0878--г973) французский математик. г81 Если отображение сс(х) определено в точке х, т. е. х и Х, то н отображение е(х) также определено в этой точке, а следовательно, согласно определению предела, и непрерывно в пей; с(х„)=0. , Определение 28. Отображение 7' открытого множества 6 лгогейного норлгированного пространства Х в линейное нормировинное пространство 1' называется дифференцируемы.и в точке .хеб, если существует такой линейный ограниченный оператор А: Х- У, что ииеегп место равенство З (х+ 7г) = 7(х) + А (и) + о Я, 1г и Л; сг — О.
(58.62) Линейный оператор А называется дифференциалом отображения Г в точке х и обозначается 2)г'(х) (или, более подробно, (2гс)(х)). Дифференциал сЯх) называется также дифференциалом сстгреисе *'. Используя обозначение дифференциала, определение (58.62) можно записать в виде 7'(х+ Ь) = 1'(х) + Р/'(х) Ь+ о (й), Ь -+0 (58.63) (здесь для краткости написано Ру"(х)п вместо (Р~(х)(п)). Дифференциал Фреше РДх) называют также производной Фреше и обозначают ('(х). В конечномерном случае (см. п.
41.7), по аналогии со случаем числовых функций, мы называли производной отображения матрицу дифференциала (матрицу Якоби) в некотором заданном базисе. В бесконечно- мерном случае нет прямого аналога этого определения хотя бы потому, что не во всяком линейном нормированном пространстве имеется базис. В том случае, когда в рассматриваемых пространствах существуют базисы, линейные операторы, в час~ности дифференциалы, можно задавать их бесконечными матрицами, но мы на этом не будем здесь останавливаться.
Отметим, что если отображение Г: 6-+У, 6~Х, дифференцируемо в точке хе6, то оно и непрерывно в этой точке. Это сразу следует из формулы (58.63): 1пп7'(х+ Ь) =7 (х). Пример 1. Если Х вЂ” линейное нормированное пространство, х„н Х, ае Х и 7'(г)=х„+га, — со < ~с+ со, то отображение 7: К- Х дифференцируемо во всех точках и Г(х +га)=а. (58.64) Действительно, здесь Я+а)=Я)+ап, т. е.
условие (58.63) выполняется при о(Ь)жО (напомним, что каждый элемент анХ можно рассматривать и как элемент пространства .У'(Л, Х), см. пример в п. 58.8). Ниже формулируемые теоремы 8 — 10 доказываются дословно так же, как аналогичные теоремы 3 — 5 в п. 41.7 для отображений множеств, лежащих в конечномерных пространствах, так как в приведенных там доказательствах нигде не использовалась конечномерность рассматриваемых пространств (длнны ~х~ векторов евклндовых пространств надо заменить, конечно, нормами 1х1 элементов линейных нормированных пространств). Поэтому здесь мы не будем приводить доказательства указанных теорем.
Теорема 8. Если отображение 1':6- К (6 — открытое множество, 6~Х, Х и У --линейные нормированные пространства) дифференцируемо в точке хе6, то его дифференциал в этой точке определен однозначно. Следствие. Дифференциал линейного отображения совпадает с самим отображением.
Теорема 9 (лииейность дифференциала). Если отображения 7; 6- )' и я: 6- У (6 — открытое множество в Х, Х и 1' — линейные нормированные пространства) дифференцируемы в 182 точке .те 6„пю для .ообыт чисел ) и р >гинейна>г ко.ибинация )у/+Г>8 писк>к'е дифференцируе>иа в эпгой точке и 0()г)+ 1>Я)(л) =).О/(х)+ 1>0е(л). Те о рема 10. Пусть 6 и 0 — открытые множества сот>твегггсгггвегсгсо в Х и У, а Х, У и х, -линейные норлнсрованпые прогтрсгггстггвсг. Если отображение г':6- 0 дифференциргемо в точке хе 6, а отображение я; 0- и.
в точке г'(х), гно ко.ипозиция я:ф дифферетгируе.ии в точке х и ее дифференциал в >пюй точке равен ко.ипозиции дифференциалов опгооражений г' и д: 0 (8'.Л (х) = 0 (8(> (х))): 0>(х) (58.65) Если Х -линейное нормированное пространство, х еХ, хеХ, то множество всех точек из Х вида х,(1 — г)+гх, 0<!<1. называется опгрезко>п |х„, .т), а множество всех ~очек вида х (1 — г) + гх. 0 < г < 1, "- игспгеерсгло.гг (.тн, .т) в пространстве Х. Точки .тс и л называются концами указанных отрезка и интервала.
Пример 2. Если отображеггие г':6- г' (6- -опгкрьшгое в Х .гпшжесгтво) с)гсфферс'ггцгсруессо в точке х+гсгг, 0<ге<1, юппер- вали (х, х+)г)с6, то опгображегнк 8(г)=((х+г)г), 0<г<1, дифференцирге.ио в точке гсе(0, 1) и 8' (г ) =)'(т+ Я )г. Это сразу следует из формул (58.64) и (58,65). Наряду с понятием дифференцируемости отображения в смысле определения 28 бывает полезным понятие дифференци- руемости отображения в данном направлении, к рассмотрению когорого мы и перейдем. Определение 29. Пусть Х и )' — линейные нсгрлшровапные просгггрсгггспгва, .т~ Е с Х, БФО, и огпображсние г'.Е- )' определено на эле>пснпгссе вида .т+г)г прн досзиатс>чно .мальсх г>0.
Оп!образ>се>с!се г наэывиыпся дифференцируемылг в точкс .т по напривленин> вектора Гг, если с угцес пгвует пгакой эле.цент (0а)) (.т) си г', что ('(х+гб)=('(.х)+(0ь))(х)г+о(г), г. О. (58.66) Это условие равносильно условию существования в про- странстве У предела Элемент 0ь('(х)=(0аГ)(х) называется проиэводпой по направле- нии Ь (или производнои Гата*> по гшпрагслениго Ы. " Р. Гаго !ум. !9г4) французский математик.
!83 Производная Фреше Рф(х) и производная Гаго Рвф(х) имеют разную природу: производная Фреше — элемент пространства 2(Х, У), а производная Гато — элемент пространства У. У!гражнсник. г?. Доказать, что отображение .т Цзй, .тмХ !Х линейное нормированное пространство), имеет в точке.т=е пронзволнунг но лнубому направлению и не диффсрснпирусмо по Пгреше $8. Доказать, что если отображение ~6 Г (6оХ, Х и К линейные нормированные пространства, 6 открытое в Х множсствог лиффсрспнируемо в точке хн6 по Фрешс. го оно в этой точке имеет нроизволную по лизбому направлению. Если у отображения /':С-+ 'г', СшХ, в точке хшС сушествуез производная по любому направлению, !.
е. при любом /гФО существует Рь/'(х)ш У. то, вообще говоря. этот элемент нелинейно зависит от /!. Если же существует такой линейный ограниченный оператор, обозначаемый обычно Рсч/(л):Х- г', что (Р,к/'(т) )(й) = Р„/'(х), то этот оператор называется глабыл! дифференции.ннг, г.ннн>й производной или дифференииалом Гпто. В этом случае равенство (58.66) имеет вил Г(х+!/г)=/'(х)+!Ре /(т)(/г)+о(!), г- О (вместо (Р,„/(х))(/г) пишу~ короче:,Рс /(х)(/г)) и оно )же имеет смысл для всех /гшХ. Дифференциал Фреше называют также гпльоы.н дифферен- г/иолом. Очевидно, что если у отображения /:С У, СшХ, в точке .г существует сильный дифференциал, то в ней существует н слабый дифференциал, причем они совпадают. В самом деле, если имеет место равенство (58.63), то при любом фиксирован- ном /гзеО и достаточно малом !>О будем иметь /(х + г/г) = /(х) + Р /'(х) (!/г) + о (г/!) =- =Ях)+!РЯХ)(/г)+о(!), !- О, ибо о (Вг) = о( Ц !/! Ц ) = о (! ЦЦ ) = о (!), !-+О (/г — фиксированный элемент пространства Х, не равный нулю).
Это и означает, что сильный дифференциал является н слабым. Уира:кнение НК Привести пример отображении. имеюшсго в некоторой гочке слабый диффсренпнал и не имеющего в ней сильно~о. Указание: см. и. 20.?. Можно показать (смл Ильин В. А., Садовничий В. А., Сеидов Бл. Х. Математический анализ.--Мл Наука, 1979, с. 6!7), что если у отображения Г?С- т, СшХ, в некоторой окрестности 184 точки к~ 6 существует слабая производная Р„!'(х), непрерывная в точке.х (эго означает, что отображение к ~Р„!)(х)ыТ(Х, У), т. е.
отображение вида Х-.9'(Х, У), непрерывно), то в этой точке существует сильная производная Р)(к), причем она совпадает со слабой. 58.9. ФОРмулА кОнечных НРНРАО1ении Получим теперь для дифференцируемых отображений линейных нормированных пространств аналог формулы конечных приращений Лагранжа для числовых функций (см. п. 102 и ! 5.2). Предварительно докажем следующее вспомогательное утверждение. Л е м м а 9 (лемма Л. Шварца *'). Пу<'ть ц> — отображение отрезки [О, 1) а линейное нормированное пространство !', а Ф вЂ” — дей< таит< лвная функция, заданная также на отрезке [О, 1), причем <р и Ф непрерывны на этом отрезке и дифференциргемы в е>ч> в>гг>прениих >почках. Есыи для в<ток >е(0, 1) выло.>няепгся неравенство )! <р(!) ~(<Ф'(!).
пгг> и.не<оп .кесто перов<он тво Ц <р(1)-<р(о) 1) < Ф(1)-Ф(о). (58.б8) Доказательство. Зафиксируем произвольно а>0 и обозначим через Е, множество точек отрезка [О, 1), для которых выполняется неравенство ~~<р(!) — <р(0)1(< (!)-Ф(0)+8!+8.
(58.69) В силу непрерывности <р и Ф, множество Е„как определенное нестрогим неравенством,' замкнуто: в самом деле, если >„ы Е, и 1< <и >„= >о, то, перейдя к пределу при и- со в в в неравенстве 11<р(г„) — <р(О)11 <Ф(!.) — Ф(О)+е>„+с, в силу непрерывности <р, Ф и нормы, получим 11<Р(го)-<Р(0)11 <Ф(>о)-Ф(0)+а<о+6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
