kudryavtsev3a (947417), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Второе утвержление леммы очевилно.,'г. Булем говорить, что иепг)эггксг (58.18) тэрогяес)аепгс»ч тсн)санса! н р..ь р«»сии .и Х. Н чр,,,р , тр..к. ч,р.ж.янчи. к 'г. гг= «гг...ь.! г Ф сч г. сгранстве и-мерных вещественных векторов .т=(»,, х, ..., лк), является метрикой евклилова нросгранства гс". онределешюй формулой (18.1). Не всякое мегрическое пространство является нормированным, например пространство, состоящее из двух !очек .» и г (Двоеточие) с метрикой р(.», г)=1, не есть линейное, а ноэгому и нормированное пространство. Последовательность точек нространсгва Х, фундаментальная относительно метрики (58.18) (см.

и. 57.2), называется также (1)гггс)а.ггеггпгсг.глггсггг отноенгтллно иорны, заданной в иросгранствс Х. Уп раж нс и ис )к. Доксс.гсстгь по множество в линейном нормироваююм нростраяствс ограничено по норме (см. онрспслсннс )б в и. 5Х.4) тогпа и голько иггпа, котла оно ограничено как множссгво метрического иростраистна в емьюле маг рики (би.

! В Ь Пример. Рассмотрим пространство l ггоследователыгосгей действительных чисел с нормой (58.12). Обозначим через еа последовательность, у которой и-й член равен единице, и все остальные- — нули. Очевидно, чзо нри пФт. г и Р (1еа — е 11 =(1+1) =2 . гб! Поэтому послеловаэельность элементов с„=1, 2, ..., пространства /„пе может солержать фундаментальной, а следовательно. и сходящейся полпослелова гельности. 1)ослеловательносэь (е„) ограничена, ибо для всех а имеем !!с„!! = 1.

Она образует замкнутое множество в 1„, так как множество ,'с„,' пе имеет прелельных точек в ! (в противном случае в ней нашлась бы сходящаяся подпоследовательность). Таким образом. в бесконечномерном линейном нормированном прос гранстве существую ! ограниченные последовательное ги. из ко горых нельзя выделить сходящуюся, а также ограниченные замкнутые множества, у которых не из всякой последовательности их точек можно выделигь сходящуюся. Замечание !. Если в линейном пространстве Х введены две нормы элемеээтов ~! 11гп и ,'! ,'!"'. причем они эквивалентны (см. определение 14 в и. 58З), то последовательность .т„аХ.

п=-1, 2, ..., схолится к элементу лаХ в смысле нормы тогда и только гогла, когда она сходи~ся к .т в смысле нормы Действительно, в силу эквивалентности норм,:! 1нп и 1'! существуют такие постоянные с, >О и с, >О, что выполняются неравенства с, ,'.т.„— л!1сп< (!л„—.т!!'"<сз !1т„—.т!!'-". Из щих неравенств сразу и следует эквивалентность сходимосэей последов;ыельности ,'.т„, 'к .т в смысле норм )! !,'"' и !пэ> Из доказанной в ~еореме ! и. 58.3 эквивалентности всех норм в конечпомерпом пространстве следует, что схолимости иоследовагельээос)ей е1 о гочек по всем нормам эквивалентны.

Сходимосзь по квадратичной норме !1.т1!, равносильна покоорлинатной сходимости (см. и. 18.! и !8.4). поэтому сходимость послеловательиосыэ точек в конечномерном пространстве но любой норме равносильна сходимости числовых послеловагельносгей коорли~ат рассматриваемых точек относительно произвольного базиса. Замечание 2. Отметим. что в случае, когда полунорма не является нормой, даже такая простая функция„как линейная на конечномерном линейном полунормировашюм просэранстве, може1 оказаться не непрерывной.

Рассмотрим. например, двумерное арифмеэическое пространство Х векторов .т=(т, л.,) с полунормой !1.т1, =)т,!. Зто действительно полупорма, так как ~'.~"„=).т,)>0. Кроме гого, для любого числа ). имеем хл.=-()..т,. )л..) и поэтому !!)».т)! =))..т,!=!Ц)т,) = =)Ц ~(.тй!. Наконеп, если г=(г,, г,) также являеэся элемещом из Х, то .т+ г=(т, + г,. т, + г,); следовательно, ~!.т+ г~, ,=!т, + г,)< <)т',) + )г,)=.", т!! + !(э',~. Таким ооразом, все свойства полунормы выполнены. !в Покажем, что линейная функция 1(х)=х, не непрерывна на гн> Х. Действительно, для последовательности хг">=~ — „1 любая (и точка вида х=(0, х,) (хз произвольно) является ее пределом в смысле рассматриваемой полунормы: 1пп !!хг"> — х~~ = 1пп -=О.

! В частности точка 0=(0, 0) является пределом последователь- ности (хво). Однако !пп /(х!">)=1ФО=ДО). Это и означает, что функция 7(х)=х не является непрерывной по полунорме ~!х~~ =!х>!. Подчеркнем, однако, что если в конечномерном пространстве полунорма является нормой, то всякая линейная функция будет непрерывна относительно этой нормы. Действительно, пусть Х--и-мерное линейное нормированное пространство и ! — линейный функционал на Х. Пусть (е„..., е„) — базис в Х и, следовательно, любой элемент х н Х представим и притом единственным образом в виде х = х,е, + ...

+ х е„. Поскольку б †линейн функционал, то >(х)=з(х>е>+...+х„е )=х>з(е!) +...+х„)(е„)=а>х>+...+а„х„, где а„=1(е„), >с=1, 2, ..., и; — фиксированные для !' числа. Вспоминая, что сходимость последовательности точек по любой норме в конечномерном пространстве эквивалента ее покоординатной сходимости, сразу убеждаемся, что из полученной формулы /(х) = а>х>+...

+ а„х„действительно следует непрерывность функции ~: Лемма 7. Норма является непрерывной функцией на линейном нормированном пространстве в смысле метрики (58.18). В силу равенства (58.18) это следует из того, что полунорма непрерывна по полунорме (см. лемму 5 в п. 58.4). Определение 19. Пи>гей>гое нормированное пространен!во называется полным, если оно является полным метрическим пространством в смысле метрики, порозкдаемой нормой данного пространства. Полное линейное нормированное пространство называется ба>гаховьгм пространством.

Линейное нормированное пространство С(а, Ь) непрерывных на отрезке [а, Ь ) функций с нормой (58.13) является !63 банаховым пространством. Мы в этом убедились в и. 57.1, когда рассматривали метрическое пространство непрерывных на отрезке [а, Ь) функций с расстоянием (57.1), которое как раз порождается нормой (58.13). Мы видели, что полнота пространства С(а, Ь| следует из того, что сходимость последовательности в этом пространстве означает ее равномерную сходимость на отрезке (а, Ь'(. Теорема 2. Всякое линеиное нормированное пространство содержится и плотно в некотором банаховом пространстве.

Доказательство. Согласно теореме 4 п. 57.5, достаточно показать, что на пополнение Хв линейного нормированного пространства Х, рассматриваемого как метрическое с метрикой (58.18), можно продолжить с Х алгебраические операции и норму. Это можно сделать с помощью предельного перехода. Как и при доказательстве теоремы 4„будем считать, что Х~Хв, иначе говоря, отождествим пространство Х с изометричным ему подпространством построенного там пополнения Х*. Пусть, например, хпХ~ и унХ*. В силу плотности Х в Х*, существуют последовательности х„н Х и у„е Х, и = 1, 2, ..., такие, что 1пп х„=х, 1пп у„=у.

п- о' и х Покажем, что последовательность (х„+у„) сходится. Действительно, Р(х„+Ууи х +У„)= Ц(х„+У„) — (х +У„)Ц < ( ~~ х„— х„1~ + ~1у„— у 1~ = р (х„, х ) + р (у„, у ) . Из сходимости последовательностей (х„) и (у„) следует, что они фундаментальные, поэтому последовательность (.х„+у„) также фундаментальная и, следовательно, в силу полноты Х в, сходящаяся. Положим, по определению, х+у= 1)пэ (х„+у„). п и Аналогично с помощью предельного перехода определяется и )х, хеХ Легко проверить, что определенные так алгебраические операции х+у, ) х для элементов пополнения Х * не зависят от выбора последовательностей (х„) и (у„) таких, что х„. х, у„-+у, х„н Х, у„еХ, и= 1, 2,....

Также легко убедиться, что в случае, когда элементы принадлежат исходному пространству Х, определенные нами алгебраические операции совпадают с заданными. Определим теперь норму для хеХ*. Пусть х„нХ, и= =1, 2, ..., и !пп х„=х. Покажем что последовательность ()х„~~) 164 фундаментальная.

В самом деле, из неравенства (58.10) для всех натуральных и и т имеем Их„(~ — '1х„Ц«~~х„— х 1=р(х„, х ), (58.19) Последовательность (х„), будучи сходящейся, является и фундаментальной, поэтому из неравенства (58.19) следует„что и числовая последовательность Цх„~~) фундаментальна, а значит, сходится. Положим, по определению, ~(х'1 = 1пп '1 х„~~ .

Так определенная норма ~~х~~, хнХ*, не зависит от выбора последовательности х„нХ, п=1, 2, ..., такой, что х„- х. Легко проверить также, используя предельный переход, что для функции ~~х~~, ха Х*, выполняются свойства нормы 1' — 4' и что в случае хнХ мы получаем прежнюю норму. сэ В качестве примера отмершим линейное нормированное пространство С2.$а, Ь) непрерывных на отрезке [а, Ь) функций с нормой (58.13). та норма при р=1 порождает метрику (57.2). Можно показать, что метрическое пространство непрерывных функций с метрикой (57.2) не является полным.

Согласно доказанной теореме, рассматриваемое линейное нормированное пространство непрерывных на отрезке [а, Ь) функций можно дополнить до полного пространства. Это банахово пространство обозначается 2. [а, Ь). Определение 20. Система элементов х„, пни (И вЂ”. некоторое множество индексов) линейного полунормированного пространства Х наэьсвается полной в этом пространстве, если для каждого элемента хнХ и любого числа е>0 срчцествуют такие элементы х„, ..., х„данной системы и такие числа ), ..., 3.„, что выполняется неравенство '1х — ().,х„+...

+).„х„)~, '«е. (58.20) Сформулируем это определение несколько иначе, введя предварительно еще одно понятие. Определение 21. Множество А~Х называется плотным в полунормированном пространстве Х, если для любого элемента хнХ и любого а>0 найдется такой элемент анА, что ~~х — а(~ «ж Если Х вЂ” нормированное и, следовательно, метрическое пространство, то определение 21, в силу (58.18), приводит к тому же понятию плотности множества, что и определение 8 из и.

57.5. Теперь можно сказать; система (х„), пнЯ вЂ” полна в пространстве Х, если мноэкество конечных линейных комбинаций ее элементов, т. е. ее 165 линейная оболочка (см. определение 5 в и. 58.1) образует плотное в Х множесигво. Если Х является нормированным пространством, то в нем, как во всяком метрическом пространстве, имеет смысл понятие замыкания множества, а поскольку плотность некоторого множества в метрическом пространстве означает„что замыкание этого множества совпадает с самим пространством (см. определение 8 в п. 57.5), то в этом случае определение 2! можно перефразировать и таким образом: система элементов х„, пи г( (Й вЂ” некоторое множество индексов), линейного нормированного пространства Х называется полной, если замыкание ее линейной обо гочки (см.

и. 58.!) совпадает со всем пространством Х. С частным случаем понятия полноты для системы функций мы уже встречались в п. 55.8. Определение 22. Если в линейном нормированном пространстве Х существует счетное множество элементов, образующее полную систему пространства Х, то пространство Х называется сепарабельным.

Характеристики

Список файлов книги