kudryavtsev3a (947417), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Лрлсяя 11847 1912) итальянский мятсмятик. ство 5= Я непрерагвны к на опгрезке [а, Ь1 функций было предкомпактно в пространстве С[а, Ьд, неооходимо и достаточно, чтобы это селгейство было равномерно ограниченггым и равностепенно непрерывным. Доказательство. Необходимость. Если множество 5~ С [а, Ь3 предкомпактно, то его замыкание 5 является компактом, а следовательно, ограниченным множеством (см.

следствие теоремы 5). Поэтому ограниченным множеством является и само множество 5, иначе говоря, семейство 5 равномерно ограничено. Кроме того, так как замыкание Ь' множества 5 является компактом, то оно вполне ограничено; следовательно, вполне ограничено и само множество 5, а это означает, что для любого с>0 в пространстве С[а, Ьд для него существует конечная --сеть. 3 Пусть ее образуют функции 77(х), ..., 7„(х). (57. 63) Каждая из них, будучи непрерывной на отрезке [а, Ьд, является на нем и равномерно непрерывной, и так как функций (57.63) лишь конечное множество, то существует такое б>0, что для всех х~[а, Ь~, х'и[а, Ьд, для которых ~х' — х)<б, и всех 7=1, 2, ..., и выполняется неравенство (57.64) (7',(х') — г';(х) / <-.

Е В силу определения --сети, для любой функции ('~ 5 3 сугцествует такая функция /;,(х), что Р(У, .7г4) г5 в шах У(х) Ло(х) /< —. (57.65) г57'ВЫ га, 53 Поэтому если (х' — х(<б, то для любой функции г'п5 имеем (7 (х ) — г (х) ~ < / г'(х') — 7; (х ) / + / ~, (х' ) — 7;. (х) ! + ! 7, (х) — г'(х) ~ < 2 ! <2гпах (7(х) — 7;,(х)!+!г;,(х') — Я,(х)) < -с+-с=с. г. ьг (57 64( 3 3 Это и означает, что семейство 5 равностепенно непрерывно.

Достаточность. Пусть семейство функций 5 равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Пространство С[а, Ь1 полное, поэтому, для того, чтобы доказать, что семейство Ь !35 ~1(х') — 1(х) ~ <-. 5 (57,66) Возьмем какое-либо разбиение ссх,),'=о отрезка [а, Ь) мелкости, меньшей б, и разбиение (уз,",==~ отрезка [ — с, с) о мелкости, меньшей -': 5 и=хо<х,«...х,«...х„=Ь, .х,—.х,,<Ь, 1=1, 2, ..., и; с — с=уо<ус«" у,«...у =г, у, уз-с<- 1=1, 2, ....

нь (57.67) Через точки (х„ О), 1=0, 1, ..., и, проведем прямые, параллельные оси Оу, а через точки (О, у,), 1=0, 1, ..., т,— прямые, параллельные оси Ох. Тогда получится разбиение т прямоугольника,'(х, у)са<.х<Ь, — с<у<с ), в котором лежат графики всех функций семейст ва о, на прямоугольники с длинами сторон, параллельными оси Ох, меньшими б, и параллельными оси Оу, меньшими 5 рассмотрим множество А всех непрерывных на отрезке [а, Ь) функций, графиками которых являются ломаные, вершины которых лежат в вершинах (ха г,) прямоугольников разбиения т. Множество А, очевидно, конечное, так как конечным является множество всех вершин (х,, у,), с=О, 1, ..., и, 1=0, 1, ..., си.

Докажем, что множество А является а-сетью для множества 5. Выберем произвольно функцию 1'~Я. Для чтой функции и для каждого хь ~'=О, 1, ..., л, обозначим через (х,, у, ) ближайшую к точке (хл 1'(х,)) точку вида (х,, у,), лежащую йа прямой х=х,; тогда с 1.1(х;) ул) (57.68) Сопоставим функции 1' непрерывную функцию 1о ~ А, графиком которой является ломаная, проходящая через вершины (хо, у,,), (х,, гз ),,..(зь у, ), ... (х„, у, ), т. е. (рис. 256) 136 предкомпактно, достаточно показать, что оно вполне ограничено,'т. е. что для множества о в пространстве С[а, Ь~ при любом с> 0 существует конечная а-сеть.

Построим ее. Пусть все функции 1~5 удовлетворяют условию (57.61), и для произвольно фиксированного с>0 выбрано б>0 так, что для любых точек х~ [а, Ь), х'~[а, Ь), для которых 1х' — х1<6, выполняется неравенство 7'О (Х;) =У).. (57.6У) Оценим разность значений функции 7' для соседних вершин: !А(х() -А(»,, ) ! < < ! ~о(-»,) — !'(-»;) !+!)"(-»,) — Лх ) !+)7'(х — ) — 7о (» — ) ! (57.66), (67 68). (»ьсо) 8 8 3 < †+ в-= — е. 5 5 5 5 (57.

70) В силу линейности функции / на отрезке (х,, х( !, для любой точки хы!х( г»,~ имеет место неравенство !уо(.») — 16(х -() !<!76(-»;)— 7о(х(-)) ! < -с. (577!) Теперь оценим расстояние р(7, 7' ) между функциями ~' и )о в пРостРанстве С!и, гг . Для каждой точки хы(а, б! Рис. 256 найдется содержащий ее отрезок (»(.г .»,~, а для каждой ~очки этого отрезка имеем !1(») — (о(»)!<!1(») —.1(х( — )!+!7(х;- ) — 76(»,— )(+ +!Уо(-) -() — уо(х)! < "+-8+-с=с, Нгбб) 5 5 5 (67 68), (67.69) (57.7)) Отсюда В 58.

ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ И ПОЛУНОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 5ал. линейные пРОстРАнстВА Определение 1. Мггожес)ггво Х=)(х, у,:, ..., 'пазывае)ггся действпте.(ьпы и .по(ейны.п )грос))григ(спгвохг ('и ги векто)гггы,)г проснгугапснгво.н (гид по.иои действительны» чисел), если: (37 р ( г,,) о ) „— пих ! ! (х) — 7 (х) ! < с, т. е. действительно множество е! являе)ся а-сетью для $, П Теорема Арцела обобщается на случай отображения компак)ов в метрические пространства. вьс (Л+.(г) (х) = .1~ (х)+.Гг(х) (л.() (х) = л.(((х)), (, е Г(Е), (,~ар(Е), ) пГ(Е), Ы22 или Ы С является действительным (комплексным) линейным пространством. 3.

Множество всех многочленов от одной переменной с действительными (комплексными) коэффициентами является линейным действительным (комплексным) пространством. 4. Множество всех многочленов степеней, не превышающих заданного натурального числа и, от одной переменной с 138 каждой упорядоченной паре (х, у) элементов х~Х и у~Х поставлен в соответствие единственный элемент пространства Х, называемый суммой х и у и обозначаемый х+у; каждолсу элементу х иХ и каждому действительному числу л. поставлен в соответствие единственный элемент пространства Х, называемый произведением л.

на х и ооозначаемый лх. При этом выполняются следующие группы аксиом: 1. а) х+у=у+х для любых х~Х и уиХ; б) х+(у+г)=(х+у)+г для любых х~иХ, у~Х и г~иХ; в) в Х существует элемент, называемый нулевым и обозяачаелсый О, такой, что х+О=х для любого хеХ; г) для каждого х ~ Х существует элемент множества Х, называемый противоположным элементу х, обозначаемый через — х и такой, что х+( — х)=О.

2. а) 1х=х для любого х ~и Х; б) ) (рх)=().р) х для лнэбого х ~ Х и любых действительных чисел г. и р; в) (к+р)х=лх+рх для любого т ~ Х и любых действительных чисел )с и р; г) к(х+у)=кх+)у для любых х~Х, у и У и любого действительного числа л.. Для каждой пары элементов х иХ и у~ 1' элемент х+( — у) называется разностью элементов х и у и обозначается через х — у. Если в приведенном определении действительного линейного пространства всюду заменить действительные числа комплексными: ), р и С, то получится определение комплексного линейного пространства Примеры.

!. Множество всех действительных (комплексных) чисел образует действительное (комплексное) линейное пространство. 2. Пусть Š†некотор множество. Совокупность Е(Л) всех функций ):Е- 1с (соответственно (сЕ- С) при естественном определении их сложения и умножения на действительное (комплексное) число: действительными (комплексными) коэффициентами является действительным (комплексным) линейным пространством. 5. Пгэгостранство всевозможных числовых последовательностей ',х„г, х„н К (или х„в С), гг~гэг, при естественном определении операцйй их сложения и умножения на число (см.

и. 4.8) также является линейным пространством. Если Х вЂ” линейное пространство и х„нХ, й=!, 2,...., и, то всякий элемент вида )сгхг+...+й.„хсн где 2.„— -действительные числа в случае действительного пространства и комплексные— в случае комплексного пространства, называется линейной комбинацией элементов х,, ..., .т„.

Определение 2. Множество Х', содержагцееся в лсаи йпом ггространстве Х (дейгчпвительном и,ш комплексном), называгетс.ч поднростринством этого проспгранстви, если все линейные колгоинации элементов .ипожества Х' содерэкотс.ч в нем. Иначе говоря, множество Х' ~ Х является подпространством пространства Х, если для любых двух элементов х~Х', у~ Х' и любых чисел ЙМ, !г игг (соответственпо ).~С, ра С) имеет место включение ) х+рувХ'. Очевидно, что подпространство Х' линейного пространства Х, в свою очередь, является линейным пространством. Если Х вЂ линейн пространство и л иХ, то совокупносгь всех элементов пространства Х вида ).х, где ) — - всевозможные числа, служит примером подпространства пространства Х, Множество функций, действительнозначных и непрерывных па некотором множестве Е~И", является подпрострапством пространства всех действительнозначных функций, определенных на Е.

Элементы линейных пространств обычно называются пючкими или векторами. Определение 3. Коггелни.ч сисгггелга векторов х,, ..., х„ лгигс йпого простринства Х (действипгельного или колтлекспого) назьгваепгся линейно зависимой, гели сгтцсствуют такие числа )сг, ... „., )и (соопгветспгвенгго действительные или кгг.ипггексггые), пе все равпьге нулю, что ) гхг+ ... +)с„х„=-О. (58.!) В противном случае, т. е.

когда из ривснстви (58.1) следуспг, что все числа н,г, )'г, ..., Х„равны нулго, снгте т вскпгорпв хо ..., х„ пизывиепгся липс'йпо ггезависи.ггой. Определение 4. Систе.иа векторов л„гх~гс( (гг(- -некоторое лтожс ствгг шгдексов) лиггсйного пространства Х гигзывастся .гипсйно независииой, если любин гге конечнсгч подсиспгеиа .т„, хин ... ~г ..., л„линг'йпо ггсзавггсгг.гга. уирггжнснил. г дсннзнси. по сс.ги сисгсчн т,, и 'М, линсяио исгннисичн, то л„ФО лли всех ииоЧ гзч 2.

Доказать, что, лля того чтобы конечная система векторои была линейно зависимой, необхолимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из них являлся линейной комбинанией остальных. Определение 5. Совокупность всевозможных линейных комбинаций злеменпгов, приггадлежащих некоторо.му заданному множеству, называется линейной оболочкой этого множесгива. Определение 6. Пространство (действительное или комплексное), в котором имеется система и линейно незивисимых векторов, линейной оболочкой которых оно является, называется п-лгерным. Всякая упорядоченная система п-линейно ггезависимых векторов, линейной оболочкой которых является п-мерное пространство, называется его базисом.

Иначе говоря, векторы е,, ез, ..., е„образуют базис и-мерного пространства Х, если: 1) векторы е,, ез, ..., е„линейно независимы; 2) для каждого х~ гк" существуют такие числа ).г, ), ..., ).„, что х=Х,е, +),е +...+).„е.. (58.2) Элементы п-.мерного простргигства ггазыванзтся п-.черны.ии векторами (соответственно действительиылги или комплексными). Каждое и-мерное пространство называется копечномерным.

Характеристики

Список файлов книги