kudryavtsev3a (947417), страница 18
Текст из файла (страница 18)
пример в п. 57.3) в себя. В самом деле, пусть функция .х(1) непрерывна на отрезке (а, Ь). Имеем Таким образом, действительно, если ха С(а, Ь1, то и А(х аС(и, Ь). ценим расстояние между образами двух функций при отображении А. Напомним, что рассгояние в пространстве С(и, Ь3 определяется по формуле р(х„хэ)=п1ах ~х,(1) — хэ(1)$, х, еС(и, Ь|, х,еС(и, Ь|. 1" ") Пусть с=п1ах) К(б к)), (57.30) тогда ~А(х,)(1) — А(хэ)(1)) = ) (К(1, к)(х,(1) — х (1Цс(1 < а <)Ц с(1 — а) р(х„х,).
(57.31) Поэтому ) А'(х, )(1) — А'(х,)(1)) = ) ) К(д к)(А(х,)(к) — А(хэ)(к))сЬ < ( < ) с.) с ) ниах ) А (т, ) (х) — А (х ) (к)) с(к < и 1и,Ы 157.311 ~<1'ср(х, х2) (к — а)с(1= р(х„, х,), 12си(с и)2 и <1< Ь. Аналогично, )А (х,)(1)-А (х,П1)~«"('-") р(х,, х,)< < — р(х,, хк), п=1, 2, Л"с" (6 — и)" Выбрав л так, чтобы Х"с"(а--и)" <1, и! 115 получим, что для этого и отображение А" будет сжимающим отображением пространства С ') и, гз1 в себя, а поэтому уравнение Вольтерра (57.24) при любом Х имеет, и притом единственное„непрерывное решение. Упражнение 1В. Привести пример такого отображения Р полного метрического пространства Х в себя, у которого лля любых двух точек хеХ, уе У выполняется условие р(Дх), З(у))<р(х, у).
но нет неподвижной точки. 57.5. ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Полные метрические пространства благодаря наличию у них доказанных выше свойств играют важную роль в математике. Поэтому весьма существенным является то обстоятельство, что всякое метрическое пространство содержится, как это будет сказано, в полном метрическом пространстве. Определение 8. Множество А,иептрического проспграгктва Х низывается плотным в простринстве Х, если замыкание А множества А совпадатп с пространством Х:А=Х. Например, множество рациональных чисел плотно в множестве действительных чисел. Очевидно, что свойство множества быть плотным в пространстве, сохраняется при изометрических отображениях этого пространства, Определение 9.
Полное метрическое пространство Х* называется пополнением метрического прогтринства Х, если Х содержится в Х* и плопгно в нем: Х~ Хв, Х= Х*. Например, множество действительных чисел является пополнением множества рациональных чисел. Отметим, что если метрическое пространство Х' изомеэ.- рично пространству Х и Х имеет пополнение ХЯ, то и пространство Х' имеет пополнение. Чтобы убедиться в этом, достаточно произвести отождествление соответствующих при изометрическом отображении элементов пространств Х' и Х (см. п.
57.1). Покажем, что для всякого неполного метрического пространства существует его пополнение, т. е. покажем, что всякое неполное метрическое пространство является плотным подмножеством в некотором полном метрическом просгранстве. Теорема 4. Для всякого метрического просп|ргигства существует его пополнение. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Конструкция пополнения Х* заданного метрического пространства Х. Две последовательности (.т„~1 и г„) элементов пространства Х назовем эквивалентными, если 11б !цп р (х„, у„)=0. (57.32) и т. Эквивалентность двух последовательностей (х„) и (у„) обозначается символом (х„) -1у„); она обладает следующими свойствами: 1'. Всякая последовательность 7х„) эквивалентна сама себе: (.т„) (х„). 2". Если (х„) (у„), то 1у„) (х„).
3'. Если (х„) (у„), а (у„) ( „), 'го (х„) (а„). Нас будут йнтересовать только фундамейтальные последо- вательности пространства Х. Их множество распадается на непересекающиеся классы эквивалентных между собой последо- вательностей. Обозначим эти классы через х*, у*, а*, ..., а их совокупность через Х*. Если фундаментальная последова- тельность (х„) содержится в классе .т*, то будем, как обычно, это записывать следующим образом: (х„) ~ х*.
П. Определение расстояния р*(х*, у*) в Х*. Пусть (х„1 и (у„) — две фундаментальные последователь- ности метрического пространства Х. Тогда числовая последова- тельность р(х„, у„) также фундаментальна, т. е. удовлетворяе~ условию Коши (см. п. 3.7). Действительно, для любых номеров Л И П7 р(х„, у„) < р(х„, х„)+ р(х, у ) + р(у„, у„) откуда, в силу симметрии индексов л и т, !р(х„, у„) — р(.х, у„)! < р(х„, х )+ р(у„, у ). (57,33) Из фундаментальности последовательностей (х„) и (у„) следует, что для любого числа с > 0 существует такой номер л„ что для всех номеров л > п, и 7н > л, выполняются неравенства Р(.
--) -' Р(У" .1'-) (57.34) Из (57.33) и (57.34) для п>п, н т>п, получаем ! р(х„, у„) — р(х, у ) ! < а. Следовательно, числовая последовательность ( р(х„, у„)) является фундаментальной, т.е. удовлетворяет условию Коши, поэтому сходится. Пусть (х„, '~х*, (у„) ~у*. Положим, по определению, ан р*(х*, у*)= 1цп р(х„, у„).
(57.35) В силу доказанного, указанный предел существует. Покажем, что так определенная функция р*(х*, ув) не зависит от выбора 117 фундаментальных последовательностей (х„) и х* и (у„) ~ у' и удовлетворяет аксиомам расстояния. Пусть (х„) ~ х*, (х„') в х~, (у„) ~ у*, (у„') ну~. Тогда р(х.. у.) < р(х" -.')+ а(х.' у.)+ р(у" у») и потому ) р(х„, у„) — р(х„, у„)( < р(х„, х„)+ р(у„, у„).
В силу эквивалентности последовательностей (х„), (х„) и соответственно (у„), (у„), получим (см. (57.5)) 1пп р(х„, х„) = 1пп (у„, у„') = О н, следовательно, йт р(х„, у„) = 1пп р(х„, у„), л- и ж П1. Проверка аксиом расстояния для р*(х*, у*). Пусть (х„) е х~', (у„) я у*, ( „) ~= к~. Прежде всего так как р(х„, у„) > О, и = 1, 2,, то, перейдя к пределу в этом неравенстве при л — сс, согласно определению (57.35), получим р*(х", уч) > О. Если р*(х*, у*) = О, то 1пп (х„, у„) = О, т, е, последователь- и:о ности (х„) и (у„) эквивалентны, что означает совпадение элементов х* н у*:х* = у*.
Из равенсгва р(х„, у„) = р(у„, х„), перейдя к пределу при и- ж, получим р*(х*, у*) = р*(у*, х*), а из неравенства р(х„, у„) < р(х„, с„)+ р(-„, у„) получим р*(х", у*) < р*(х~, г*) + р*(з~, у*). Итак, Х* является метрическим пространством. 1У. Построение подпространства пространсгва Х*, изометричного пространству Х. Пусть х ~ Х.
Стационарная последовательность х„= х, и = 1, 2, ..., очевидно, фундаментальная. Поставим в соответ- ствие каждому х е Х точку х* ~ Х* такую, что (х) и х*. Если при указанном соответствии точке х соответствует точка .х*, а точке у точка у*, то, очевидно, при х;ь у будем иметь х* Ф у*, причем р*(х*, у") = !пп р(х, у) = р(х, у), т. е. указанное соответствие осуществляет взаимно однозначное изометричес- кое соответствие между пространством Х и некоторым под- множеством Х пространства Х*. Точку х* пространства Х*, соответствующую при рассмат- риваемом соответствии точке х в Х, мы будем для простоты 118 обозначать также через х, а пространство Х' — через Х.
Можно считать, что мы просто отождествили соответствующие точки пространств Х и Х' (см. замечание после определения 2). В этих обозначениях имеет изометрическое включение Хс Х*. Ч. Доказательство плотности Х в Х*. Покажем, что каждая точка х* пространства Х* является точкой прикосновения множества Х. Для этого достаточно показать, что для любой точки х* я Х* существует последовательность х„~ Х, и = 1, 2, ..., сходящаяся к х*. Пусть х* я Х* и (х„) а х*, х„~ Х. Точку пространства Х*, содержащую фундаментальную йоследовательность, все члены которой равны одной и той же точке х„, будем обозначать, согласно сделанному выше соглашению, также через х„. Докажем, что последовательность (.х„), х„~ Х*, сходится к точке х* ~ Х*.
В формуле (57.35) расстояния р*(х*, х„) возьмем для точки х„ я Х* стационарную последовательность (х„, х„, ..., х„, ...), а лля точки Х* — данную последовательность (х„), в которой для удобства индекс и заменим на т; (х„,) ~ х". Тогда р*(х*, х„) = 1пп р(х, х„). Выберем произвольно с > О. Из фундаментальности последовательности (х„) следует, что существует такой номер л„что для всех номеров л > п, и т > и, выполняется неравенство р(х, х„) < —. Перейдя в этом неравенстве к пределу при гл -+ со, получим р*(х*, х„) « — с, т. е.
1пп р*(х*, х„)= О, что означает, что х* является точкой л прикосновения множества Х. Итак, Х = Х*. Ч1. Доказательство полноты пространства Х". Пусть (х„*) — фундаментальная последовательность точек 1 пространства Х*, х„~ Х и р*(х~, х„) <-, и = 1, 2, Такие точки х„существуют в силу плотности Х в Х*. Последовательность (х„) фундаментальная.
Действительно, замечая, что р*(х„, х ) < р*(х„, х"„) + р*(х*„, х*) + р*(х„"', х ) < пч <-+ р*(х*„, х„*)+ —, 1 1 п ьч выберем номер н, так, чтобы для всех номеров и > н, и т > нк выполнялись неравенства к 1 с 1 р*(х"„', х"') « -, — —, — < -.
3 л 3 гн 3 Тогда для указанных номеров будем иметь р(х„, х ) = р*(хтп Х ) <-'+-'+ — = е, (57.36) т. е. последовательность (х„г) †фундаментальн, Обозначим через х* класс зквивалентных последовательностей, которому принадлежит последовательность (х„). Очевидно, р*(х*, х'„") < р" (х*, х„) + р*(х„, х„*) = ре(х'", х„) + —. 1 Но из (57.36) при т- со и п>н, получим р*(х*, х„)= 1пп р(х„, х„)<с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
