kudryavtsev3a (947417), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Про- 2 должая этот процесс, получим последовательность х „ х з, ..., х , ..., р = 1, 2, ..., диаметр множества значений которой не превышает —, и т. д. р' Составим диагональную последовательность х1 о хзк, ..., х«««, (57.44) В силу своего построения, она является подпоследовательностью каждой из построенных выше последовательное~ей. Поэтому, каково бы ни было с > О, выбрав т так, чтобы 1 — < с, получим, что для любых т, >тв и тз>т„выполняется "'о неравенство 1 «н 1 ~2~«) т. е. последовательность (57.44) фундаментальная. 2) Пусть множество Е метрического пространства Х не вполне ограничено.

Это означает, что существует такое с >О, что для множества Е в пространстве Х не существует конечной е-сети. Выберем произвольно точку х, ~ Е. По предположению, она не образует для множества Е с-сети. Поэтому существует такая точка х, ~ Е, что р(л,, хз)> с, Пусть в множестве Е уже выбраны такие точки х,, хз, ..., .к„, что р(х,, х,)> с, 1М/, 1, 7' =1, 2, ..., и. Так как множество этих точек не являешься с-сетью для множества Е, то в нем существуе~ такая точка (обозначим ее х„«,), что р(лн х„,,)> с, 1=1, 2, ..., п.

Продолжая этот процесс, получим последовательность таких точек х„а Е, а=1, 2, ..., что р(х„, х )> с, нФт, и, т=1, 2, ..., Ясно, что эта последовательность не содержит фундаментальной подпоследовательности. П Лемма 6. 77олное вполне ограниченное под.иножество метрического нрос~нранства нвлнетсн ко.инактом. 125 Доказа-гельство. Если подмножество Е метрического пространства вполне ограничено и полно (будучи подмножеством метрического пространства, оно само является метрическим пространством, к которому здесь и применяется понятие полноты, см. определение 5 в и.

57.2), то из всякой последовательности его точек, в силу его вполне ограниченности, можно выделить фундаментальную подпоследовательность (лемма 5), а всякая е|о фундаментальная последовательность, в силу его полноты, сходится к некоторой его точке, т, е, множество Е является компактом. П Теорема 5. Метрическое пространство является компактом тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено и полно. Следствие.

Компакт лвллетсл огриничепным множеством в любом содержащем его метрическо.и пространстве. Доказательство. Если метрическое пространство Х является компактом, то, какова бы ни была фундаментальная последовательность 1х„1 его точек„из нее. как и вообще из всякой последовательности компакта, можно выделить сходящуюся подпоследовательность. К пределу этой подпоследовательности будет сходиться и вся последовательность 1х„,' в силу своей фундаментальности. Тем самым доказано, что в пространстве Х сходится любая фундаментальная последовательность, т.

е, что оно являегся полным метрическим пространством. Далее, так как всякая последовательность точек компакта Хсодержит сходящуюся, а следовательно, и фундаментальную подпоследовательность, то, по лемме 5, компакт Х вполне ограничен. Обратное утверждение является частным случаем леммы 6, когда подмножество метрического пространства совпадает со всем пространством. Следствие вытекает из того, что всякое вполне ограниченное множество является ограниченным.

Т е о р е м а 6. Для того чтобы подмножество полного метрического пространства было ко.ипактом, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и вполне ограниченным. Доказательство. Действительно, замкнутое подмножество полного пространства также является полным метрическим пространством. Поэтому достаточность условия замкнутости и вполне ограниченности подмножества полного метрического пространства для того, чтобы оно являлось компактом, сразу следует из теоремы 5.

Наоборот, если подмножество полного метрического пространства является компактом, то оио замкнуто в этом пространстве, так как гэто было показано выше„сразу после определения 1О) оно замкнуто в любом содержщцем его метрическом пространстве. Кроме того, из той же теоремы 5 следует, что оно и вполне ограничено. П 126 Теорема б является обобщением теоремы 3 из п. 18.3: в критерии компактности подмножества произвольного полного метрического условие ограниченности этого подмножества, имевшее место при Х= 1с", заменяется условием вполне ограниченности. Пример 3. Гильбертов кирпич г " (см.

пример 2) является компактом. Действительно, гильбертово пространство lз является полным (см. пример в п. 57.2), а выше было показано, что множество Д вполне ограничено и замкнуто (см. пример 2), поэтому то, что оно является компактом, сразу следует из теоремы б. Определение 13. Метрическое пространство называется сепарабельным, ес ги оно содержит счетное плотное в себе множество. Теорема 7. Компакт является сепарабельным метрическим пространством.

.. 1 Доказа тельство. Пусть А„~Х являешься конечной --сетью компакта Х, и=1, 2, ..., и (57.45) А= 1) А„. =1 Тогда множество А как счетная сумма конечных множеств является счетным множеством. Очевидно А представляет собой н всюду плоченое в Х множество. В самом деле, какова бы ни была 1 точка .т ~ Х и число с > О, выбрав и так, чтобы — < с, и ~очку а ~ А и л 1 так, чтобы р(х, а)<- (возможность такого выбора следует из и 1 определенна --сети), получим р(х, а)<е, где аиА.

П п Если Š— подмножество некоторого множества Х, то всякая систе.ма множеств Е,с Х, а и 6 (6 — некоторое множество индексов а) такая, что Ес 1)Е„, %~а называется покрытием множества Е. Если покрытие (Е,) множества Х состоит из конечного, соответственно счетного, множества множеств Е„ то оно называется конечным, соответственно счетным, покрьапием. Лемма 7. Из всякого покрытия сепарабельного метрического пространства открытылш множествами можно выделить счетное покрытие. !27 р(.х, а„)<-. Выберем какое-либо рациональное число ) так, чгобы р(х, а„)<г <-, Ь 3Н (57.47) тогда Ца„, г )~6,.

у =— с((а„, ), В самом деле, если (57.48) то р(у, х)< р(у, а„)+ р(а„, х) < г +г < Ь, (: ) 57.47) (57.47) 57.48) т. е. у~6(х, б) с 6,. (47.46) Таким образом, каждой точке х аХ и каждому такому множеству 6„~ (6„), что х(а 6„, соответствуег пара натуральных чисел (т, и), для которой х а У(а„, г )~6„. (57.49) (57.47) Выберем для каждой из указанных окрестностей 6(и„, г ) по одному содержащему ее множеству 6, и обозначим его 6 „ (среди множеств 6 „с разными индексами могут оказаться множества б„с одинаковыми индексами, в ~аком случае выберем одно из них). Система (6 „) счетная, является подсистемой данной системы (6„) и, в силу соотношения (57.49), образует покрытие пространства Х.

П Лемма 8. В компакте лн)бил последовительность непустых зил(кнутых мноо(весте, последовительно влоо(сенных друг в друга, имеет непустое пересечение. 128 Доказательство. Пусть (6,) — покрытие сепарабельного метрического пространства Х открытыми множествами 6„, ((~(Л, (а„) — счетное всюду плотное в пространстве Х множество и (г )--каким-либо образом занумерованное множество всех рациональных чисел. Так как (6,) покрытие пространства Х, то для любой точки х~Х существует содержащее ее множество 6, а(6„)зх а6„. Из открытости множества 6„следует существование такого Ь >О, что (/(х, Ь) с 6„. (57,46) В силу плотности множества (и„( в пространстве Х, найдется такое и, что Доказательство.

Пусть Х вЂ” компакт и (Г„) -- такая последовательность его замкнутых множеств, что ~! 1 2~'" ~и (57.50) Выберем в каждом Ги по точке х„: х„а Г„. (57.51) Из того, что Х--компакт, следует, что последовательность (х„) содержит сходящуюся подпоследовательность (х„): 1пп хи иих. 1 —.и Для любого !с= 1, 2, ..., в силу условий (57.50) и (57.5!), все члены последовательносги !хи, хи, ...) принадлежа~ множеи1, и1, ству с„, а так как эта последовательность сходится к х и си --замкнутое множество, .го т аГ„при любом и, т. е.

и! и1 х а 1'1 Г„. Но, в силу условия (57.50), имеет место равенство „й,р. = й... н, следовательно, х~ 1'1Г„, (и Лемма 9. Пусть Х вЂ” метрическое пространство и !16„1, и=1, 2, ...;--его счетное покрытие открытыми множествами: Х= ()6„. и- 1 Положим Ви1 „ 6в = (57.53) Ь=! с„= Х!6*и, (57.54) тогда (6'„') будет открытыл! покрьипием нространспнви Х: Х= 06*" (57.55) и=1 .множества 6*„будуп1 по! ледоватс льна содержсапьсл друг в друге: 6*, с 6 и2 с, . с 6 „* с 6 „"',, с „, (57.56) с„будут замкнутыми множества.ии, последовательно вложенными друг в друга: Е! з Е2 з ... з Г„з Р„и 1 з ..., (57. 57) !29 причем их пересечение пусто: (1 .=о. л=1 (57.58) Следствие 1.

Если в метрическом пространстве пересечение любой последовательно(ти непустых замкнутых множеств, последовательно вложенных друг в друга, не пусто, то из любого счетного покрытия этого пространства открытыми множествами можно выделить конечное покрытие. С л е д с т в и е 2. Если в се>гарабельном метрическом пространстве пересечение любой последовательности непустых зи,икнутых множеств, последовательно вложеннь(х друг в друга, не пусто, то из любого покрытия этого пространства открытыми множес>ивами можно выделить конечное покрытие.

Характеристики

Список файлов книги