kudryavtsev3a (947417), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Заметим, что если пространство Х сепарабельно как линейное нормированное пространство, то оно сепарабельно и как метрическое просгранство с метрикой (58.18). В самом деле, если в линейном нормированном пространстве Х существует счетная полная система, то это означает, что замыкание множества конечных линейных комбинаций элементов этой системы совпадает со всем пространством, а тогда, как в этом нетрудно убедиться, со всем пространством совпадает и множество конечных линейных комбинаций элементов рассматриваемой системы только с рациональными коэффициентами„а таких линейных комбинаций лишь счетное множество (см. следствие теоремы 10 в п.
4.11*). Таким образом, в пространстве Х имеется счетное плотное в нем множество. В заключение этого пункта введем понятие базиса, а предварительно --понятие ряда в пространстве Х. Определение 23. Пусть х„, п=1„2, ..., — последовательность элементов линейного нормированного пространства Х. Положим з„=х,+...+х„, и=1, 2, ...; пара последовительностей (х„1, 1.з„! называется рядом (с общим членом х„) и обозначается (58.21) элементы з„называются и-ми частичными суммами ряда (57. 21). Если последовательность з„, и = 1, 2, ..., сходится в пространстве Х, то ряд (58.21) называется сходящимся.
В этом 166 случае предел .г= 1пп з„ последовательности злп и= 1, 2, ... „ л называют су.и.ной ряда 158.21) и пишут л„=з. л=! Таким образом, как и в случае числовых рядов, мы будем одним и тем же символом ',! .1.„обозначать как сам ряд, так и л — 1 его сумму, если он сходигся. Как и для числовых рядов, для рядов в линейных нормированных пространствах справедливы следующие утверждения.
Ес.щ рчд (58.21) !ходи!пег!, то схпдипгся н ряд 2 Лх„. причем л=! еслп ~г х„= з, пщ ~г Лх„= Лз. л=1 л= 1 Если в пространгтве Х сходзпнся дво ряда, то сходится и рчд, общий член которого ровен сгмме их членов с одинаковыхш !гомерами, и его сумма равно су.!гм! !Тмм дглгпых р.чоов. Определение 24. Пос,!сдавите.гыгосгнь эле.иеппгов е„, и = 1, 2, ...,,гипейпого нормировгппо!го гггн!!пграгн.пгва Х нггзывасгггся его оазисом, ес.ги, каков бы и! оы.! элсметп хеХ, сущг!твгет, и притом единственная, последовательно!звь чисел Лм и=1, 2, ..., такс!я, что т=,г Л с„. (5822) л=1 (!.т — 1Л1!'! + ... + Л„е„)!~ (6.
158.23) Формула 158.22) называется разложением элемента х по базису ,'е„,'. Нетрудно убедиться, чт о если система элементов ',е„) образует базис, то она линейно независима. Это сразу следует из единственности разложения элементов пространства по базису. В самом деле, если бы элементы е„, п = 1, 2, ..., оказались линейно зависимыми. то среди них нашлось бы конечное множество таких ел, ..., е„, гго для некоторых чисел Л!....,Л1, которые пе все 'равны " нулю. имело бы место 1б7 Таким образом, если последовательность 1е„) является базисом пространства Х, то для каждого элемента хеХ существует, и притом единственная, последовательность чисел !Л„1 такая, что для каждого с> О существует такой номер п„что при всех п>пл выполняешься неравенство равенство ).гг„+...+хгг„=О, т.
е. получилось бы разложение нуля по .элеменгам базиса с коэффициентами, которые не все равны нулю. Для нуля же имеется тривиальное разложение 0= ,"г Ос„, поэтому было бы нарушено условие единственности П- разложения элемен г ов по базису. Если линейное нормированное пространство имеет базис, состоящий из конечного или счетного множества элементов, то это пространство сепарабельно. Действительно, нетрудно проверить, что множество всех конечных линейных комбинаций элементов указанных базисов с рациональными коэффициентами счетно и плотно во всем простраНстве.
3 а м е ч а н и е. Подчеркнем отличие между последовательностьнг эггелген г ов. образующих полную систему, и последовательностью' элемегп оп. образующих базис. В первом случае коэффициегггы 3.„, А — 1, 2, .... и, в неравенстве (58.20) зависят, вообще говоря, не только от выбора элемента хнХ, но и от выбора числа с. Во втором же случае коэффициенты /с=1, 2...., в неравенстве (58.23) определяются только самим элементом (они называются коэффггциеггпггьии разлоэнхнин эпе.аеппги .х по дгггггго.ггг багигт или кггординагггггии эгеггеггпга х прн динном бизисс) и лишь их количество, т. е. число п„зависит от выбора а, Существуют сепарабельные банаховы пространства, в которых нет базиса, В следующем параграфе будет рассмотрен более узкий класс пространств, в когорых базис всегда существуе<.
зяаь линейные ОггеРАТОРы Изучим геперь некоторые свойства линейных отображений одного линейного нормированного пространства в другое. Такис отображения, как и в конечномерном случае, называют обычно линейными опера~орами. Мы будем обозначагь их буквами А, В ... и для краткости часто вместо А(сг) будем писать просто Ах, В и. 41.6 для линейного оператора А: гх". гх была введена норма по формуле (см.
(41.41)) г1.4() = ьцр )Ах), .хеМ". Эго действительно норма, в смысле определения и. 58.2, в линейном пространстве Я(гх", гх ), что будет следовать из дальнейшего рассмог рения. Пусть Х и У - произвольные линейные нормированные пространства и А: Х- 1' линейный оператор. Положим гьх !!А!! = зпр !!Ах!!, !!л! < ! где,'!х~, '= «х!! и ,'~Ах!! = !'!Ах!!т. В случае произвольно выбранных линейных пространств Х и «' может оказаться, что верхняя грань !!А!!, определяемая равенством (58.24), не будет конечной для всякого линейного опе атора А: Х- «'.
6 усть' 2 (Х, У), как всегда (см. п. 58.1), множество всех линейных Операторов А, отображанпцих пространство Х в пространство «; а .У(Х, У) — множество тех нз них, для которых )!А!! < + х. Покажем, что .У(Х. У) также является линейным пространством, а !!А!~ - нормой в нем. Если Ае.У'(Х, У) и Ве,У(Х, У), то )А+В~~ = кпр !~(А+В)х)~~ = ьпр !!~Ах+Вх!, '< !ля Ч ! < зпр (!!Ат!! + !!Вх!!)< зпр !!84х!~ + зпр !!Вх!!= лл!><! Гл!!<! !!.лл! < ! = !А!! + !!В!!<+ее и, сл!едовательно, А+Ве.У(Х, «). Для любого «.еМ (или Ы С в случае комплексных пространств) ~!«А~)= ввр ««Ал!1= впр )«4 ~~Ах!~ =)«! квр !!~А4!=~741~А~)<+со !!л!!<! ;!л!! < ! !!х;!< ! и, следовательно„«.Аа.У(Х, У).
Таким образом .У(Х, «') дейсгви!ельно является линейным пространством. Далее, очевидно„что из (58.24) непосредственно следует„что !!Аг >О. При этом, если !!А( =О, т. е. впр !!Ал',! =О„то для всех ",.л1! < ! т таких, что !!х!! <1, имеет место ' равенство !(!Ах!~ =О, а следовательно, и Ах=(«, Но тогда и вообще для всех хеХ также имеем Ах=О. Действительно, если х такой элемент пространства Х„что !'1т11>1, то заведомо х~О, а значит, ! — = — ~!.х~! = 1. 1 х !! ;! л ~! ! л 1 ! Поэтому, в силу уже доказанного, А ~ — ') =О, Отсюда — — Ах=О Ьн1 !! л !! и, следовательно, для любого хе Х: А.т = О.
Это означает, что А =О. Итак, «А) действительно норма в пространстве .У(Х «) Если значение «А1!, определяемое формулой (58.24), бесконеч- !69 но: !!А!!=+х, то будем говорить, что «норма оператора А бесконечна». Норму !!А!! (как конечную, так и бесконечную) можно получить и несколько другим способом. Именно, оказывается, что !!А !! = ацр 'л-, .л е Х.
(58.25) лФО '' ' Для доказательства этой формулы заметим, что (58.26) ьцр !!А.т!! = зцр !!Аг ~ . ;»!!< ! ;:!у! = ! В самом деле, с одной стороны, очевидно, что зцр !!А.т~! > кцр ))Аг(1, !л <! ,"0! = ! ибо при увеличении числового множества его верхняя грань может только увеличиваться.
С другой стороны, для любого дет г элемента хеХ такого, что О<!!гс!1<1, положим у = —; тогда 1«1 Ь11=1 и /!Аг/)= —, !)Ал!1 >(/Ах)!. (.л'! Отсюда 5цр 11Ах!( < кцр ))Аг(! . 1х!,< ! ~,'у! = ! Из полученных неравенств и вытекает равенство (58.26). Теперь имеем (лл 1 .л' вцр — "' =зцр А-'-, = вцр (!Ау)(= зцр !)!Аг!!=!1А~~, «ФО ' .л'ФО (т( = ! !!.л), ).л!! !!у!! < ! т. е. формула (58.25) также доказана.
Из нее, очевидно, следует. что для любого .геХ, лэьО, 1!А4!,! 1,.-1, < ~~А!1, и„следовательно, для любого .леХ имее~ место неравенство ~~А.г~!<1!А1~ ~М, (58. 27) где 1!ге!! — норма в пространстве Х, !!А.л!! — норма в про- странстве т', а !1А !! — норма в пространстве .У (Х, У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
