kudryavtsev3a (947417), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Г3 Замечание 1. Теоремы 12 и 13 были сформулированы применительно к тригонометрической системе функций. Подобные утверждения справедливы, конечно, для любой полной ортогональной системы функций, т. е. системы, образующей ортогональный базис в пространстве Еэ [а, 6 ]. В частности, аналогичные утверждения справедливы для разложений функций по полиномам Лежандра (см. пример 2 в п. 60.3) в пространстве Е, [ — 1, 1].
Например, если все коэффициенты Фурье непрерывной на отрезке [ — 1, 1] функции по системе полиномов Лежандра равны нулю, то эта функция равна нулю во всех т очках отрезка [ — 1, 1 ]. Доказательства подобных утверждений могут быть проведены по той же схеме, что и выше. 3 а м е ч а н и е 2. Основным и существенным фактом, позволившим доказать теорему 12, является полнота тригонометрической системы в пространстве Е [ — и, и ], которая в свою очередь основывается на возможности сколь угодно точно в 248 смысле среднего квадратичного приблизить на отрезке [ — л, л ] всякую функцию с интегрируемым на сном отрезке квадратом непрерывной, периода 2л, функцией (см, лемму 8 из п. 59.4).
Использование же общей теории о разложении по ортогональным системам в гильбсртовом пространстве носило по существу лишь терминологический характер и позволило более кратко и наглядно проводить и записывать рассуждения, В качестве примера понятия, которое весьма удобно при рассмотрении изучаемых вопросов. отметим прежде всего понятие линейного нормированного пространства (в частности, предгильбертова пространства), а значит; и понятие нормы. Введение этих понятий позволило изложить теорию разложений по ортонормированным системам вне зависимости от их конкретного вида.
Эти понятия имеюг разнообразное применение и в различных других разделах математики. В заключение, используя полученные результаты, докажем еще одну теорему. Те о р е м а 14. Пусть функция з непрерывна на отрезке [ — л, л [. Если ее ряд Фурье сходится равномерно на отрезке [ — л, л ), то его сумма равна функции ). Доказательство. Пусть з (х) — '+,> а„сов пх + 6„з)п пх ь=1 5(х)= — '+ а„сових+Ь„в1пих п=з — сумма ряда Фурье функции !". Прежде всего функция 5(х), как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, также непрерывна.
Далее в силу теоремы 1 п. 55.1, коэффициентами Фурье функции 5(х) являются числа ав, а„, Ь„, п=!, 2, Таким образом, две непрерывные на отрезке [ — л, л ) функции г' и 5 имеют одинаковые коэффициенты Фурье, и поэтому в силу сказанного выше они совпадают во всех точках отрезка [ — л, л ): )'(х)=5(х), — л<х<л. 0 ВОЛ. ОРТОГОНАЛЪНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ В ПРЯМУЮ СУММУ Определение 7. Подмножество линейного пространства Х со скалярным произведение,и называется его подпространством, если оно является подпространством Х как линейного пространства и является, кроме того, замкнутым множество.и.
249 у„е 1сег А, т. е. А (у„) = О, и 1пп у„=у, л ю то А (у ) = А ( 1пп у„) = 1пп А (у„) = !ип 0 = О, т. е. уа1сегА, что и означает замкнутость ядра 1сегА. Гз Определение 8. Если Х линейное пространство со скалярным произведением и У -- его подмножество, то множество Гс всех элементов пространства Х, ортогональных всем элемента,и множества У: 1 =(хеХ:(х, у)=0, уеУ), (60.57) называется ортогональным дополнением множества У. Легко видеть, что Л емм а 6. Если 1' — надпространство линейного пространства Х со скалярным произведением, то У~ также является подпространством пространства Х. Доказательство. Если г,нУ~, г еУ-', то для любых чисел ), ). и любого уеУ имеем (),г,+) гг„у)=)ч(г„у)+) г(г„у)=0 и, следовательно, ),г,+)'зггн 'з'~, т. е.
У~ ранством линейного пространства Х. Замкнутость множества У ~ следует является подпростиз непрерывности 1пп г„=г, то для и э скалярного произведения: если г„н У~ и 250 Примером подпространств линейных пространств со скалярным произведением являются ядра ограниченных линейных операторов. В самом деле, пусть А — линейный ограниченный оператор на предгильбертовом пространстве Х и )сегА=(хнХ: Ах=О); (60.56) тогда, как мы уже знаем (см.
лемму 2 в п. 58.1), ядро 1сегА является подпространством линейного пространства Х. Замкнутость ядра )сегА следует из непрерывности оператора А (см. п. 58.6); если любого уе У имеем (г, у)=(1пп г„, у)= 1пп (г„, у)=!пп 0=0, т. е. гнУ~, а это и означает замкнутость множества У~. (.) Теорема 15. Если У вЂ” -подпространство гильбертова пространства Х и хонХ, то существует такой единственный элемент уьн У, что ~1 хо — ув 1! = 1п(!ахи — И~. у Элемент уо называется ортогональной проекцией элемента х„ в подпространство У. Очевидно, эта теорема является в некотором смысле обобшением теоремы 3 и. 60.4 на случай, когда подпространство У не является обязательно конечномерным. Доказательство. Пусть Х вЂ” гильбертово пространство, хьеХ, и У вЂ” подпростраиство пространства Х.
Положим с( =' (пГ ))х — у !)э. уиу Выберем последовательность точек у„н У, так, чтобы !пп !!х„— у„!!'=а. (60.59) Заметим, что для любых элементов и и о какого-либо линейного пространства со скалярным произведением имеет место тождество и!и и у !,! 2 э 2 2 2 2 2 + — = — ~!и и~-ь-)) о ~~ (60.60) — — +, — =-(и, и)+-(о, о) и произвести соответствующее умножение, воспользовавшись дистрибутивностью скалярного произведения.
Положив в тождестве (60.60) и=хо — у„, о=хо — у, получим ! 2 х.-",' +4)Ь.-у.~!~=-,'!( .-у.~~'+-'!! х.-у. (~' (6061) 25! Чтобы в этом убедиться, достаточно записать это равенство через скалярные произведения Так как )-" — -~У, то )т-1 Х 2 (60.62) 2 В силу условия (60.59), для произвольно заданного а>0 существует такой номер ло, что для всех номеров л > и выполняется неравенство 1! хо — У„)12 < 41+ —. (60.63) Поэтому если л>по и л)>во, то из равенства (60,61), в силу неравенств (60.62) и (60.63), следует, что 1 2 21+-~)у„— у 112 <-~о)+ — ~+- ~Д+ — ~, 4 " 2~ 4) 2~ 4/ т. е. при л>))о и )))>))о выполняется неравенство ~~у.-у.
~! <' Это означает, что последовательность 1у„) фундаментальная, а поэтому, в силу полноты пространства Х, она сходится. Пусть де) то = 11п) у„. (60.64) Отсюда, в силу непрерывности нормы, следует, что на элементе Уо ДостигаетсЯ минимУм отклонениЯ 1)хо — У11 элемента хо от подпространства У, т. е. выполняется условие (60.58). В самом деле, )1 хо — Уо11 = 1)хо — 1пп У, 11 = 1пп 1)хо — У„11 =,,/Й = )пр 11 хо — У11, л 5 н с (6059) )иг (60.65) Таким образом, так как нижняя грань достигается, то ее можно заменить минимумом (60.66) 11хо Уо 11=пил 11хо У11.
)е г Покажем, что элемен~ у, обладающий этим свойством, единствен. Действительно, если у)еУ, ~!Хо-у !!'=1 (60. 67) то, положив в тождестве (60.60) и=хо — уо„о=хо — у„получим 252 2 хо ' ' ' +-1!Уо У1!!э=-!1хо — Уо(1~+-!!хо — У1!1~ (6068) Так как Ус — У вЂ” 'е); то, в силу (60.59), выполняется неравенство Уо+ У! 2 2 хо — — >д, Уо+ У~ 2 а так как, кроме того, !1хо — уо11'=д, !1хо — у511'=д, то из (60.68) следует неравенство 2 д+- Уо У1 «д 4 =(хо Уо хо Уо)+2г(хо Уо У)+~ (У У) — со < г < + со. Найдем ее производную: У" (Е)=2((хо Уо* У)+г(У У)). (60.70) 253 т. е.
1!Уо — У, !!2 <0, что возможно лишь тогда, когда Уо=у, П. Замечание 1. Из доказательства теоремы 15 видно, что полнота пространства Х использовалась лишь для существования ортогональной проекции элемента в подпространство, а не для ее единственности. Таким образом, если у элемента линейного пространства со скалярным произведением существуег ортогональная проекция в некоторое подпространство, то она единственна.
В рассматриваемом случае имеет место и обобщение следствия 1 теоремы 3 п. 60.4. Теорема 16, Для того чтобы элемент уо был ортогональной проекцией элемента хо гильбертова пространства Х в его надпространство К необходимо и достаточно, чтобсв для всех ун 1' выполнялось условие (хо уо у) = 0~ (60.69) т. е. чтобы хо — уо.) 1'. Доказательство необходимости условия (60.69). Пусть элемент т удовлетворяе~ условию (60.66). Выберем произвольно элемент унт и рассмотрим вспомогательную функцию ьа 7(")=!!хо Уо+~У!! =(хо Уо ~У хо Уо+гУ)= Так как уо+~ун У, то, в силу (60.66), функция 7' достигает наименьшего значения при ~=0. Следовательно, /'(0)=0, или, в силу формулы (60.70), (хо уо у) — О (лля произвольного уе У), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
