kudryavtsev2a (947416), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Требуется найти линейную комбинацию вида ауеу+... + а„е„, которая дает наилучшее приближение в пространстве Х элемента х, т. е. осуществляет минимум выражения 1х — (а,е,+...+а„е„)[, (58.19) или, что то же, минимум функции л и — — — (у!.уо) ь- ! ь=! А=! от переменных а„..., а„. у/! !в кухрявчев л, д.
и э 4И У ба.. Ортовориироееялые бозиоы и разложения по яим Геометрически это означает, что в и-мерном пространстве )те=Я(ей, ..., е„), .натянутом на векторы ей~Х, ..., е„енХ ищется элемент, наименее удаленный от заданного элемента хен аи Х. Если пространство Х вЂ” и-мерное и, следовательно, векторы е„,, е„образуют базис, то всегда можно подобрать такие коэффициенты аы А=1, 2, ..., и, что будет выполняться равенство х=айей+...+а„е„ (58.21) + 'Я ~айаг(ей, е~)-2 й,'ай(х, еа) й !/ ! й ! л м =)х)з+ ~ч ! ай!!ей)з — 2,Я ай(х, ей)= й=! й=! а л + ~й '1ай(ей' !е ) ~К~ (е з й ! й=! (58.22) Отсюда следует '1, что минимум выражения (58.19) достигается, когда ай)еа1 — — ' О, й=1, 2...„л, (х, ей) (е» щ Очевидно, что зто рассуждение являегся неиосредспеиным обобщением доказательства теоремы 11 ив и, бб.з. и, следовательно, выражение (58.19) обратится в ноль.
Если же Х не конечномерно, или коиечномерно, но имеет размерность, ббль- шую, чем и, то равенство (58.21), во- 1~~ обще говоря, осуществить невозможно и задача состоит в отыскании линейной комбинации (58.18), дающей минималь- Х ное значение выражению (58.19). а Мы покажем, что сформулированная задача всегда имеет и притом единственное решение х<„ кроме того, выясним некоторые свойства этого решения (см.
рис. 229, на котором схематически изображена рассматриваемая задача). Применяя, если надо, процесс ортогонализации (см. п. 58.2), систему е„..., е„всегда можно заменить ортогональной системой не равных нулю векторов. Поэтому будем предполагать, что ей ~ О, (еы еу)=О„Й~ 1, 1, 1=1, 2, ..., и. Пользуясь условием ортогональности, преобразуем функцию (58.20) следующим образом: б8.4. Ряды Фурье т. е. когда (я, ед) ад= — ' ! ее 1» (58.23) Числа а„, определенные по формуле (58.23), наэываотся коэффициента ли Фурье элемента х по системе е„..., е„. Если система е„..., е„ортонормированная, то формулы (58.23) приобретают более простой вид: (58.24) ад = (х, еь). » 1х1' — Я а$)ед,,д= ~к — ~ адед )О, (58.25) д=! д=! откуда » Я ад 1!ее|!д () х)д. д=! (58.26) Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 3. Пусть еы 'едчьО, й=1, 2, ..., п — ортогональная система веко!оров предгиеьбертсва пространства Х. Наилучи!ее приближение в иространапве Х вектора х~ Х линейными комбил наЦилми вида Я адед осУи(ествлветсл, когда аы й = 1„2, ..., и, д ! суть коэффициенты Фурье: ад=а,. При миом !г » » !п1 ~х — Яадед~ =~х —,5~ аде»~ =1х„' — ~ ад1ед'!д~О.
д=! Следствие 1. Элемент хе ~ а)е) являеп!ся элементом наилуч! ! имго приблиясения элемента х ен Х в подпространстве ь (еь ..., е„) тогда и только тогда, когда элемент х — хе ортогонален к Ж(е„..., е„), т. е. х — хе 1.й(ем "., е„). Действительно, условие х — хе ) Ж (е,„..., е„) равносильно условию: для всех я=1, 2, ..., и имеет место равенство (х-х„ ед) =О. Это, в свою очередь, эквивалентно условию (х, ед) =(хе, гд) !)е )а» В случае и-мерного пространства, когда в качестве векторов е„ ..., е„ выбран базис пространства, коэффициенты Фурье вектора х являются его коэффициентами разложения по указанному базису, т. е. координатами элемента х относительно этого базиса.
В этом легко убедиться, умножив скалярно равенство (58.21) на ед, й = 1, 2, ..., и: в результате получится (58.23). Вернемся теперь к выражению (58.22). Если в нем в качестве ад, ..., а„ взять коэффициенты Фурье (58.23), то получим 484 Э бв. Ортонориированные базисы и разложении ионин или, поскольку условию (х, ее) =а„(ем ее). Таким образом, условия х — х, 1 о(е„..., ел) и а„= — ' (х, ее) (ее, ее) равносильны.
Но второе условие означает, что числа аь являются коэффициентами Фурье элемента хл„т. е. что хе является элемен- том наилучшего приближения. ( ) Пусть теперь задана последовательность (а не конечная система, как выше) элементов е„(е„ФО), п=1, 2, ..., (58,27) образующих ортогональную систему в пространстве Х. Числа аа, й=1, 2, ..., определяемые по формуле (58.23), и в этом случае называются коэффициентами Фурье элемента у по системе (58,27), Определение 4. Ряд ,У~ а„ел, (58.28) л ! где ал, и = 1, 2, ...— коэффициенты Фурье (58.23) элемента х по системе (58.27), называется рядом Фурье элемента х по этой системе.
Если ряд (58.28) является рядом Фурье элемента х, то пишется х ~Ч ', алел. л 1 Определение 5. Пусть задана ортогональная система (58.27) и элемент х ы Х. Наилучшим приближением элемента х с помои(ью л линейных комбинаций вида ~ (ееее (и — фиксировано) называется е-! число Е„(х), определяемое равенством л Ел(х)= !п1 х — Яаеее, п 1, 2, ..., ас ....ал где нижняя грань берется по всевозможным коэффициентаи ссз„..., ал, или, что то же, по всевозможным линейным комбинал циям вида ч ', аее». л-! Поскольку всякая линейная комбинация элементов е,, ..., ел может также рассматриваться и как линейная комбинация эле- 488 Увлн Ряды Фурье ментов е„..., е„, е„„, то, очевидно, Е„ь! (х) == Е„(х). (58.29) Из теоремы 3 следует, что рассматриваемая нижняя грань достигается, если в качестве коэффициентов ая взять коэффициенты Фурье, и что аяеь, = =(х — ~' аьеь,',=~,/ х!я — '3" ая',е„,„-, ь.— -! 1 я=! у=1, 2, .... (58.30) (еь еь! ' ь Е„(л) = !п1 ~,'х — ) ', а, ...,ая1! е эя= ~> алей я=! ряда Фурье элемента х ев Х осуществляют наилучшее в пространстве Х приближение элемента х е= Х с помощью линейных комбинаций вада алел+...+и„е„.
Отметим еще несколько следствий теоремы 3. Следствие 3. Если э„— частичная сум.ча ряда Фурье элемента х е= Х, то числовая последовательность (х — э„1 убывает: (х — э,ьл( =1х — э„!, и=1, 2, ... В самом деле, согласно (58.30) )х — з„)=Еь(х), и=1, 2, ... Поэтому неравенство (58.31) является неравенством (58.29), записанным в других обозначениях. Следствие 4. Для коэффициентов Фурье а„, и = 1, 2, ..., каждого элемента х ~ Х справедливо неравенство ~„"а„'(е„)Я -=. ) х;„', (58.32) ь= ! называемое неравенством Бесселя.
Неравенство (58.32) непосредственно следует из неравенства (58.26) при и-эоо (ср. с неравенством (55А9) в п. 55,9). Следствие 5. Если существует постоянная с- О п!акая, что (е,)~с при и=1, 2„..., в частности, ее!и система (58.27) ортонорми рованная (в этом случае лгожно взять с = 1), то коэффи- !6 Куяряьчев Л.
Д. т. 2 Полученный результат сформулируем в виде следствия 2 из теоремы 3. Следствие 2. Частичные суммы 486 Э ВВ. Ортонормироэинние боэиом и роэлотвенил ионин циентм Фурье любого элемента х ен Х стрел!ятся к нулю при и-а-со 11гп ал=О.
(58.33) Это следует из сходимости ряда а= 1 л= — ! ибо общий член сходя!цегося ряда стремится к нулю. Естественно возникает вопрос: при каких условиях ряд Фурье элемента х сходится? Теорема 4. Если пространство Х гильбертово (т. е. полно), то ряд Фурье (58.28) любого элемента х ~ Х по л!обой ортогональной системе (58.27) сходится в пространстве Х. Если хь его сумма: хо = ,У', а„ел, (58.34) л=. 1 то элемент х — хь ортогонален ко всем элел!ентам системы (58.27).
Д о к а з а те л ь с т в о. Пусть эл = ~ч,' а„е„, и =1, 2..., — частич«=1 ные суммы ряда Фурье (58.28) элемента х по системе (58.27); тогда л+р 12 !' л!р л+р ~э„+р — в„)е = ~ч , 'а,е,~ =~ ~~ а„ем '~ ~а,е„= 1 а= л-!- 1 а= л+ ! а.— —. а+ ! л+ р аа'(е„~,', п=1, 2, ..., р=1, 2, .... А=-а+ ! В силу неравенства Бесселя (58.32) ряд (58.35) 'У', аа!!Ел)' л=! (э.„-з. (~е, т. е. последовательность (з„) является фундаментальной в прост- ранстве Х и вследствие полноты последнего сходится.
сходится, и, следовательно, в силу критерия Коши для сходимости числового ряда для каждого числа е)0 существует такой номер и„ что при п ) и, и р -» 0 выполняется неравенство л+р аа~!еа)эа е', ь=л+! поэтому, согласно неравенству (58.35) при и~па и р)0, имеем эа.4. Ряди Фурье 4В7 В условиях теоремы последовательность эл сходится, вообще говоря, не к элементу х. Пусть ее пределом является элемент х„ т. е. хь — — ~ а,ел„тогда, используя непрерывность скалярного л=.! произведения (см. п.
57.9) и формулу (58.23), получим (х — хео еь) =(х, еь) — (х„еь) = = (х, еь) — ( ~ ', а„е„, еь ) = (х, еь) — .У, 'а„ (ел, еь) = сл= ! л =(х, еь) — аь)еь(!э=О, й=!, 2, ... Ц Что же касается условия сходимости ряда Фурье некоторого отдельного элемента к самому этому элементу, то его можно сформулировать в следующем виде.
Теорема 5. Ряд Фурье (58.28) элементах предгильбертова пространспиа сходил/ся к этому элементу пюгда и только тогда, когда для него выполняется равенство (х)'= ~ч,а„'!се„)', (58.36) л=! и представляет собой обобщение теоремы Пифагора на бесконечномерные пространства. Доказательство теоремы 5. Мы имели (см. (58.25)) ! л )а л х — ~ аьеь~ =(х)' — ~ а1 1!еь)ь. ь=! ь=! Переходя здесь к пределу при п-~-оо, получим эквивалент- ность условия л 11!п ~х — 'У, 'аьеь = О л ос (58.37) и условия 1пп (1х)' — ~ ах)ел)!')=О, л со! ь=! l т.
е. условия л 1х)'=11/и э,' а~(еь)'. П 'л сов (58.38) 16» где ал — коэ/Ы/ициенты Фурье элемента х по системе (58.27). Равенство (58.36) называется равенством Парсеваля. В случае, когда система (58.27) ортоиормирована, равенство Парсеваля принимает более простой вид: 1х(ь=,э,'а„', ал=(х, е„), и=1, 2, ..., 488 Э Эв. Ортонораарованные базисы и разлоехенан попал Напомним теперь понятие полной системы (см. п. 57.6) применительно только к случаю счетных систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
