kudryavtsev2a (947416), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Оогогооозазоциз Докажем это. Обозначим через Е (и„... „и„) линейную оболочку системы элементов и„..., и„(см. п. 57.2); 7. (х,, ..., х„) является и-мерным пространством, в котором элементы х„..., х„ образуют базис (см. п. 57.2). Элементы уо 1= 1,2, ..., и (соответственно зо 1=1, 2, ..., п), линейно независимы и содержатся в Е=(х„..., х„); следовательно, элементы уо 1=1, 2, ..., п н элементы хо 1=1, 2, ..., л, также образуют базис в пространстве Е(х„..., х„). Таким образом, Е(х„..., х,) =Е(у„..., у„) = = — Е(хь ..., г), и=1, 2, ..., Элемент у„~ Е (х„..., х„) ортогонален подпространству Е(у„..., у„,)=Е(х„..., х„,), т. е. ортогонален каждому элементу этого надпространства. Элемент же г„ен Е (хп ..., х„) ортогонален подпространству Е(хь ..., х„,)=Е(хг, ..., х„1).
Итак, элементы у„и х„л-мерного пространства Е(х„..., х,) ортогональны одному и тому же (п — 1)-мерному подпространству Е (х„..., х„г) и, следовательно, пропорциональны: г„= Л„у„, Л„эьО, л = 1, 2, ... (почему?). Отметим еще, что из Е(хм ..., х„)=Е(у„..., у„), и=1, 2, ... вытекает совпадение линейных оболочек бе с к о н е ч н ы х систем (58.4) и (58.5).
Рассмотрим теперь систему степеней х: 1, х, хз, ..., х", .... (58.11) Эта система линейно независима на любом промежутке (конечном нли бесконечном). Действительно, если Ло+Л,х+...+Л„х"=О, (58.12) то, дифференцируя это тождество и раз„получим п)Л„= О, т. е. Л„=О. Если уже доказано, что Л„„=... = Л„= О, то тождество (58.12) примет внд Л, + Л,х+... + Льх~ = О.
Дифференцируя его й раз, получим Ля=О. Итак, Л,=...=Л„=О, что и означает линейную независимость функций 1, х, ..., х'. Заметим, что поскольку функции системы (58.11), рассматриваемые на некотором отрезке (а, Ь1, принадлежат пространствам С[а, Ь1 (см. пример 7 в п. 57.4), СЕз1а, Ь1 и Е,1а, Ь) (см. п.
57.10), то в этих пространствах имеются бесконечные линейно независимые системы. Следовательно, указанные пространства бесконечиомериы, т. е. заведомо не имеют базиса, состоящего из конечного числа элементов. 473 Э ВВ. Ортонорнированные базисы и разложения но нин Если систему (58.11) взять на отрезке [ — 1, 1] в качестве исходной системы (58.4) и применить к ней процесс ортогонализации (см. (58.5)) в пространстве Е,[ — 1, 1], то получим последовательность ортогональных многочленов соответственно степеней О, 1, 2, ....
Из сделанного выше замечания следует, что эти многочлены могут отличаться от многочленов Лежандра (58.3), которые также ортогональны, лишь постоянным множителем. за.з. пОлные системы. пОлнОтА тРиГОнОметРическОЙ СИСТЕМЫ И СИСТЕМЫ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА Напомним (см. п.
57.6), что система элементов й =(ха), и спи, называется полной в полунормированном пространстве Х, если множество всех конечных линейных комбинаций ее элементов плотно в пространстве Х в смысле заданной в нем полунормы. Иначе говоря, система полна, если для каждого х~ Х и любого а)0 существуют такие элементы х„вен(в н числа Лн, А=1, 2, ..., т, что ! х — Я Лих„а «е. Ф=т Определение 3. 77олунормированное пространство Х называется вложенным в полунормированное пространство У, если 1') Х~)'; 2') суи(ествует такая постоянная с) О, что для любого х~ ен Х имеет место неравенство ( х [г ( с ( х )х.
Постоянная с)0 называется константой вложения. Вложение пространства Х в пространство У обозначается символом хну. Легко проверить, что если Хе=У и Ус==2, то Хе=2. Из леммы 3, п. 57.4 следует, что для любого отрезка имеют место вложения й7. [а, Ь]е:=.К)з[а, Ь], К1. [а, Ь]П5[а, Ь]е:=.Ж.Да, Ь], 1==.р .,+оз.
Здесь во втором вложении пространство )77. [а, Ь]ДЗ[а, Ь] рассматривается с нормой ) (, т. е. с нормой йространства 3[а, Ь]. Если ограничиться только одними непрерывными функциями, то из второго вложения следует вложение С[а, Ь]В==С7.р[а, Ь], 1 -Р<+со. (58.!3) Отсюда, вспоминая„что при р=2 пространство С7,и[а, Ь] изометрически вкладывается в пространство Ь,[а, Ь] (см. (57.52)) 88.8. Полные системы получаем еще вложение С[а, Ь14::Е»[а, Ь1. (58.14) Обратим внимание на то, что во вложениях (58.13) н (58.14) вкладываемые пространства плотны в пространствах, в которые они вкладываются: в случае (58.13) это следует просто из того, что множества точек обоих пространств совпадают, а в случае (58.14) это следует из теоремы 6 п. 57.10.
Лемма 3. Если система Я=(х„), аыЯ, полна в полунормированном просп!ранен!ее Х, пространство Х вложено в полунормированное пространство У и множество Х плотно в пространстве У по полунорме этого пространства, то система»1 полна в пространстве У. Доказательство. Возьмем произвольный элемент уев У и любое е>0. В силу плотности множества Х в пространстве Х найдется такой элемент х е= Х, что [у — х(㻠—. е 2' Поскольку система 1» полна в пространстве Х, то существует конечное множество таких элементов х„» ев Й и чисел Л», й = = 1, 2, ..., т, что х — ~Р Л»х„„~ ( — ', »=! (х где с>0 — константа вложения Х а У.
В силу этого вложения (см, определение 3) х — '~' Л»хн» ~ с х — ',Р Л»хо» (-,'-. »=! г »=! к Поэтому для первоначально выбранного нами элемента у получим у — ~~ Л»х~» ~[у — х(г+ х — ~) Л„х ~ ( — + — =е, Это н означает плотность системы (1 в пространстве У. [ 1 Примеры. 1. Система степеней 1, х, х', ..., х", ... (58.15) полна в пространствах С[а, Ь1, СЕр[а, Ь1, 1 =-. р (+ со и Е»[а, Ь1 для любого отрезка [а, Ь[. Действйтельно, в силу теоремы -Вейерштрасса (см. теорему 8' в п. 55.8) укаэанная система степеней гюлна в пространстве С [а, Ь1, которое согласно (58.14) вложено 480 5 5В.
Ортонориироеанные баэиеы и разложении ионин в пространство Ее[а, Ь] и плотно в нем, Поэтому по лемме 3 этого пункта система степеней (58.15) полна в пространстве Ее[а„Ь]. По той же лемме эта система полна и в пространстве СЕ,р[а, Ь] при любом РЭа1, ибо С[а, Ь] вложено в Сйр[а, Ь] и плотно в нем (см. (58.13)). Обратим внимание на то, что всякий базис в линейном нормированном пространстве является, очевидно, полной линейно независимой системой. Обратное неверно.
Например, система степеней (58.15) хотя и образует полную линейно независимую систему в банаховом пространстве С[а, Ь], однако не является в нем базисом: если в пространстве С[а, Ь] некоторая функция г раскладывается по системе степеней (58.!5), т. е. р(х) = )~ а„х", и =а то это означает, что написанный степенной ряд сходится равномерно па отрезке [а, Ь], и, следовательно, функция р аналитическая на интервале (а, Ь).
Поэтому заведомо любая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция не может быть представлена в указанном виде. 2. Система полиномов Лежандра Ра(х)=1, Р„(х) = — „„, (58.3) полна в пространствах С[а, Ь], СЕ.„[а, Ь], 1 = р (+со, и Е,[а, Ь] для любого отрезка [а, Ь]. Это сразу следует из того, что любой многочлен Я (х) является линейной комбинацией полиномов Лежандра (см.
п. 58.1): и Я(х) = ~ "ааР„(х). (58.15) а=а Поэтому, если в каком-то полунормированном пространстве Х полна система степеней (58.15), т. е. для любого элемента !АХ и любого в)0 существует такой многочлен Я=Я(х), что [! — Щ«с. (ез то в силу (58.16) и г Х нара а=а Зго и означает полноту системы полиномов Лежандра в пространстве Х. 3. Обозначим через С*[ — л, л] подпространство пространства непрерывных функций С[ — л, л], состоящее из функций, принимающих на концах отрезка [ — л, л] одинаковые значения: [( — ) =[(л).
(58.1?) Тригонометрическая система 1, созх, з(пх, ..., сових, з(плх, ..., (58.2) ВВ,З г!олине система полна в пространствах С*[ — и, и] и 7.,[ — и, и]. Полнота тригонометрической системы в пространстве С*[ — и, п] была доказана раньше: см. теорему 7' в п.
55.8. Обозначим через С [ — и, и] подпространство пространства С*[ — и, и], состоящее из таких функций 7, которые принимают на концах отрезка [ — и, и] значения, равные нулю: [( — и) = = 7(п) =О. Согласно теореме 6, п. 57.10 множество С[ — и, и], а следовательно, и пространство С*[ — и, и]:э С[ — и, и], плотно в пространстве 1,! [ — и, и].
Поэтому в силу вложения (см. 58.14)) С*[ — и, п]а=1.4[ — и, и] и леммы 3 этого пункта тригонометрическая система (58.2) полна в пространстве (.ь[ — и, и]. Отметим, что поскольку условие (58.17) сохраняется при равномерной сходимости, и каждый тригонометрический многочлен ему удовлетворяет, то тригонометрическая система заведомо не полна в пространстве С[ — и, и], так как в нем заведомо есть функции, не удовлетворяющие условию (58.17). Из рассмотренных примеров как простое следствие вытекает следующее утверждение. Теорема 2. Банахово пространство С[а, (!] и гильберпюво пространство Б,[а, (у] являются сепарабельными пространствами.
. Действительно, сепарабельность пространства означает (см. определение 31 в п. 57.6) наличие в нем счетной полной системы. В указанных пространствах таковой системой является, например, система (58.15) целых неотрицательных степеней переменной х. Эалн РЯДЫ ФУРЬЕ Пусть, как и раньше, Х вЂ” предгнльбертово пространство. Рассмотрим следующую задачу. Пусть задана система и линейно независимых векторов еь е„..., е„пространства Х и фиксирован некоторый вектор х~Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
