kudryavtsev2a (947416), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Это обстоятельство в известном смысле оправдывает также и часто употребляющееся условное выражение «пространство Ж» [а, Ь] состоит из функций с интегрируемым квадратом»; в этом случае пространство Й,» нередко обозначается просто через )гь» Каждая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция, будучи функцией с интегрируемым квадратом на этом отрезке, принадлежит некоторому классу эквивалентности, т. е. некоторому элементу пространства Й.«[а, Ь]. При этом в указанном классе нет другой непрерывной функции, ибо если непрерывные функции эквивалентны, то они равны. Изучим отображение, ставящее в соответствие каждой непрерывной функции [~ СГ,»[а, Ь) класс эквивалентности г е= Я «[а, Ь], к которому она принадлежит; [~ Р.
Это отображение называется естественным отображением С1.«[а, Ь) в йь»[а, Ь). В силу самого определения операций сложения элементов (являющихся классами эквивалентности), умножения их на число и их скалярного произведения в пространстве Я»[а, Ь), сводящихся к таким же действиям над представителями классов эквивалентности, естественное отображение является линейным и сохраняет скалярное произведение.
Оно является взаимно однозначным отображением (кнъекцией) пространства СГ.» [а, Ь) в пространство Й., [а, Ь), так как если бы при этом отображении две непрерывные функции отобразились в один и тот же элемент пространства Я»[а, Ь), т. е. в один и тот же класс эквивалентности, то онн обе принадлежали бы этому классу. А это, как было отмечено выше, возможно только в случае, если они являются одной и той же непрерывной функцией. Для изучения его дальнейших свойств предварительно докажем три леммы об аппроксимации функций. В них вместо [ [лен будем для краткости просто писать ] [. Лемма 14.
Пусть квадрат функции [ интегрируем на конечном или бесконечном промежутке с концами а и Ь, — со -а,Ь.(+со. Тогда для любого е)0 существует такая финитноя ступенчатая функция Ч~ (см, п. 55.2), равная нулю вне указанного промежутка, что [( — р[(в. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим для простоты, что функция [ интегрируема но Риману на любом отрезке [$, и), а($ ( 57.тц прост««««яство с« («1(Ь, т.
е. что внутри рассматриваемого промежутка с концами а н Ь нет особых точек функции [ (см. п. 55.1). Общий случай легко сводится к этому. Пусть задано е~О. Зафиксируем так $ и Ч, чтобы ь +~[() 2' '(57.45) Это возможно в силу того, что интеграл по отрезку [а, Ь1 от функции )» сходится. Функция Г, будучи интегрируемой, по Ри- ману, на отрезке [я, «11, ограничена на нем: 1[(х) 1-=.
М, $ =-. х «1, (57А4) М вЂ” постоянная, Со«лас««о лемме 2 в п. 55.2 для данного е)О существует такая фннитная ступенчатая функция Ч, что ее носитель зпрр «р содержится в отрезке [$, т)1, т. е. зпрр«а ~[В, «11, (Ч«(х))~М, хан Я, «1) (это следует из формулы (55.9)) н ~У(х)-р(хН ( (4 ° (57.46) Применив последовательно неравенства (57.43), (57.44), (57.45) и (57.46), получим: Ь е ь ([ — «р)'=~[[(х) — «р(х))'«(х=~(з(х) дх+~[«(х) «(х+ » а п » » '.
««««» — ю««««'- —,«. ~И«»~+е«*«Ш««« — ю«Н« ~ а ( 2 +2М ) ~ [(х) — ~р (х)1~х( 2 +2М а,м — е~. $ Отсюда следует, что [~[ — «р1<" е. [ ) Лемма 15. Пусть «р — финитная ступенчатая функция, равная нулю вне отрезка [а, Ь); тогда для любого е- О существует такая финитная непрерывная на всей числовой осн функция Ь, также равная нулю вне указанного отрезка, что 1й — «Р1( Доказательство.
Достаточно рассмотреть случай характеристической функции полуинтервала, ибо всякая фннитная в в7. Функциональные пространства ступенчатая функция является конечной линейной комбинацией подобных функций (см. п. 55.2). Итак, пусть задана функция ~[ 1 для а~х(Ь, Х(х) = 1 0 для х(а и х)Ь, и задано е->О.
Возьмем какое-либо Ч~О так, чтобы выпол- нялись неравенства аа ь — а 8 ' ~ 2 и рассмотрим функцию д(х), график которой изображен на рис. 227. Рис. 227 Прн желании ее можно аналитически описать следукицим образом 0 длях аих >Ь, х — а — для 1 для а~х(а+т1, а+т1<х(Ь вЂ” т1, ь — к — для Ь вЂ” т)--х=-Ь. Очевидно, что «(х) является финитной непрерывной на всей числовой оси функцией. Поскольку !Х(х)!~1, !д(л)!~1, — оо(х(+со, то ь а си [Х вЂ” й!'=) [Х(х) — а(х)1' (х= ) [Х(х) — а(х)1'с(х+ а а ь а+а + 1 [Х(х)-Ы(х)1 (х» 1 [!Х(х)!+!а(х)!У (х+ ь — а а ь а-~-Ч ь + ~ [!Х(х)!+!д(х)!]ьс(х 4 ~ ах+4 ~ б <Вт)(а, ь-ч а ь — » т. е. [Х вЂ” й'!!<е.
П Лемма 16, Если 7" является функцией с интегрируемым квадратом на отрезке [и, Ь1, то она на этом отрезке является преде. 5Х70 Просцювсгво Е, 465 лом в смысле среднего квадратичного некоторой последовательности непрерывных на всей числовой оси финитных функций )„, п=1, 2, ..., носители которых лежат на отрезке [а, Ь]: ь 1нп 17„— 71'= 1пп ~ [7„(х) — 7(х)]ь Нх=О.
л со л обад (57.47) Доказательство. Каково бы ни было е->0, в силу леммы 14 существует такая фннитная ступенчатая функция <р, равная нулю вне отрезка [а, Ь], что 2' а в силу леммы 15 для этой ступенчатой функции ~р найдется такая функция а, непрерывная на всей числовой оси и равная нулю вне отрезка [а, Ь], что и, следовательно, (рис. 228) М вЂ” аж]Š— «71+]47 — а(~е. Выбирая теперь некоторую числовую последовательность е„-э -++О при и -э со, и = 1, 2, ..., и обозначая через 7'„ соответствующую числу е„в силу указанной конструкции, функцию, непрерывную на всей числовой оси и равную нулю вне отрезка [а, Ь], получим искомую последовательность (7„), удовлетворяющую условию (57.47) (определение предела последовательности функций в смысле среднего квадратичного см.
в п. 57.5) и такую, что зпрр1'„с: [а, Ь] для всех я=1, 2, .... П Определение 40. Подмножество пространства СЕ, [а, Ь] состоящее из функций Е обращающихся в ноль на концах отрезка [а, Ь]: :1(а)=1(Ь) =О, назь7вается пространством СЕз[а, Ь]. Очевидно, 'что лемма 16 означает, что любую функцию с интегрируемым на отрезке [а, Ь] квадратом можно сколь угодно точно в смысле среднего квадратичного приблизить функциями из Й.,[а, Ь]. Ясно, что СЕ2[а, Ь] является линейным предгильбертовым пространством, и СЕ,[а, Ь]~СЕ~[а, Ь]. (57.48) Вернемся теперь к естественному отображению СЕ,[и, Ь]-~- — Же[а, Ь].
Теорема 5. Естественное отображение СЕ,[а, Ь]- йЕ,[а, Ь], т. е. отображение, ставящее в соответствие каждой непрерывной 466 у 67. Фунниаоналвние пространства на отрезке [а, Ь) суункт1ии класс вквивалснтности, к которому она принадлемсит, является изоморсрным отображением пространспша С(.,[а, Ь] в )тЦ[а, Ь], причем образ пространства С1.,[а, Ь] (а, следовательно, в силу (57.48) и всего пространства С).в[а, Ь]) плотен в Я-а[а Ь].
Лак азательство теоремы 5. Обозначим через Ф естественное отображение пространства С7., [а, Ь] в пространства Й,,[а, Ь], т. е. отображение, ставящее в соответствие каждой непрерывной на отрезке [а, Ь] функции 7 класс эквивалентных функций с интегрируемым на этом отрезке квадратом, которому она принадлежит, иначе говоря, класс эквивалентности, представителем которого она является. Таким образом, если ~ е:— С(п [а, Ь) и 7 е= Р е- :1сс.а [а, Ь), то Ф())=Р.
Пусть Р =Ф(7) =О; тогда )Р(= О, но 1 еэ. Р, поэтому и )Я=О. По свойству нормы отсюда следует, что 1"=О, т. е. ядро отображения Ф состоит только из нулевого элемента. Поскольку естественное отображение Ф линейно, то оно взаимно однозначно отображает пространство С).,[а, Ь] в пространство И.,[а, Ь] (см. лемму 2 в п. 57.2). Покажем, что образ пространства С).с[а, Ь] при этом отображении является плотным в пространстве Ыв[а, Ь) множеством. Пусть Ген тКа[а, Ь] и функция 7 является представителем элемента Р, т. е. 1" енр. Поскольку ) является функцией с интегрируемым на отрезке [а, Ь] квадратом, то, согласно лемме 3, она является пределом в смысле среднего квадратичного некоторой последовательности непрерывных на отрезке [а, Ь] функций )„ обращающихся в ноль на его концах (см. (57.47)), т. е. )„~ е СЦа, Ь], п=1, 2, ....
Если [вен Раей,[а, Ь], то, согласно определению нормы в пространстве Й.а[а, Ь], получим [Рн ~]ПЬ [)п т [вт Е где справа, как обычно, стоит полунорма (57.31). Отсюда в силу равенства (57А7) получаем ! пп [ Є— Р,' = О. (57А9) Поскольку класс эквивалентности г" являлся произвольно фиксированным элементом пространства У~А'[а, Ь), а Р„=Ф(7„), где 7„— непрерывная на отрезке [а, Ь] функция, обращающаяся в ноль на его концах, и, следовательно, с'„ен Ф,(Сает[а, Ь]); п=1,.2,, то равенство (57.49) н означает плотность образа множества С),[а, Ь) в пространстве й,в[а, Ь] при отображении Ф.
Б7ПО. Пространство гв 4о7 Для доказательства же плотности образа множества С(.я[а, Ь] при его естественном отображении в пространство Й я [а, Ь] заметим, что из включения (57.48) следует очевидным образом, что Ф(СЕ,я[а, Ь]) с: Ф(Сйя[а, Ь]) ~ Й,з[а, Ь]. 74 если в каком-либо метрическом пространстве Х плотно множество А, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
