kudryavtsev2a (947416), страница 83

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 83)

Мы в этом убедились в п. 57.1, когда рассматривали метрическое пространство непрерывных ла отрезке [а, Ь1 функций с расстоянием (57.1), которое как', раз порождается нормой (57.14). Мы видели, что полнотй проетраиства С[а, Ь1 сле- *' с. 8 в н в х (1892 — 1945) — польский математик. 57.5. Свойства нормированных пространств дует из того, что сходимость последовательности в этом пространстве означает ее равномерную сходимость на отрезке 1а, Ь1. Теорема 3. Всякое линейное нормированное пространство содержится и плотно в некотором банаховолс пространстве. Доказательство.

Согласно теореме 1 и. 57.1, достаточно показать, что на пополнение Х* линейного нормированного пространства Х, рассматриваемого как метрическое сметрикой (57.20), можно продолжить с Х алгебраические операции и норму. Это можно сделать с помощью предельного перехода. Как и при доказательстве теоремы 1, будем считать, что Х с: Х*, иначе говоря, отождествим пространство Х с изометричным ему подпространством построенного там пополнения Х*. Пусть, например, Х~Х" и уенХв.

В силу плотности Х в Х* существуют последовательности х„я Х и у, я Х, и = =1, 2, ..., такие, что 1пп х,=х, Итп у„=д. Покажем, что последовательность (х,+д„) сходится. Действительно, р (ха+да, ха+да) = ((ха+да) — (хы+ум)1==- ~ ) х, — х 1+ 1 у„— д„( = р (х„, х„) + р (у„„у ).

Из сходимости последовательностей (х„) и (у„1 следует, что они фундаментальные, поэтому последовательность (х„+ у„) также фундаментальная и, следовательно, в силу полноты Х*, сходящаяся. Положим, по определению, х+у= Исп (х„+у,). Аналогично с помощью предельного перехода определяется и лх, х е= Х*. Легко проверить, что определенные так алгебраические операции х+у, Хх для элементов пополнения Хв не зависят от выбора последовательностей (х„) и (у„), таких, что хн-+-х, уп-ну, х„ен Х, у„ен Х, и=1, 2, ....

Также легко убедиться, что в случае, когда элементы принадлежат исходному пространству Х, определенные нами алгебраические операции совпадают с заданными. Определим теперь норму для х ен Хв. Пусть х„~ Х, и = =1, 2, ..., и Ит х„=-х. Покажем что последовательность (1Х„1) и св фундаментальная.

В самом деле, из неравенства (57.18) для всех натуральных и и т имеем 11х„( — )х 1)~)х„х 1=Р(х„, х ). (57„21) Последовательность (х„), будучи сходящейся, является и фунда ментальной, поэтому из неравенства (57.21) следует, что н чис- э" БХ Фун«чин«алиные пространство 444 'ловая последовательность ([х,!) фундаментальна, а значит, сходится. Положим, по определению, [х[= 1!пг (х„[. Так определенная норма [[х[, хан Х*, не зависит от выбора последовательности х, ен Х, а=1, 2, ..., такой, что х„— «.х. Легко проверить также, используя предельный переход, что для функции ['х[, к~Хь, выполняются свойства нормы 1' — 4' и что в случае хан Х мы получаем прежнюю норму.

Д В качестве примера отметим линейное нормированное пространство Сг.о[а, Ь) непрерывных на отрезке [а, Ь! функций с нормой (57.15). Эта норма при р=! порождает метрику (57.2). Можно показать, что метрическое пространство непрерывных функций с метрикой (57.2) не является полным. Согласно доказанной теореме, рассматриваемое линейное нормированное пространство непрерывных на отрезке [а, Ь! функций можно дополнить до полного пространства. Это банахово пространство обозначается 1.[а. Ь) Определение 29. Система элементов х„, а 4= 2! (Я вЂ” некоторое множество индексов) линейного полунормированного пространства Х называется полной в этом пространстве, если для каждого элемента х ~ Х и любого числа в» 0 суигествуют пгакие элементы х„,, ..., х„данной системы и такие числа Л„..., Л„, что выполняется неровенспюо [ х — (Лгх„+...

+ Лнх„) [[ ~ е. Сформулируем это определение несколько иначе, введя предварительно еще одно понятие. Определение 30. Множество А ~ Х называется плотным в полунормированном пространстве Х, если для любого элемента хе= Х и любого е)0 найдется такой элемент а ~ А, что [х — а[[<е. Если Х вЂ” нормированное и, следовательно, метрическое пространство, то определение 30 в силу (57.20) приводит к тому же понятию плотности множества, что н определение 6 из п. 57.1. Теперь можно сказать: Система (х„), иеп«Д — полна в пространстве Х, если множество конечных линеиных комбинаций ее элелгентов, пь е.

ее линейная оболонка (см. определение 15 в и. 57.2) образует плотное в Х множество. Если Х является нормированным пространством, то в нем,' как во всяком метрическом пространстве, имеет смысл понятие замыкания множества, а поскольку плотность некоторого мио- й76. Свойства нармироаанньгх арсстранств 'У, 'к„; и=- 1 (57.23) элементы з„называются и-ми частичныни суммами ряда (57.23). Если последовательность з„, п=1, 2, ..., сходится в пространстве Х, то ряд (57.23) называется сходяи1имся. В этом случае предел з= 11гп эн последовательности з„, и=1, 2, ..., называется су.имой ряда (57.23) и пишется .'У, 'х„= э.

а=1 Таким образом, как и в случае числовых рядов, мы будем одним и тем же символом ~„х„обозначать как сам ряд, так и н=! его сумму, если он сходится. Как и для числовых рядов для рядов в линейных нормированных пространствах справедливы следующие утверждения. Если ряд (57.23) сходится, то сходится и ряд ~Ч~ Дх„, крин=1 чем ее!и 'ч~ х„=з, то ~~' 1х„=)гэ. н= ! жества в метрическом пространстве означает, что замыкание этого множества совпадает с самим пространством (см.

определение 6 в п. 57.1), то в этом случае определение 30 можно перефразировать и таким образом: система элементов х„, ай= Я (Я вЂ” некоторое множество индексов) линейного нормированного пространства Х называется полкой, гели замыкание ее линейной оболочки (см. и. 57.2) совпадает со всем пространством Х. . С частным случаем понятия полноты для системы функций мы уже встречались в п. 55.8. Определение 31. Если в линейном норлшровакном пространстве Х существует счетное множеспмо элементов, образующее полную систему пространства Х, то пространспио Х называется селарабельным.

В заключение этого пункта введем понятие базиса, а предварительно — понятие ряда в пространстве Х. Определение 32. Пусть х„, п=1, 2, ..., — последовательность элементов линейного норлшроеанного пространства Х. Положим э„=х,+...+х„, п=-1, 2, ...; пара последовательностей (х,), (э„) казываеп!ся рядом (с оби(им членом х„) и обозначается Э 57.Функциональнмс нространства Если в пространстве Х сходятся два ряда, то сходится и ряд, общий член которого равен сумме их членов с одинаковыми номерами, и его сумма равна сумме сумм данных рядов.

Определение 33. Лоследовательность элементов е„, и=1, 2,... линейного нормированного пространства называется базисом, если, каков бы ни был элемент х, существует, и притом единственная, последоватпельность чисел Л„, п=1, 2, ..., такая что х= ~ Л,е„. (57.24) л=1 Таким образом, если последовательность (е„) является базисом пространства Х, то для каждого элемента х еп Х существует, и притом единственная, последовательность чисел (Л„), такая, что для каждого е - О существует такой номер п„ что при всех п =- и, выполняется неравенство (х — (Л,е,+...+Л„е„)1 е. (57.25) Формула (57.24) называется разложением элемента х по базису (е„). Нетрудно убедиться, что если система элементов (е„) образует базис, то она линейно независима.

Это сразу следует из единственности разложения элементов пространства по базису. В самом деле, если бы элементы е„п = 1, 2, ..., оказались линейно зависимыми, то среди них нашлось бы конечное множество таких е„,, ..., е„, что для некоторых чисел Лм ..., Лм которые не все равны нулю, имело бы место равенство Лте„, +...+Л„е„=О, т. е.

получилось бы разложение нуля по элементам базиса с коэффициентами, которые не все равны нулю. Поскольку для нуля имеется тривиальное разложение О= ~ Ое„то тем самым нарун=! шено условие единственности разложения элементов по базису. Если линейное нормированное пространство имеет базис, состоящий из конечного или счетного множества элементов, то это пространство сепарабельно. Действнтельно, нетрудно проверить, что множество всех конечных линейных комбинаций элементов указанных базисов с рациональными коэффициентами счетно и плотно во всем пространстве.

3 а м е ч а н и е. Подчеркнем отличие между последовательностью элементов, образующих полную систему, и последовательностью элементов, образующих базис. В первом случае коэффициенты Ль, й= 1, 2, ..., п, в неравенстве (57.22) зависят, вообще говоря, не только от выбора элемента х ~ Х, но и от выбора числа е. Во втором же случае коэффициенты Лын А = 1, 2, ..., и, в неравенстве (57.25) определяются только самим элементом (они'называются коэффициентами разложения элемента х по данному базису 57.7.

Линейные пространства со скалярным Птоиааедением 447 или координатами злемента х при даннолс базисе) и лишь их количество, т. е. число п„зависит от выбора е. Существуют сепарабельные банаховы пространства, в которых нет базиса. В следующем пункте будет рассмотрен более узкий класс пространств, в которых базис всегда существует. о7.7. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ Определение 34. Действительная функция, определенная на множестве упорядоченных пар влементов действительного линейного пространства и обозначаемая (х, у), х я Х, у я Х, называептся скалярным умножением, если она удовлетпворяет следующим условиям: 1') (х, у) =(у, х), хя Х, у я Х; 2') (Лх+Иу, г) =Л(х, г)+р(у, г), хяХ, у я Х, г я Х, Л и 1л — действительные числа: 3') (х, х)'= О, х~ Х; 4') если (х, х) =О, то х=О.

Заметим, что из свойств 2'следует, что для любого х ~ Х справедливо равенство (х, 0) = О. Действительно, (х, 0)=(х, 0 0) =0(х, 0)=0. Определение 35. Действительная функция (х, у), определенная на множестве упорядоченных пар элементов действительного линейного пространства Х, х~Х, уея Х и удовлетгюряющая лишь условиям 1, 2, 3, называется полускалярным умножением.

Аналогичным образом вводится понятие и полускалярного (в частности, скалярного) умножения в комплексном линейном пространстве лс. В атом случае комплекснозначная функция (х, у) называется полускалярным (соответствеино скалярным) умножением, если она удовлетворяет свойству 2' для любых комплексных чисел Л и 1с, свойству 3' и свойству 1' ) (х, у) = (у, х), х еп Х, у еп Х, где, как всегда, черта над числом обозначает сопряженное ему комплексное число. В дальнейшем под линейным пространством будем понимать действительное линейное пространство, если не оговорено что-либо другое.

Характеристики

Список файлов книги