kudryavtsev2a (947416), страница 79
Текст из файла (страница 79)
9. Доказать, что, для того чтобы конечная система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из ннх являлся линейной комбинацией остальных. Определение 15. Пусть задано множество (х„, а еи Я) векторов линейного пространства Х. Совокупность всевозможных конечных линейных комбинаций элементов этого множества, т. е. совокупность всевоз.ножных векторов вида Л,х„,+Ляхи,+...+Лах где х„е= (х„, гх~6), а Л7 — числа, /=-1, 2, ..., я, называется о1 линейной оболочкой множества (х„, а е= Я). Определение 16. Если в пространстве Х (действительном или комплексном) имеется система и линейно независимых векторов, линейной оболочкой которых является пространство Х, то оно называется и-мерным и обозначается Яа, а всякая упорядоченная система п линейно независимых векторов, линейной оболочкой которых является пространство Яа, называется базисом пространства. Иначе говоря, векторы е„е„..., е„являются базисом пространства Р', если: 1) векторы е„е„..., е„линейно незавнсимы', 2) для каждого хе- =Я" существуют такие числа Лы Лз, ..., Л, что к=Л,е,+Л,ез+...+Л„е„.
Элементы пространства Я" называются и-мерными векторами (соответственно действительными или комплексными). Каждое и-мерное пространство называется конечномерным. У п р аж не н и я. 10. Доказать, что в и-мерном пространстве каждая система линейно независимых векторов, лкнейной оболочкой которых является все пространство, состоит из и векторов.
11. Доказать, что каждая система из и линейно независимых векторов в и-мерном пространстве является его базисом. Примером и-мерного действительного пространства является и-мерное арифметическое векторное пространство (см. п. 18.4). Аналогично этому пространству может быть построено комплексное арифметическое п-мерное пространство С . Его точками называются упорядоченные системы и комплексных чисел: х= =(хы ..., х„) х, ев С, 1=1, 2, ..., и. При этом, если х енСл, Лси С, то Лх ='- (Лх„..., Лк„), и для х=(хз, ..., х„) в=Са и у=(у„..., у„) енСл ге1 х+у=-(х,+у„..., х„+у„), Э 57.
Функциональные пространства 424 Базисом в этом пространстве являются векторы ег=(бг, ..., Ь'„1, где б,' — так называемый символ Кронекера ( 1, если г=), бг=( ~ О, если ! ~1Л и Очевидно, что х=(хм ..., х„)=.У, 'х;ео с=! Лругим примером конечномерного линейного пространства является пространство Ун многочленов степеней не превышаюшкх натурального и.
Оно является (п+ 1)-мерным: его размерность равна числу коэффициентов у рассматриваемых многочленов. Определеиие 17. Отображение Г' линейного пространства Х в линейное пространспию У называется линейным отображением (или, опо то же, линейным операторолс), если для любых двух элементов хан Х, у АХ и любые чисел Л и 14 справедливо равенство 7(Лх+ну) =Лг'(х)+1!~(у). Множество линейных операторов 7 г Х-ь. У, отображающих линейное пространство Х в линейное пространство У обозначается через о (Х, 1'). Легко непосредственно проверить, что множество о(Х, У) прн естественном определении сложения его элементов н умножения их на число, т. е. при определении этих операций по формулам () +Ы(х)й (х)'+Их),6ен~(Х, У), Йе=~(Х, У), (Ц)(х)'="Л()(х)), 7~2(Х, У), ЛенЯ или ЛенС, хе= Х, образует также линейное пространство (действительное, если пространства Х и У были действительными линейными пространствами, н комплексное, если они были комплекснымн).
Определение 18. Если г*г Х-+У и У вЂ” линейное пространство, то множество (х:7'(х) =О) с: Х называется ядром отображения Г" и обозначается через 1сегГ'ьгг 1сег 7" в='! (х: 7(х) =О). Лемма 2. Для того чтобы линейное отображение 7" г Х-ь.У гинсйного пространства Х в линейное пространство 1' босна взаимно однозначным опюбражением Х в У„т. е. было итсъекцией, "' От английского слова Кетпс! †яд. бхэ. Линейные пространства необходимо и достаточно, ипобы его ядро состояло только из нулевого элемента: 1сег) = О.
Доказательство необходимости. Очевидно, что любой линейный оператор 1 переводит ноль в ноль, ибо для любого хан Х имеем: 7(0) =1(Ох) =01 (х) =О. Поэтому, если 1— инъекция, то не сугцествует х~О, такого, что 1(х)=0. Зто н означает, что (сег)=0. Доказательство достаточности. Пусть негр=О и 1(х) =Г'(у). Тогда в силу линейности отображения 1 имеем 1(х — у)=1'(х) — )(у)=0, т. е. х — уен1сег1 и так как кег1=0, то х — у=О, Следовательно х=-у. Зто и означает, что 1 — инъек"'и Примером линейных взаимно однозначных отображений являгстся прямое и обратное преобразование Фурье в соответствующих линейных пространствах функций (см. леммы 2 и 3 в п. Бб.б).
Определение 19. Пусть Х и г' — линейные пространства. Линейное взаимно однозначное отображение пространства Х на проспгранство )т называется иэомоЯнылг отображением, или изоморфизмолг линейньгх пространств. Если для линейных пространств Х и )' существует изомор4- ное отображение Х на )т, то они называются изоморфными. Два изоморфных пространства могут отличаться лишь природой своих элементов, а не свойствами линейного пространства как такового; поэтому в дальнейшем часто мы не будем различать изоморфные линейные пространства.
У и р аж не и не 12. Доказать, что все и-мсрныс линейные пространства ггзогеорфны мсаслу собог3. Определение 20. Линейное пространспгео, не являющееся комеч- номерным, называется бесконечномерным. Очевидно, что линейное пространство является бесконечно- мерным тогда н только тогда, когда оио не имеет конечного базиса. Примером бссконечномерного пространства является линейное пространство всех многочленов от одной переменной. Действительно это пространство заведомо не имеет конечного базиса: любая линейная комбинация задаш;ой конечной системы мгюгочленов является многочленом степени не выше степени старшего многочлена из указанной системы, и потому многочлены ббльших степеней не могут быть получены указанным способом.
Попытка обобгцить понятие базиса в случае бесконечномерных пространств приводит к бесконечным суммам, т. е. рядам у 57. Функциональные яростронство вида У', Л„е„. Для того чтобы имело смысл говорить об их н=! сумме в пространстве Х, в нем должно быть определено понятие сходимости последовательностей. Рассмотрению одного такого вида пространств посвящен следующий пункт.
57.3. НОРМИРОВАННЫЕ И ПОЛУПОРМИРОВАНЕ1ЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение 21. Линейное пространство Х (действительное или комплексное) назыса.тся нормированным, если на множестве его точек определена действительная функция, яазьюагмая нормой, обозначаемая !!х',~х или, короче, 1х(, х ~ Х, и имеющая следу!ощис свойства: 1') ) х1=- О, х ~ Х; 2') )Лх1=1Л/)х!!н х ~ Х, Л вЂ” число; 3 ) 1х+у(==)х!(+(у!1, лен Х, уев Х; 4') если ~/ х 5 = О, то х =- О. Заметим, что из свойства 2' следует, что если х=О, то $х) =О. Действительно, фиксируя произвольный элемент хе= Х, получим ))О',~=10 х) =О(х(=О.
Определение 22. Если на множестве точек линейного пространства Х определена действительная функция )х'Ь хек Х, удовлетворяющая только свойствам 1„2, 3, пю пространство Х называется полунормированным, а функция (х) — полунормой. Свойство 2' нормы (полунормы) называется ее однородностью, а свойство 3' — неравенством треугольника.
Отметим, что всякое гюдмиожество линейного полунормированного (в частности, нормированного) пространства, являющееся подпространством линейного пространства, в свою очередь является линейным полунормированиым (соответственио, нормированным) пространством. Упражнение 13, Выяснить, будут ли аыражения сор !Р"'(Г)), е~!<ь ' ь ) (гн'(!))йт нормой? — полунориой? — для каких фуакпий? — для каких лР о 57М. ПРИМЕРЫ НОРМИРОВАННЫХ И ПОЛУНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ 1. Множество действительных чисел и множество комплексных чисел, если в них за норму взять абсолютную величину чисел, образуют линейные нормированные пространства, 57.4. Примеры нормированных и лолунормнроеанныхлространсте 427 2.
Если в действительном арифметическом и-мерном пространстве Я" норму вектора х=(х„..., хл) е-=Ял определить как его длину (см. п. 18.4) 1 1 — '1*1=Г*ГС.. С-И, то Яи будет линейным нормированным пространством. 3. Комплексное арифметическое п-мерное пространство С" (см, п, 57,2) будет нормированным, если положить ) Х) =" — '1 1)С" ~ Х! 12+... + ! Х„,", Х = (ХЬ ..., Хл) ЕН Сл. 4. В действительном арифметическом и-мерном пространстве стл можно ввести не только норму, совпадающую с длиной ~1х'1 его элементов х=(х„..., х„) ~)тл.
Например, положим (х 1р — — (~хс /р+ +1х„~р)ссл 1. р ~-1-со, 1хс1, = !пах ~хс,. С=с,г,...,л Очевидно, длина вектора совпадает с нормой 1х12. Проверим выполнение аксиом норм для 1х~1„, 1=-г=-.+со. Прн г=1 по свойству абсолютной величины чисел л л и 1Х+УЬли ~~'., '~ХС+У 1(.'2, '!сХС ~+,'У, '/УС ~ =(Х(!+(У)! с=.! с=! 1=1 При 1<р<+ оо применим неравенство Минковского (см. п.
35.8а): с и сс!1| с л асср с л 1сср (х+у(р=~~ч, ')я!+ус!р) ~~~ч~ ~хсзр) +[~ч, '(ус(р) С=с С=! 4=-1 =1х) +1УЬ Для (х)„имеем 1х+У) = !пах (хс+Ус) ~ !пах (1хс1+~Ус() = с=!,2,...,л С= 1, 2, „., л ( !пах 1хс1+ !пах 1ус1=1х) +)у) . С=с,г....,и ' С=с,г,...,л Остальные свойства норм для 1х(„, 1 ~с (+со, проверяются еще проще. Упражнение 14, Доказать, что (х~~ = !ап 1х,"р, х~Ял, и Определение 23.
Дее нормы 1!х( и (х(и в линейном нормиро- ванном пространстве Х назыеаюспся эквивалентными, если суще- ствуют такие постоянные с,'- О и се~О, что для всех х ~ Х выполняется неравенство с!1х1» (х(л ~ са ) х 1, В 57. Функциональные лооегранегеа Теорема 2. В конецномерном линейном пространстве все норма эквивалентны. Доказательство. Пусть Х вЂ” конечиомерное линейное пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
