kudryavtsev2a (947416), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Таким образом, все условия указанной теоремы 7 из п. 54.3 выполнены. Следует заметить, что при рассмотрении сверток функций можно существенно ослабить ограничения, накладываемые на свертываемые функции. Однако доказательство свойств сверток в этом случае потребовало бы прежде всего более тонких теорем о перемене порядка интегрирования.
Для простоты изложения мы не стали этого делать. бгйв. Производная преооразования Фурье функций 409 Займемся теперь изучением преобразования Фурье сверток двух функций. Для удобства видоизменим определение свертки фвф, добавив дополнительный множитель 1Д/в2п: + сь фэф= ~ ф(1)ф(х — с)йй 1 Теорема 3, Пусть функции ф и ф ограничены, непрерывны и абсо гютно интегрируеъгы на числовой оси. Тогда Р[фэ Нс Е[фГИ). Доказательство. Функции ф и ф ограничены, непрерывны и абсолютно интегрнруемы, поэтому функция фвзр обладает теми же свойствами, в частнссти, она абсолютно интегрируема, и для нее можно рассматривать преобразование Фурье 2ч Меняя здесь порядок интегрирования (что возможно здесь в силу теоремы 7 п.
54.3) и производя замену переменного х=(+з получим + сь + са р[ф*ф1=2 — „~ ф(()й( ~ ф(х — ()е ' йх= + со + со 2п 2п 3 т. е. преобразование Фурье свертки двух функций равно произведению преобразований Фурье этих функций. [) Теорема 3 также может быть доказана при более слабых ограничениях на рассматриваемые функции, но мы не будем на этом останавливаться. 56ДО. пРОизВОДБАЯ пРеОБРАВОВАниЯ ФУРье ФУпкции Теорема 4. Если функция Г(х) непрерывна, а функции 7'(х), х)(х), ..., хпг'(х) абсолютно интегрируемы на всей числовой оси, пю преобразование Фурье функции 1' является и раз дифференцируемой на всей числовой прямой функцией и (ьу~ь~[[]с Е[хь[1, А=О, 1, ..., п. До.казательство.
Пусть сначала функция 7 принимает только действительные значения. Формально дифференцируя по У бб, Интеграл Фурье и преобразование Фурье 410 параметру у интеграл 1 + ОЭ Р[Д== ~ [(Х)Е-гхуг(Х )г хп и замечая, что ~х)" (х)е-гхх(=(х)(х) ~, получим абсолютно и равно- мерно сходящийся интеграл — ~ Х[(Х) Е-гхтг(Х, — СО(у(+СО. Следовательно (см. и, 54.3, теорема 8), в этом случае преобразование Фурье Р[)] функции [ является диффереицнруемой функцией и 1Г' [~] = Р [хл.
Если теперь [=и+(о, где и и о — действительные функции, то Р' и =- Р' [и + (о] = (Р [и]+ (г [о]) ' = Р' [и] + (Р' [о] = = — (Р [хи]+ Г [хо] = — (Р [хи+ гхо] = — 1Р [х)]. Далее по индукции получаем, что преобразование Фурье РЩ функции [ имеет производные до порядка и включительно и гаРаг[1]=Р[ха[], я=О, 1, ..., и. [ ] Следствие. Если пр.дположения теоремы выполнены, то все производные Р~а>[1], Й=О, 1, ..., и, непрерывны и стремятся к нулю при стргмлении их аргумента к бесконечности.
В силу леммы 5 следствие непосредственно вытекает из того, что производные РФ)[1] являются преобразованиями Фурье абсолютно интегрируемых функций. Можно Ъоказать, что если произведения вида еа1х1"1 (х) абсолютно интегрируемы при определенных ограничениях, налагаемых на а)0 и а)0, то это приводит к еще большей гладкости преобразования Фурье, а именно оказывается, что оно принадлежит к тем или иным классам аналитических функций.
Формула, задающая обратное преобразование Фурье, отличается от формулы, задающей прямое преобразование Фурье (см. (56.21) и (55.22)), лишь тем, что в показателе степени у чнсча е под интегралом г заменено на — г, поэтому для обратного преобразования Фурье справедливы свойства, аналогичные доказанным нами для прямого преобразования Фурье., У и р а ж н с н и н.
3. Доказать, что преобразование Фурье функции 1 (х) = 1 а дважды днфференцируемо на всей числовой прямой. 1+ ха 4. Доказать, что преобразование Фурье функции 1(х)=хе М1 бесконечно цнфференцируемо на всей числовой зримой. 4!! ЭЕ!. Метрические пространства й 57. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ат.!. ИетРические ИРОстРАпстВА Определение 1. Множество Х = (х, у, г, ...) называется метри- ческим пространством Х, если на множестве упорядоченных пар (х, у) элементов этого множества определена неотрицательная функция р(х, у), называемая расстоянием (или метрикой), такая, что: 1) р(х, у)=-0, тогда и только тогда, когда х=у; 2) р (х, у) = р (у, х), х е= Х, у е= Х; 3) р (х, у) ~р (х, г)+ р (г, у), х е= Х, у е= Х, г я Х. Условия 1, 2 и 3 называются аксиомами расстояния.
Элементы метрического пространства называются точками, Примеры. 1. Совокупность всех действительных чисел )т, если расстояние между действительными числами определить как абсолютную величину их разности: р(х, у) = ~ х — у'„х я 17, у я Я, образует метрическое пространство, 2. Множество комплексных чисел С, расстояние между эле- ментами которого задается по формуле р(г, г') =(г — г'), ге= С, г' в= С также образует метрическое пространство.
3. Евклидово пространство )с" размерности п (см. и. 18,1) является метрическим пространством, если расстояние между его точками х=(х„..., х„) и у=(у„..., у„) определить по формуле (см. (18.1)) Г л р(х, у)=~77 ~", (х — у!)', 4=1 4. Пусть Š— некоторое множество. Рассмотрим множество ограниченных на Е функций, принимающих действительные (или комплексные) значения. Для двух таких функций !р и ф положим (57.1) р (~р, ф) = з~ р ! <р (1) — 4Ь (1) ~. АТЕЕ Легко проверяется, что функция р (Т, !р) является метрикой.
Справедливость свойств расстояния 1 и 2 ясна непосредственно. Проверим справедливость свойства 3. Пусть !р, ф и у — ограниченные функции, определенные на множестве Е. Для любого элемента 1 е:- Е имеем ~ Ч'(1) — Х (О 1 = !(Т (1) — ф (1Н+ (ф (1) — Х (1)11~ — -,'Т(1) — ф(1) '+! ф(1) — Х(1) ,' поэтому ~Т(1) — Х(1) ~ — пр ~Ч(1) — ф(1) !+ зпор ~!Р(Π— Х(1) ~. 4!2 З" 57. Фуннинональнь~в нростронствв откуда ж! ! Ч (() — К (() ! - р ! 'р (Π— Ф Ю ! + зи9 ! вр (г) — Х (С) !.
Е ь' Я т. е. р(р х)==р(р, Ф)+р(Ф х) 5. Пусть 6 — измеримое по Жордану открытое множество п-мерного евклидова пространства Я". Множество Х непрерывных на замыкании Сл множества б функций образует метрическое пространство, если расстояние между функциями ф еи Х и )Ь ен Х определить по формуле ррр, Ф)=~!Ф(х) — р(х)!дО. Действительно, если рйр, )р)=О, т. е. ) !ф(х) — <р(х)!ьИ=О то в силу следствия из свойства 9' кратных интегралов (см.
п. 44.б) ~р(х)=в)(х) для всех хе:-б и, следовательно, для всех хе=ьл. Свойство 2' расстояния в этом случае очевидно, а свойство 3' легко проверяется: если ~р, ф и )( — непрерывны на б, то рйр, ф) == ~ !~р(х) — т(х) ! ьИ=~ ![~р(х) — йр(х)] — [ьр(х) — т(х)]! ьИ=- == $!<р(х) — йе(х) ! ьИ+(!нР(х) — у(х) !еИ=р(<р, вР)+р(ф, )О. В случае п=1, 6=[а, Ь] введенная метрика для непрерывных на отрезке [а, Ь] функций имеет внд р (~р, )р) = ~ ! <р (х) — вр (х) ! дх. (5?.2) о Естественным образом аналогичное пространство вводится и для функций, определенных на бесконечном промежутке. Например, в случае а = — со, Ь = + оо для двух непрерывных абсолютно интегрируемых на всей числовой оси функций <р и ьр расстояние определяется по формуле р (р, ф) = $ ! Ч ( ) — Ч ( ) ! д .
(5?.3) Всякое подмножество метрического пространства Х в свою очередь является метрическим пространством относительно той же метрики и называется подпространством пространства Х. Определение 2. Два мев~рических пространства Х и Х' называются изометричными, если между их точками существует взаимно однозначное соответствие [, сохраняюшре расстояние, т.
е. такое, что если х'=Г(х), у'=)(у), хаХ, деиХ х АХ у енХ то Р(х, у) =р(х', у') (такиеь соответствия также называются изометричным и). $7.Е Метрические пространства Определение 3. Пусть Х вЂ” метрическое пространство; после- довательность его пточек (х„) называется сходящейся к точке х ее Х, если 1пп р(х, хл)=0, т. е.
если для любого числа е 0 сущест- вует такой номер п„что для всех номеров и == и, вглполняепюя неравенство р (х, х„) (е. В эпюм случае пишется х= 1пп хл или л сл хл-+х при п-+-со и говорится, что точка х является пределом данной последовательности. Например, в случае примеров 1 и 2 сходимость в рассматри- ваемых там метрических пространствах означает обычную сходи. масть числовых (соответственно действительных или комплексных) последовательностей.
В примере 3 сходимостью последователь- ности является сходимость последовательности точек в п-мерном пространстве, встречавшаяся нам раньше (см. п. 18.1). В метри- ческом пространстве функций, определенных и ограниченных на некотором множестве, расстояние между которымн определяется формулой (57.1), последовательность функций (ф,) сходится к функции ф, если Иш знр ( <р (() — <р„(() > = О, л се тын т. е. если последовательность (тр„) равномерно на множестве Е сходится к функции ер (см.
т. 1, п. 36.2). Наконец, пример 5 дает вид сходимостн последовательности функций в смысле некоторой интегральной метрики. В случае п=1 подобная сходимость уже встречалась в п. 55,2 (лемма 2) и в п. 56.7 (следствие леммы 4). Упражнение 1. Множество Е метрического пространства Х называетея еераниченнмм, если ве1 В (Е) — зар р (л, у) С+ со; еще. еще величина В (Е) называется диаметром множества Е. Доказать, что всякая сходящаяся последовательность метрического пространства ограничена. Определение 4. Последовательность (х„) точек метрического пространства Х называется г)тундаментальног(, если для любого числа е)0 существует такой номер и„что для всех номеров п~п, и т=п, выполняется неравенство* р(х„х„) (е. Лемма 1.
Если последовательность (х„) сходится, и:о она фунсаментальная. Доказательство. Пусть 1пп хл=х. Тогда для любого л сл числа е>0 сушествует такой номер и„что для всех номеров и .-'= и, справедливо неравенство р(х хл)( 2 э" 57. Функциональные лростронства Следовательно, если п==-п, и т=- п„то р(хл, х )~р(хл, х)+р(х, х ) ( — + — (е. Д Определение 5. й(гтрическое пространство называется полным, если ссякая срундаментальная последосатгльность его точек сходится к его же точке.
Очевидно, что метрическое пространство, изометричное полному пространству, также является полным метрическим пространством. П р и м е р ы. 6. Метрические пространства действительных и комплексных чисел являются примерами полных метрических пространств. Полным является и п-мерное евклидово пространство 1сл (см. п. 18.1). Рациональные числа дают пример неполного метрического пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
