kudryavtsev2a (947416), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Используя понятие полноты системы, теоремы ? и 8 предыдущего параграфа можно перефразировать соответственно следующим образом. Теорема 7'. Система гпригонометрических функций (55.2) полна, в смысле равномерного приближения, для лтножества непрерывных на отрезке( — л, л] функций, принимающих на его концах равные значения. Теорема 8'. Систгма целых неотрицательных степеней х, т. е. система 1, х, х', ..., х",..., (55.47) полна в смысле равномерного приближгния для множества всех непрерывных на любом заданном отрезке функций.
Определение 12. Пусть фун ции )' и д определены на отрезке ~а, Ь]. Число ~ 11 (х) — д (х)]я йх а называется средним квадратичным отклонением на отрезке [а, Ь] функции ? от функции да~. Определение 13. Система функций (55.46) называется полной в смысле среднего квадратичного приближения длч некоторого множества Х функций, определенных на отрезке (а, Ь], если, какова бы ни была функция 1 ~ Х, для каждо о е - О существует такая конечная линейная комбинация функций системы (55.46), что ее среднее квадратичное оп'клонение на отрезке (а, Ь] от функции )' меныие е. Теорема 9. Система тригонометрических функций (55.2) полна в смыс,ге среднего квадратичного приближения во множестве непрерывных на отрезке ( — л, л] функций, принимающих в тсчких л и — л одно и то же значение.
" Можно сказать и «отклонение функции Е от функции )», поскольку рассматриваемое выражение не меняет своего значения, если 1 и я поменять местами. нага Полнота тригонометриыесной системы и системы стеаеней и 377 Ло к аз а тельство. Пусть1 — непрерывная наотрезке [ — л, л] функция, причем 7(л) =Г'( — л). Согласно теореме 7', для любого а~О существует такой тригонометрический полинам Т(х), что ] ) (х) — Т (х) ] н —, — л =-- х =- л. Уг.
' Стсюда для среднего квадратичного отклонения этого полинома от функции 1 имеем [7(х) — Т(х)]ис(х( = [ ~ с(х=а. П 1' гл т' В дальнейшем мы увидим (см. п. 58.6), что ограничение ) (л) = =-1" ( — л), использованное нами при доказательстве теоремы 9 (только в этом случае можно было сослаться на теорему 7'), пе является существенным. Именно, тригонометрическая система (55.2) полна в смысле среднего квадратичного во всем множестве непрерывных на отрезке [ — л, л] функций и, более того, можно показать, что она полна в смысле среднего квадратичного и во множестве всех функций с интегрируемым па отрезке [ — л, л] квадратом. Заметим, что тригснсметркческая скстсма (55.2) заведомо не полна во множестве всех непрерывных на отрезке [ — л, л] функций в смысле равномерного приближения, т. е.
в смысле определения 11. Лействительно, если функция Г' такова, что для любого в)0 существует такой тригонометрический полипом Т„что ]1 (х) — Т, (х) ].~е, то нз условия Т,(л)=Т,( — л) при е-нО следует, что 7'(л)= =7" ( — л). При приближении функций в смысле среднего квадратичного тригонометрическими полиномами особую роль играют частичные суммы ряда Фурье прнближаемой функции. В следукяцем пункте будет показано, что частичная сумма и-го порядка имеет наименьшее среднее квадратичное отклонение от данной функции по сравнению с любым тригонометрическим полиномом степени и.
Наконец, можно показать, что если функция 7 обладает интегрируемым квадратом на отрезке [ — л, л], то отклонение от нее в смысле среднего квадратичного ее частичных сумм Фурье 3„(х) стремится к нулю, когда и — +со, или, как говорят, функция 7" с интегрируемым квадратом является пределом в смысле среднего квадратичного своих частичных сумм Фурье (см. об этом в п. 58.6). Все эти обстоятельства говорят в пользу изучения приближенил функций в смысле среднего квадратичного отклонения. Аналогично теореме 9 доказывается следующая теорема. 37з З За Тригаиаяетрииеелие ряды Фурье Теорема 1О. Сиспгема неотрицательных целых степеней х, т.
е. система (55.47), полна в смысле среднего квадратичного приближения во множестве непрерывных на любом заданном опгрезке функций. Доказательство. Пусть функция Т непрерывна на некотором отрезке [а, Ь[. Тогда для каждого е-»О, согласно теореме 8', существует такой полинам Р, что )[(х) — Р(х) ~ а, а -х 5 )' ь — а откуда ~ У(х) — Р(х)1'Ых(е. П а Вв.в. МИННМАЛЬНОК СВОЙСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ.
НКРАВЕНСТВО БЕССКЛЯ И РАВКНСТВО НАРСЕВАЛЯ В этом пункте мы рассмотрим ряды Фурье для интегрируемых функций, квадрат которых также интегрируем (здесь интегрируемость понимается, вообще говоря, в несобственном смысле) на отрезке [ — я, п1. Существенно заметить, что если функция 7 такова, что она имеет конечное число особых точек (см. п. 55.1) на отрезке [ — я, п1, интегрируема по Риману по любому отрезку, не содержащему ни одной особой точки и ее квадрат [' интегрируем на отрезке [ — и, п1, то из неравенства 2 1+~1 следует, что функция! ) ~ ннтегрируема на этом отрезке. Обратное, вообще говоря, неверно. Существуют положительные функции 1 (например, функция =1 интегрируемые на отрезке [ — и, п), квадрат которых, однако, уже не интегрируем на нем.
Таким образом, указанное множество функций с интегрируемым на отрезке [ — и, и) квадратом составляет собственное подмножество множества всех абсолютно интегрируемых на отрезке [ — и, л) функций. Заметим, что аналогично вводится понятие функции с интегрируемым квадратом и для любого конечного промежутка. Теорема 11. 17усть Т вЂ” функция с интегриргуемым на огпрезке [ — и, л1 квадратом. Тогда если 5„(х) — ее сулглга Фурье порядка и, иго '1 [1(х) — 5„(х)1'йх=пнп ~ [7'(х) — Та(х)1'йх, (55.48) — и 7„1г1 и где минимум в правой части равенства берется по всем тригоно- лгетрическим многочленам Т„степени не выше гг.
85.р. Ятнннлольное свойство коэффнинентов Фурье 379 Есги и„, а„Ь„, и =1, 2, ... „суть козфгрициенггин Фурье функции 7, то справедливо неравенство — -+„'~ „+Ь„-' (1()д, (55.49) называемое неравенспгеоаг Бесселя* >. Доказательство. Пусть Тн(х)= 2в+ ~ Аасоз Йх+Ваз1пйх, тогда, открывая квадратные скобки в выражении ~ 1)'(х) — Т„ (х)1а((х (55.50) и используя лемму 1 из п. 55.1 (в частности, ортогональность тригонометрической системы), получим Из полученного выражения видно, что величина (55.50) принимает наименьшее значение, когда А,=а„, А„=ам В, =Ьгн Ь=1, 2, ..., т, е.
тогда, когда Т„(х) является суммой Фурье В„(х) порядка и функции 7. Первое утверждение теоремы доказано. *' (г). Бессель (1784 — 18461 — ггсмсккнгг астроном и математик. л л и 1()() — т.(*)) е*= (т()в —,— а (- ~ кг(.в(~— — л — л а=г — 2[а 1)( )в*(-т' е ь (г(н же*аз(- -л — — л л л и /л1 ~-в, 1((*)н.н(1= )т()е ) —,(-2 фг-;-в())— л 1 — л а=( н — 2п -"2 — '+ а' ааАа — Ь„Вн .= 1~(х)дх+ а=! — л н -1- (~' '") -1- ~) (А,— аа)'+(В,— Ьа)а— 2 а=г — и ".+ Ъ ай+Ьа (55.51) а=) у Зд трогонолегрлчесяие ряди ФуРье заэ Если Т„(х) =я„(х) — сумма Фурье порядка и, то из (55.51) следует, что !!нл-е.!лге*=)еь~л — 1 ь2 'ьм] (ььь~ — Л 1.
откуда л л е~ле,— ]аь 2 аьл]':— о. — л а-1 Зто н равенство справедливо при любом натуральном и. Переходя в исм к пределу при и- ;ю, получим неравенство (~ (ее*- 1л-ь т;ьл]=ь, л 1 *=е очевидно, равносильное неравенству (55.49). ( ) Из неравенства Бесс.ля следует, что для функции с интегрируемым квадратом ряд 1+ э ал+Ь„' л=-1 сходится. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю, поэтому в рассматриваемом случае 1)ш а„= 1)ш Ь„=-О.
л -+со л Оэ Таким образом, мы еще раз установили стр.мл ниг к нулю коэффициентов Фурье (см. п. 55.2), однако на этот раз для бол.з узкого (как это отмечалось в начал этого пункта) класса функций, чем раньше, а именно для класса функций с интегрируемым квадратом. В п. 58.6 будет показано, что на самом деле формула (55.49) справедлива со знаком р а венства. Здесь мы докажем этот факт лишь для случая, когда функция ~ непрерывна и 2п-периодична. Теорема 12. Пусть функция !' непрерывна на отрезке ! — и, и1, ! ( — и) =-! (и) и а„а„, Ь„, и =1, 2, ..., — ее козффициенты Фурье. Тогда справедливо равенггнво — (х)с(х=.~-+ ~~~' ал+Ьл л=! нпзыгаемое равенством Парсеваля лй Доказательство. Для каждого е- О в силу полноты в смысле среднего квадратичного приближения системы тригоно- *' М. П а р с е в а я ь (!755 — !836 г.) — французский математик.
да!О Характер скодиности рядов Фарве метрических функций (55.2) в классе непрерывных функций, принимающих одинаковые значения на концах отрезка [ — л, л1, для функции 1 существует тригонометрический полипом Т (х) некоторого порядка А такой, что -„- ~ [1 (х) — Т (х)7 дх < е. (55,53) Согласно же теореме 11 (см. (55.48)), для суммы Фурье 5„(х) того же порядка А выполняется неравенство ~ [1(х)-Зя(х))ЯЬ ~И(х) Т(хна,. Отсюда н из формул (55.52) и (55.53) получим: —.' )еи)е -[к-~ т ...:). — и 1. я=с — ~ )с(х) дх — ~-"-+ ~~~~~ ая+Ь„'~= — ~ [1(х) — Яя(х)1здх~ ' и и .1 — и ~ — ~ [)(х) — Т(х)1'(е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
