kudryavtsev2a (947416), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Поэтому бывает удобно и саму функцию 1' «периодически продолжить» с периодом 2п. Кавычки поставлены потому, что в действительности функцию 1 можно продолжить периодяческн только в случае, когда 1( — и) = =-1(п). Если зто условие ие выполнено, то продолжением функции ( назовем 2п-периодическую функцию 7, которую получим, полагая для любой точки х си[ в и, и), в которой определена функция 1 (напомним, что в силу абсолютной интегрируемости функции 1 на отрезке [ — и, и) она определена во всех его точках, кроме, быть может, конечного их множества), У(х+2пй)=~(х), А=О,:Е1, + 2, Такое продолжение в случае, когда 1( — и) Ф) (и) приводит к несовпадению значений функций 1 и 1 при х=-и.
Однако, но- скольку коэффициенты Фурье функции определяются с помощью ' интегралов (55.5), то зто не приведет к их изменению, и„следо- вательно, ряды Фурье данной функции 1 и продолженной совпадают. Отметим, что при указанном периодическом продолжении функция р" может не быть непрерывной в точках 2пй, й = = О, гй 1, + 2, ..., если функция 1 непрерывна при х= — и и х=п.
Продолженная функция ) будет непрерывной в точках 2пй, если 1 непрерывна в х= — и и х=п, причем 1( — п)=1(п). Непрерывность в других точках при периодическом продолжении сохраняется: если 1 непрерывна в точке хеи ( — и, и), то р непре- рывна в любой точке х+2йп, А=О,:+:1, .+-2, ....
Часто продолженную функцию р" будем обозначать тем же символом 1, что и продолжаемую. Если функция ) 2п-пзриодичиа, то при вычислении ез коэф- фициентов Фурье (см. (55.5)) интегрирование можно выполнять по любому отрезку длины 2п, например, по отрезку [О, 2п1: »л а, = — ~ 1(х) с(х, о а, = -„- 1(х) соз пх с(х, Ь, = — д1 1(х) з(п пх с(х. 1 Г 1 о Действительно, если какая-либо функция ту имеет период равный Т и для некоторого числа аеи 1« интегрируема на отрезке [а, а+Т1, то при любом выборе Ь си ее она интегрируема и на З 55.
Троеонометри«еское ряды Фурье отрезке 1Ь, Ь+Т), причем ь+т е+ Т «Р(х) с(х= ~ ~р(х) Йх, ь е е«- г т. е. интеграл ~ ~Р(х)бх не зависит от выбора числа.аге)т'. е Это свойство периодических функций легко доказыпается заменой переменной интегрирования и его рекомендуется провести читателю самостоятельно. В 2 58 мы обобщим понятие тригонометрического ряда Фурье, а именно определим и изучим ряды Фурье по произвольной ортогональной системе функций.
В настоящем же параграфе будем изучать лишь тригонометрические ряды Фурье абсолютно интегрируемых функций (см. также п. 53.6). Прежде всего будет рассматриваться вопрос об условиях, гарантирующих сходимость ряда Фурье. В случае же сходимости ряда Фурье данной функции )(х) при опред ленных условиях мы выясним, чему равна его сумма 5(х), в частности — когда она совпадает с функцией ~(х). Будет изучаться «скорость» сходи- мости рядов Фурье и условия, от которых она зависит.
Будет показано, что и в том случае, когда ряд Фурье непрерывнон функции расходится в некоторых точках (примгры таких рядов существуют), по нему можно восстановить саму функцию во всех точках. Мы увидим, наконец, что с определенной точки зрения сходимость рядов Фурье естественно рассматривать не только в обычном смысле (как сходимость последовательности частичных сумм в точке или равномерную сходимость), ио и совершенно по-другому, а именно в смысле среднего квадратичного (см. п.
55.7, 55.3 и 55.9). ВЗ.2. СТРЕМЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ К НУЛЮ Большую роль в теории тригонометрических рядов играеттот факт, что козффипиенты Фурье абсолютно интегрируемой функции стремятся к нулю при и- оо. Он вытекает из доказываемого ниже несколько более общего утверждения, часто применяемого в исследованиях, относящихся к рядам Фурье и смежным вопросам. Теорема 2 (Римам). Если функция 1 абсолютно интегриругма на иромеэкутке (а, Ь), конечном или бесконечном, то ь ь 11гп ~ ) (х) соз тх бх = 11 гп ~ 1(х) з1п тх с(х = О. 'о ы д Сл дствие. Коэффициенты Фурье (55.6) абсолютно интггриругмоб функции стремятся к нулю ири и- со. 85.2.
Стремление коэффициентов Фурсе а нулю 349 Прежде чем доказывать зти утверждения, введем ряд понятий, которые будут неоднократно использоваться в дальнейшем. Определение 4. Для всякой функции Г, определенной на всей числовой оси, заиыкание множества точек, в которых 1(х)чьО, называется ее носителем и обозначается через зпрр) *1. Определение 5. Функция 7', опргделенная на всей число:ой оси, называется финитной, если ее носитель содержится в некотороле конечном отрезке.
Определение б. Лля всякого множества Е, лежаи(его на числовой пряльой, функцпя ( 1, сели х~Е, Х()=Х'()=(1 1 О, если хфЕ, называется характеристической функцией множества Е. На рис. 218 пзомраж"па характеристическая функция полуиитервала вида (а, Ь). Рнс. 219 Рнс.
218 Определение 7. Функция ~, определенная на всей числосой оси, называется финитной ступенчатой функцией, если она является линейной комбинацией конечного числа характеристических функций попарно не пересекаюгцихся полуинтерсалов (аь Ь;), 1.= = 1, 2, ..., т, т. е. если она представила в виде (55.7) (рис.
219), где )О (х) — характеристическая функция интервала (аь Ье), а Ль 1=1, ..., т, — некоторые действительные числа. Нетрудно убедиться, что если не требовать, чтобы иолуинтгрвалы (ае, Ье), 1=1, 2, ..., т, попарно не пересекались, то получится равносильное определение. Это следует из того, что пересечение конечного числа рассматриваемых ограниченных полу- интервалов является также полуинтервалом того же вида. Очевидно, всякая функция вида (55.7) финитна. " От латннсного слова аоррог1на †опо. У дд т!иееаномааричеекаа ряды Фурье Финитная ступенчатая функцьья 1 интегрируема на всей числовой оси„при этом, сели оиа задана формулой (55.7), то т ь! т ) (х) с(х = 'У', Ц е) уи(х) е(х = 'Я Х, ~ с(х = ~Ч ', к! (Ь! — а;). СО е= ! -оь с=-! о, Уп р аж напив 4. йвкаэать, ето всякая непрерывная на отреэке функция является пределом равномерно сходясцейся последовательмоспш финитиых апупеняатых функций, ноаааели которых нринадлехсат тому эсе отреэку.
Лемма 2. Для любой функции !', абсолютно интегрируемой на конечном или бесконечном промежутке с концами а и Ь, — со==- «а Ь «- + оэ, суи(ествует последоеательность таких финитньсх ступенчатых функций !у„, и=-1, 2, ..., что 1') эьрр!у„~ (а„Ь)„ ь 2') ! пп ~ ! 7 (х) — ср„(х) ! йх = 9. 'о а Доказательство. Пусть функция ! абсолютно интегрируема на промежутке с концами а и Ь. Допустим для определенности, что оиа интегрируема на любом отрезке 1с, т!1, — со = а ( $ ( т! ~ Ь «+ э (общий случай абсолютно интегрируемой функции, см.
п. 55.1, легко сводится к этому). Тогда, согласно определению несобствен- ного интеграла, для любого фиксированного числа е)0 сущест- вуют такие числа $ и т), что ь ! Г (х) ! с(х+ ~ ! ) (х) ! бх (55.8) ч 1пп е = ~ ) (х) йх, ь,-о где бх — мелкость разбиения т. Поэтому существует разбиение ть=(х!)с:! отрезка 1С, т!1, такое, что если э„— нижняя сумма Дарбу для функции ), соответствующая разбиению ть, т. е.
ь э,,= '~ и!Ах!, ть= ьп1 1(х), сьхс=х! — х! и с=1, 2, ..., Ь, х, «к«х! Функция 1 интегрируема„по Риману, на отрезке 1с, ь!) и, следовательно, если обозначить через е, нижнюю сумму Дарбу функции 1, соответствующую разбиению т отрезка 1с, т!1, то оБ.2. Стремление ноэ4ерикментоо Фарое н н1тлю О ~ 1(х) е(х — а,, ~ -~-, где е — фиксированное выше число.
Положим т„если хе,~х(хь 1=1 2, ..., /г, <р (х) = ' ' " ' ' " '' * (55.9) О, если х($ или х= т). е Очевидно ф(х) — финитиая ступенчатая функция, апррерс=[с, 4~(а, Ь) и )че(х)бх= У, ае;Лхле а„, е=-! Следовательно, РИ т()1е ~!и)е* — (тюе*( (ее!О). при этом поскольку ~р(х) -1(х), й~х~т), то ) (х) — ~р (х) = ~ 1(х) — ео (х) ( = О. Из неравенств (55.8) и (55.10) имеем: 1 П ь ~()(х) — ер(х) )е(х= ~,~1(х),~ е(х+~[)(х) — ер(х))е(х+)11(х) ~л)х с е.
о $ ч Полагая, например, е=-- н обозначая соответствующие финит- 1 П ные ступенчатые функции <р через ~р„, а=1, 2, ..., получим последовательность финитных ступенчатых функций ~р„для которой выполняется утверждение леммы. 1 Доказательство теоремы. Пусть д(х) — характеристическая функция полуинтервала [а, т1). Тогда для любого интервала (а, Ь):»[З, т1) будем иметь Ф и ото у$ — сое 7Ч 111п '1 11(х)з)похе(х= 1пп 1 з(похе(х=1пп о "=О, о 60о и о»)( о со и ибо сетон„— соеоч ! 1ссат5 ~+,'соеоч ~ 2 — 1,- о 'У М 352 у дд. Тригонометрические ряди Фурье ~ ~ Т(х) — ~р(х)1йх( —. Для этой ступенчатой функции (поскольку для ступенчатых функций теорема уже доказана) существует такое т„что при (т ~.
'че ~р(х) з(птхс(х а Поэтому, используя тождество Т (х) = 11(х) — ~р (х)]+ тр (х), при ~ у ~ ~'уе получим ! ь ~ 1' (х) з !и тх с(х а 1ь «~~()(х) — ~р(х))з(птхйх + а ! ь ь ~~Р(х)з)птхс(х~ $(7(х) — ~Р(х)1с(х+ а а + ) ~Р(х)$1птхох (--+. -=е. ь Это означает, что !пп )Т(х) з)птхс(Х=О. ч та а Аналогично доказывается, что ь 1пп )Т(х) созтхйх=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
