kudryavtsev2a (947416), страница 61
Текст из файла (страница 61)
п. 39.4). Поэтому, согласно предыдущей теореме (см. (54.17)), ь ь Впт Ф(у)=( )пп 1(х, у)т(х=$7(х, у,)дх=Ф(у,). 1! о- е. аа ут а Зьь э" ьл. Нееьоетееьньм интеерали, еевьхятцие ет юренетра Теорема 6. Если выполнены предположения теоремы 5, то е е ь ь е ) Ф(у) г(у= ~ е!у~)(х, у) г(к= ~ г!х~~(х, у) т)у. (54.20) Доказательство. Если а«т1< Ь, то по теореме 3, п. 53Л, е е ~ ду ~ ~ (х, у) бх = ~ дх ~ [(х, у) ду.
(54.21) ') с(х ) ) (х, у) бу. [ ) а с Докажем одну теорему о перестановке порядка интегрирования для случая, когда оба интеграла несобственные. Теорема 7. Пусть функция 1(х, у) определена и непрерывна на полуоткрытом прямоугольнике ((х, у):а«х~ Ь, с«у«б), — со«'а(Ь =+со, — оз(с«;г! -+со. Если интеграл ~[(х, у) бх О (54.22) равномерно сходится на любом отрезке [с, т!1, с т! <. Ы, а интеграл ))(х, у) г(у (54.23) т Функция Ф(у, т))=))(х, у)бх непрерывна по у н при т1-~Ь вЂ” 9 И стремится к своему пределу Ф(у) равномерно на отрезке [с, а!.
Поэтому, согласно теореме 2, и. 53.1, в левой части равенства (54.21) можно перейти к пределу под знаком интеграла при т1-ь Ь вЂ” 0: е е 1!от ~т(у)[(х, у) с(х= !!гп ) Ф(у, т!)т(у= ~ !!тп Ф(у, т!) Ну= е е ь = ~ Ф (у) т(у = ( г(у ~ [(х, у) г(х; с с а при этом полученный предел конечен. Следовательно, при т1-~ Ь вЂ” 0 существует тот же предел и у правой части равенства (54.21,), который в силу определения несобственного интеграла равен аЛ.З. Свойства интегралов, вавислтих ог аарамегра 315 то суииствуют и ровны между собой оба повлюрных интеграла л ь ь л )йу)1(х, у)йх и ~дх)1(х, у)ду, т. е. с а а с л ь ь л ~ Иу ~ ~ (х, у) йх = ~ Их ~ ) (х, у) йу. (54.24) с а а с Доказательство.
Пусть, например, существует интеграл ь л )с(х~~~(х, у)( йу а с и пусть с(ь)(с(. В силу равномерной сходнмости на отрезке [с, т1) интеграла (54.22), согласно теореме 6 имеем ь ь ч ~ йу~1(х, у) йх=~йх(Г(х, у) йу. (54.26) (54.25) Предел левой части этого равенства при т1-ь б — О, очевидно, равен л ь 1 йу1)(х, у) дх. с а Покажем, что предел правой части равенства (54.26) равен ь л ) йх ') 1(х, у) с(у, т. е.
что в этом случае возможен предельный переход при т1-+ й — О под знаком интеграла. Проверим выполнение предпосылок теоремы 4 этого пункта. Функция Ф(х, Н)=)1(х, у) йу непрерывна с по х (см. теорему 1 и. 53.1) и, согласно условию теоремы, иа любом отрезке 1и, Я, а($(Ь, при и- й — О равномерно стремится к интегралу (54.23), т. е. к функции Р(х)=)1(х, у)йу. с Наконец, интеграл ь ь ч $Ф(х, н) с(х=$с(х)г'(х, у) с(у равномерно сходилген ни любом отрезке (а, $], а $(К и еуи(евтвует один иэ двух повторных интегралов ь ь л ( йу ~ ~ ) (х, у) ) йхс ( Юх ~ ( ) (х, у) ) йу, 3!6 у 5).
Песовствеииые аитегралы, зависящие от параметра сходится равномерно относительно т), с(т)<с(, ибо 1Ф(х, Ч)! ~1Пх, у)!ду, с а интеграл (54.25), го предположению, сходится. Следовательно, условия теоремы 4 для правой части равенства (54.26) выполнены, поэтому 1)тп (Ф(х, т))дх=-~ 1(т Ф(х, т))дх=~с(х~Дх, у)с(у. ч-а — о, ч-в-о Итак, доказываемое равенство (54.24) получается из (54.26) предельным переходом при т)-а-с( — О. [ ) Перейдем теперь к рассмотрению дифференцируемости несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Теорема 8, Пусть функции р(х, у) и — ' определены и непрев)(х у) рывны на полуоткрытол прямоугольнике Л=(а~к< Ь, с~у~д), — оо(а(Ь~+оо, — оо~с(Ы(+со. ь ь Если интеграл ~ )(х, у)дх сходится, а интеграл ~ — 'дх гд)(х, у) а а ь равномерно сходится на отрезке [с, с1~, то функция Ф (у) = ~ 1(х, у) дх а непрерывно дифференцируе.ча на этол отрезке и и ь -~- ~ )(х, у) дх= ~ д) 1»' У) дх. а а ь Доказательство. Представим функцию Ф(у) =)1(х, у) ь(х а в виде сходящегося на отрезке [с, с1'1 ряда са Чам Ф (у) =- ~ ~ (х, у) дх = ~~ ~ ((х, у) дх, (54'.27) и=! Ы а где т)„, и=1, 2, ..., — фиксированная последовательность„такая, Г д)(х, у) что т)„в=[а, Ь), ц,=а н 1)т т)„=Ь, а функцию г» ' дх'— и аэ у а дй.З. Свойства интегралов, зависли)их от параметра 317 в ниде равномерно сходящегося на отрезке [с, с(1 ряда Ь Чл е1 =Х' д((х, у) ~ (' д((х, д) др .ьв,) дд а и=! в Согласно теореме 4 и.
53.2, каждый член ряда (54.28) является производной по переменной у от соответствующего члена ряда (54.27), а поэтому в силу теоремы о дифференцировании рядов (см. и. 36.4) сумма ряда (54.28) является производной суммы ряда (54.27). ( ) Как уже отмечалось, все предыдущие формулировки и дока- зательства относятся к несобственным интегралам, зависящим от параметра, которые удовлетворяют условиям 1) и 2), сформулиро- ванным в начале п. 54.1. Совершенно аналогично рассматриваются н более общие случаи, например, когда 1 ') — оэ «а ( Ь = + со', 2') при любом ус= У функция 1(х, у) по переменной х инте- грируема, по Риману, на каждом отрезке)ч, Ч), где а(Е(г)(Ь.
Построенная теория интегралов, зависящих от параметра, естественным образом переносится и на случай„когда интеграл зависит от двух или вообще от некоторого конечного числа пара- метров у„..., у„. При этом многие формулировки определений и теорем, а также доказательства формально остаются прежними, если только вкладывать новый смысл в применяемые обозначения. Это относится, например, к определению равномерной сходимости и теореме о предельном г|ереходе под знаком интеграла, следует только считать, что у= (у„ ..., у„) и ув —— (у1", ..., у'„") — точки н-меРного евклидова пРостРанства, а 17-+Уо понимать в смысле предела в этом пространстве.
54лк ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ До сих пор в нашем распоряжении было два способа вычисления определенных интегралов. Первый из них исходит из определения интеграла как предела интегральных сумм и широко используется в численных методах. С ним мы более подробно ознакомимся в п. 60.4. Второй способ, которым мы уже постоянно пользовались, основан на нахождении первообразной подынтегральной функции и применении формулы Ньютона — Лейбница.
Оказывается, что иногда удается получать точные значения определенных интегралов, используя теорию инте.Валов, зависящих от параметра. При этом ценность этого метода состоит в том, что с его помощью в ряде случаев вычисляются интегралы от функций, первообразные которых не являются элементарнымн функциями и тем самым обычный способ использования формулы Ньютона — Лейбница оказывается неприменимым. Пр и мер 1. Пусть требуется вычислить интеграл 1 (54.29» Приведем способы его вычисления, основанные на его замене некоторым интегралом, зависящим от параметра, для которого (54.29) является частным значением. рассмотрим функцию )(х, у) = хм!" х" и интеграл хг 1 — к~ $ ) г~д~-~пд р>к,=( „'."*' а; ~54зч Очевидно, что интеграл (54.29) получается отсюда при 9=1. Так как ~ у = Р (1) при х-+-О и ~ ~ у =Р(=1'при х)'! — х х-+ 1 и любом фиксированном у, то интеграл (54.ЗО) сходится при любом у.
Из неравенства ~ — к-' — ~ = ~ - ~:-.= = и схо-. 1д((х, у)! 1 1 1 1 У ~ ~(1+к'у')1' 1 — х~ ~ У ! 1— х1 1 дх димости интеграла 1 = = — следует что интеграл 1 (54.51) равномерно сходится на всей вещественной оси и, согласно теореме 8 п. 54.3, равен У'(у). Выполнив последовательно замены переменного интегрирования х=созф и 1=!дч», получим 1 х/к 1'(У)= ! «!+ 2) У1 — !+у сех т ' о +оз Ш 1 !+о> п ,+, „- агс(а .
Отсюда, согласно определению неопределенного интегрдлд, вытекает, что (у) = ~ Г (у) бр= -й ~ = "1п(9+3/Т+Н')+С. Но из (54.ЗО) следует, что 1(О) =О, поэтому С=О и ее.у. Применение теории ингегрихеи, ииеиеииуех ии иирииегри 31й Подставляя сюда у=1 получаем значение искомого интеграла (54.29) 1= 1(1) =- -1п(1+У2). Интеграл (54.29) можно вычислить и используя интегрирова! иге!ях !' иу ние по параметру. Заметив, что — = у! , получим для х ~ 1+хеух ' 1 выражение 1 ! их (' йу Г (54.32) Можно показать, что соответствующий неопределенный интеграл при а~О не выражается через элементарные функции, и тем самым данный интеграл нельзя вычислить обычным приемом с помощью формулы Ньютона — Лейбница.
Интеграл (54.33) сходится прн всех значениях а. Действительно, если а=О, то, очевидно, 1 (0) =О, Если же а~О, то, прбйзводя замену переменного 1= ах, получим — "" В=1(1), если а)0 + СО !' мп! — — сР= — 1(1) если а~О 1(а) = ! их Интеграл же 1 й (! +х'у') У1 — х' сходится равномерно по у, ибо ! ! 1 йх , а интеграл ) сходится. Поо этому в (54.32) можно переменить порядок интегрирования (см. теорему 6 п. 54.3). Тогда (нспользуя непосредственно найденное выше значение получающегося интеграла по х) находим ! ! ! „(1+хеу!) у'! х! а а! р'Т+ут а у ) е Пример 2. Вычислим значение интеграла +со 1(а) = — „дх. (54.33) 320 Э дв Оесобственняе интеграла, зависящие от параметра Интеграл же 1(1) сходится (см. п.
33.5), поэтому и интеграл. 1(а) сходится. Для того чтобы вычислить интеграл (54.33), рассмотрим болев +со общий интеграл 1(и, )))= е-Р с|пахе(х. х Продифференцировав формально по а под знаком интеграла, + л получим интеграл ~ е-В" соеас(х, который при любом фиксироо ванном () )О равномерно сходится относительно параметра сс, — оо(а~+ею.
Следовательно, при р)0 (см. т. 1, и. 25.4) +со дг(а, Р) да ! Ге е-"'совах е(х =- ат+(!е ~ откуда а 1(а, р)= ~,е~ „, +Сф)=агс(й .+С(((). Но 1(0, р) =О, следовательно, С(($)=0. Итак, 1(а, р)=атс1й-"-, р-.з О. Нас, однако, интересует значение интеграла 1(а, ()) при р=О. Проще всего попытаться обосновать возможность предельного перехода под знаком интеграла 1(а, ()) при р — т-+О. Зафиксируем число Ь~О и покажем, что интеграл 1(а, р) при любом фиксированном а ~0 равномерно сходится по параметру () на отрезке (О, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
