kudryavtsev2a (947416), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

Действительно, если а — дважды непрерывно дифференцируемое в области 6 поле, то го(а является соленоидальным в 6 полем, так как с(1чго(а=О. Нетрудно провести правдоподобное рассуждение, убеждающее в справедливости этого соотношения. Для этого достаточно перейти к символическому вектору 7; тогда рассматриваемое равенство примет вид 7 (7 ха) = О. Смешанное произведение обычных векторов в случае, когда два сомножителя совпадают, равно нулю, ибо в этом случае параллелепипед, натянутый на эти векторы, вырождается в параллелограмм, и, следовательно, его объем равен нулю. Поэтому естественно ожидать, что указанное равенство справедливо и для вектора 7.

Это правдоподобное рассуждение можно превратить в математически обоснованное и, тем самым, имеющее доказательную силу, если доказать, что символический вектор Ч на самом деле обладает использованными нами свойствами, аналогичными соответствующим свойствам обычных векторов. Это можно сделать простой проверкой, переходя, например, к координатной записи (см.

(52.2) и (52.4)). В ЗЕ Слвлввные и векторные паля 52.В. ПОТЕНННАЛЬНЫЕ ВЕНМРНЫЕ'Н«ЬЕЯ В этом пункте поверхность Я, для которой справедлива тео- рема Стокса, будем называть допустимой. Опредежние 10. Трехмерная область 6 называется аднссвязнсй, если какова бы ни была зам кутая ломаная у, лежащая в 6, существует допустимая поверхность Я, также лежащая в 6 и натянутая ни ломаную у (см. п. 52.4). Иногда односвязные области называются также поверхностно односвязными. Если рассматриваемая область С выпуклая, то существует очень простой способ натягивания поверхностей на контур.

Иско- мую поверхность всегда можно взять в этом случае в виде конуса с вершиной в произвольно фиксированной точке М, ~ 6, направляквцей которого служит заданная крпвая у. Если р=р(и), О~и~2н, — представление этой кривой и е« вЂ” радиус-вектор точки М„то искомый конус 5, натянутый иа данный контур, задается представлением е = "«+ п(Р(п) ~«1' (б2 30) 0 = и =- 2п, О «=- п «=- 1. Рве. 214 Рассматривая и и з как полярные координаты, видим, что «представление«конуса задано иа единичном круге, причем единичная окружность у« — — ((и, о): о = 1) переходит в заданный контур у, ее центр — в вершину конуса (рис.

214). Слове «представление«взято в кавычки, так как понятие представления поверхкости было введена выше лишь для случая, когда параметры и и о являлись декартовыми координатами. Конус (52.30) в общем случае будет иметь кратные точки и не будет кусочно-гладкой поверхностью даже в случае, когда у— достаточно гладкая кривая, т. е. если у — достаточное число раз непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек. При эгом на конусе (52.30) будут иметься, вообще говоря, особые точки, отличные от вершины. Чтобы устранить это затруднение наиболее простым образом, мы и ограничились при определении одиоспязной области рассмотрением лишь контуров„являющихся замкнутыми ломаными.

В этом случае вершину конуса М, всегда можно выбрать таким образом, что указанный конус будет кусочно-гладкой поверхностью. Действительно, при любом выборе вершины конуса в случае, когда его направляющей являееся некоторая ломаная у, конус распадается на конечное число треугольников дь 1 =-1, 2, ..., й, правда, быть может, вырожден- ных, т. е. превративишхся в отрезок нлн точку.

Одной из вершин этих треугольников будет вершина конуса М„а противоположной стороной — одно из звеньев ломаной у. Каждый такой треугольник можно рассматривать как непрерывно дифференцируемую любое число раз поверхность и задавать его представлением, осуществляемым линейными функциями (см. п. 16.5 и (52.30)). Если треугольник вырожденный, то все его точки будут особыми. Однако сколь угодно малым смещением вершины конуса можно добиться того, что она окажется в общем положении со всеми звеньями ломаной у, т.

е. не будет лежать нн на одной прямой, проходящей через какое-либо звено ломаной у. В результате все треугольники Во (=1, 2, ..., й, станут невырожденными и, следовательно, могут рассматриваться как гладкие поверхности без особых точек. Сам же конус 3 ока- / жется, таким образом, кусочно-гладкой поверхностью В = (5;)~ ~1. При этом, поскольку к / при всех достаточно малых смещениях каждой точки области она остается внутри области, вершину М, конуса В всегда можно выбрать в области и поэтому и силу ее выпуклости весь конус В будет лежать в этой области. К получившемуся кусочно- гладкому конусу Я можно применить теорему Стокса, иначе говоря, этот конус является допустимой в этом пункте поверхностью. Итак, мы доказали, что всякая выпуклая область односвязйа. Примером неодиосвязяой области является тор, т.

е. область, образуемая вращением круга вокруг не пересекающей его оси (рис. 215). Напомним, что поле называется потенциальным, когда его циркуляция )айг равна нулю по любому замкнутому контуру ус:6, или, что то же, когда интеграл ~ айк ие зависит от пути лв интегрирования, соединяющего в области 6 точки А и В. Подробнее об этом см, и. 52.1. Оказывается, что в односвязной области векторное поле яотенциальио тогда и только тогда, когда оно безвихревое.

Это утверждение содержится в нижеформулируемой и. доказываемой теореме 6. Теорема 6. Пусть в односвязной области 6 задано непрерывно дифференцируемое векторное поле а=(Р, 1е, Я). тогда эквивалентны следующие три свойства: 1. Векторное поле а=а(М) является в области 6 потенциальным. 2. Существует потенциальная в 6 функция и=и(М), т. е. такая функция и(М), чпю а=агади, или, что то же, ба= Э 52.

Скалярные и векторные поля = Р йх+6 Ну+В Нг. В. этом случае для любых двух точек,А,~ 6. и В~ 6 и любвй кусочно-гладкой кривой АВ, соединяющей в Ф эти точки, *1 ай'=и(В) — и(А), 3. Векторное поле а=а(М) является безвихревым: го1а=О' в области 6, т. е. дР дЯ дЯ дй дй дР ду дх' дг ду' дх дх* Подчеркнем, что из теоремы 6 в частности вытекает, что непрерывно ди44еренцируемое в односвязной области векторное поле а потенци льна тогда и только тогда, когда оно является полем градиентов некоторой скалярной функции и: а= уи. Доказательство.

Применим схему П е р в ы й ш а г: 1-+- 2. Это утверждение, т. е. существование потенциальной функции, доказывается совершенно аналогично рассмотренному раньше случаю плоской области (см. теорему 3- в п. 47.8) и поэтому не будем приводить его доказательство. Второй шаг: 2-ь3. Утверждение 2- 3 также доказывается аналогично плоскому случаю: оно означает просто-напросто равенство соответствующих вторых смешанных производных потенциальной функции. Утверждения 1ь.2 и 2- 3 справедливы и без предположения односвязности области 6. Т р е т и й ш а г: 3-~-1. Пусть го1 а = О в 6.

Допустим сначала, что у — кусочно дважды непрерывно дифференцируемая замкнутая кривая, лежащая в 6. Если существует допустимая поверхность 5, содержащаяся,в 6 и ограниченная контуром у, то из теоремы Стокса сразу получаем ~ а йг = ~ ~ го1 а сБ = О. т . в В силу односвязности области 6 (см.

определение 10) это верно, в частности, для любой конечнозвенной ломаной. Поэтому, если у — любая кусочно-гладкая замкнутая кривая, лежащая в 6, то, выбирая последовательность ломаных Х„, вписанных в у со 82.6, Потенциальные векторные лола звеньями, стремящимися к нулю нрн п-нсо, по лемме 3 и. 47.8, Получим ~ аг(г'= )ип ~ а й = О. ( ) 'г ' а ют л В заключение заметим, что хотя потенциальные н соленондальные векторные поля не исчерпывают совокупности всех возможных векторных полей, однако, они позволяют описать широкий класс векторных полей.

Именно, прн достаточно обших предположениях любое векторное поле а представляет собой сумму потенциального н соленоидального векторного поля. Более точно, суп(ествуют такие скалярная функция и н векторное поле Ь, что а= ти+го(Ь. Поскольку го(7и=О и йуго1 Ь=О, то первое слагаемое является потенциальным полем, а второе — соленоидальным. ЭтО ПрЕдЛОжЕНИЕ НаЗЫВаЕтея тЕОрЕМОй ГЕЛЬМГОЛЬПа «1 (ЕЕ дОКазательство можно найти в книге: Ф, М.

Морс, Г. Фешбах «Методы теоретической физики», т. 1, М., 1960). Упражнения. 20. Доказать, что поток ротора непрерывно днфференцнруемого а некоторой области векторного поля через любую сферу, лежащую н указанной области, равен нулю. 21. Доказать, что ) ) ) йгаб фго1 аехдубг=~) (акугаб фаз).

Характеристики

Список файлов книги