kudryavtsev2a (947416), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(54.5)), а неравенство (54.6) в обозначениях (54.5) можно записать в виде Поэтому теорема 2 является просто перефразировкой теоремы 4 из п. 39.4 для рассматриваемого здесь случая. У и р а ж н е н н я. Исследовать сходнмость н равномерную сходнмость интегралов прн всех значеннях параметра сг, увазать областн изменения параметра а, на которых нмеет место равномерная сходнмость интегралов: 4. х+а)' х +»О 1 ех (' г!х !+(х — а)з ' 3 хо — /:О о + са 3. ) е г» ~! ех + СО дх О. Исследовать на равномерную сходнмост~ интеграл ~ (х о)р ! Ья Рн о ага Я, Ь» Ьз)0 (соответственно.
нрн Ь) О), р» 1. ой.2'. Признак равномерной скодимосги интегралов аов 04.2*. пРизнАк РАВнОмеРнОЙ сходимости интеГРАлОВ В этом пункте будет доказан признак равномерной сходимости интегралов, аналогичный соответствующему признаку для равномерной сходимости рядов (см. и. 36.3). Теорема 3. Пусть функции [(х, у) и у(х, у) определены при а(х(+оо и у е- =)' (а — конечно, У вЂ” некоторое числовое множеспию), причем функция [(х, у) непрерывна по переменной х, ди а д(к, у) илсеет непрерывную по х производную Д. Если 1) функция д(х, у) при каждом у~у монотонна по х и равномерно на множестве У стремится к нулю при х-е.оо', 2) интеграл 17(к, у)дх ограничен кок функция переменнйк к) ен[а, + оо) и уев У на множестве [а, + оо)ху; то интеграл + СО ) и(к, у) Г (х, у) дх (54.7) а ~ и(х, у))(х, у)дх= че =д(з1', у) ~ [(к, у) дх+д(з)", у) ~ [(х, у) дх, (54.8) где т1'< $(ц".
В силу условия 2) теоремы существует такая постоянная М~О, что для всех (ть у) он[а, +оо)хУ имеет место неравенство ~~((х, у)дх (М. Поэтому ~а ! [П*. Юл.~- Ри. Ме.е1П, е)е*~= 11' ~а а к.1))(х, у)дх +~)[(х, у)дх =2М, (54.9) ~а ~ а аналогично, (54.10) Зафиксируем произвольное е О. В силу равномерного на множестве У стремления к нулю функции д(х, у) при х-ь-+оо, равномерно скодится на множестве )г. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно второй теореме о среднем для интегралов (см.
и. 30.3*) при любых т1' н ц", а(т)'(11", справедливо равенство ЗЮ 4 буг)тесоостеениые интегралы, аиеисяитие от иаралмтра СУЩЕСТВУЕТ ТаКОЕ т)е ва ЧТО ДЛЯ ВСЕХ Х)т)е И ВСЕХ СЕ- Г СПРа» ведливо неравенство 4М (54.11) С помощью неравенств (54.9), (54.1О) и (54.11) из (54.8) следует, что для любых т)'~Че и т)'~т)а имеет место оценка ! ч $ у(х, у))(х, у)дх < ч' <)у(т)', у)) ~ )(х, у) г(х +)й'(т)", у) ! ') ) (х, у)г(х ~ (2М4 +2М4- — е. и и 4М 4М Таким образом выполняется условие Коши (см. п.
54.1) равномерной сходимости интеграла (54.7). ( ) Заме чан не. Можно было бы интеграл в левой части равенства оценить и не прибегая ко второй теореме о среднем, а поступая аналогично доказательству признака Дирихле в и. 33.6, проинтегрировать его по частям. Это однакоудлинило быдоказательство и по существу были бы повторены рассуждения, проведенные при доказательстве второй теоремы о среднем. Наличие у функции д(х, у) непрерывной производной по х не является существенным и вызвано лишь тем, что вторая теорема о среднем в п.
28.3* была доказана при этом предположении. + со Г х к!и ху Пример. Интеграл ~ — „, с(х равномерно сходится при 1 У»ре)О. Действительно, фУнкциЯ У(х) г=' — ',+, Убывает пРи х~1 и 1пп д(х)=0, причем, поскольку д(х) не зависит от у, + со то стремление у(х) к нулю при х-и+со пРоисходит равномерно относительно у; кроме того ~ к)пхуг(х = ( — чу 2 < — ° У Уо о Таким образом, оба условия теоремы 3 выполнены. Задача 32. доказать, что если функции Г(х, у) и у(х, у) определены при + со — со<а<я<+со и усну, причем интеграл ) 1(х, у)сГх равномерно е сходится на У, а функция у (х, у) монотонна по х и ограничена ва множестве + со [а, +со)ХУ, то интеграл ) у(х, у)1(хс у)с(х сходится равномерно иа У.
О двхД Сволсгва интегралов, зависла(их ог яаралвгрв зп У п р а ж не н н я. 7. Пусть функции 1(х» и я (х, у) непрерывны по х, (туакт(ия' а (т, у) монотонно н равномерно относительно у т У стремится к нулю при х-е+оз и имеет непрерывную производную ', х»а, у я У, ду(х, у) дх + во + О.'3 а интеграл ) 1(х) ах сходится. тогда интеграл ) /(х)у(х, у) вх равно- и и мерно сходится на множестве У.
Исследовать на равномерную сходимость интегралы: з1!па х 8. ~ е-ох — йх при а»О, р»О, 4»О. о !пв х 9. 1 — Вх при р»О, 4»О. 1 64.3. СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА При изучении свойств несобственных интегралов, зависящих от параметра, очень часто придется иметь дело с перестановкой предельных переходов по различным переменным. Поэтому прежде всего докажем лемму, относящуюся к этому вопросу. Лемма 1. Пусть Х и У вЂ” два числовых мнохсества; функция )(х, у) определена на их произведении Хх 1' (см. п.
41.2): х АХ, уеп 1', хо и уо — числа или какие-то из бесконечностей со, + оо, — оо и существуют пределы ф (х) = 1нп Г (х, у), х ее Х, и тр(у) = !пп » (х, у), у еп У. в в х кв Если стремление функции»' хотя бы к одному из указанных пределов происходит равномерно, то существуют и равны оба повторных предела: 1(пт !пп )(х, у) = !(пт !пп ~(х, у). х к, в и, в в, х к, Доказательство. Пусть, например, функция Г'(х, у) равномерно на Х стремится к ф(х) при у- уо. Тогда длялюбогофнксированного е»0 существует окрестность (7(уо), такая, что, каковы бы ни были у е=(7(у,) П Уо> и х~ Х, выполняется неравенство [Г (х, у) — ф (х)[ « (54.12) Если у, епс)(уо)() У и уз еп(т'(уо) П У, то [Х(х, у,) — )(х, уз) [~[)'(хв у,) — ф(х) [+ [гр(х) — )(х, у,) [(е.
*' Через (в', как всегда, обозначается проколотая окрестность. ЗГ2 У ае. Нее»Вселенные интегралы, зависла!ие' от лараиетра Итак, доказано существование повторного предела !!ш !!ш г'(х, у) = А. Зафиксируем теперь у, е= У (у») П )т. Тогда из (54.12) при у = ут н из (54.!3) при уь — «у» соответственно получим (~(х, ут) — тр(х) !(-~-, ! »р(у,) — А ! ~е. (54.14) Для всех у ен У существует предел !!ш ((х, у) =ф(у).
Поэтому к кт при фиксированном у, ~ У (у,) (? У для заданного е ~ О найдется такая окрестность У(х»), что для всех хипа(х»)(?Х будем иметь !Р(х у? — р(ут)!( . (54.15) Из неравенств (54.14) и (54.15) для всех х ~ П(х») П Х имеем (<р(х) — А?«=! юр(х) — 7(х, у) ~+!?(х, ут) — ф(ут)!+/тр(ут) — А/(Зе, что и означает существование повторного предела А = 1пп <р(х) = !пп !пп г'(х, у).
( ) к кк к к,в в, Теорема 4. Пусть — со .,а<Ь=-+со и функция р(х, у) определена для всех хин(а, Ь), уев 'т' и при любом у ен 'т' непрерывна по х на (а, Ь). Тогда если при любом т? ~ (а, Ь) функция )'(к, у) равномерно на отрезке (а, т!! стремится к функции тр(х) при у-«у» а) и интеграл ь ')г(х, у)с(х а (54.16) равномерно скодиптся на множестве т, то ь ь ь !пп ~~(х, у) дх=~ Нш ~(х, у)дх=~ ср(х) дх. (54.17) у-в.
а ив в. а *' Здесь р» — число или одна из бескин»ни»стев со, +со, — со. Переходя здесь к пределу прн х-«х„получим ?ф(у)-ф(ут)!== . (54.13) Согласно критерию Коши для существования предела функции (см. п. 4.11), из (54.13) следует существование конечного предела !пп ф(у) =А. Зт',3, Свойства ттитеграаов, эввислвцак от параметра 31з Доказательство. Если а(т!< Ь, то в силу теоремы 2 п.
53.1 имеем ч о 9 !пп 1!(х, у)Их=~ 1!ш )(х, у)т!х=')ср(х)т(х. (54.18) О-Ета а« е. а Поэтому, согласно определению несобственного интеграла, равен- ство (54,17) можно переписать в виде о 1пп 1!ш '!1(х, у)дх= 1пп !пп 11(х, (т)с(х. (54.19) е тыо ь — о; ч ь — оу ыа Таким образом, остается доказать возможность перестановки порядка предельных переходов для функции Ф(у, т!)= ~1(х, у)~. а Это следует из доказанной выше леммы.
В самом деле, согласно (54.18) существует предел !пп Ф(у, т!). С другой стороны, сущее-ь» ствует и предел ь 1чп Ф(у, т1)аа 1!гп ~)(х, у)йх=-~)(х, у)дх, ч-ь — о ч-ь — о, причем здесь, согласно условию теоремы, стремление к пределу происходит равномерно на множестве т'. Следовзтельио, справедливость равенства (54.19) непосредственно вытекает нз утверждения леммы.
( ) Теорема 5. Пусть функция 7'(х, у) определена и непрерывна (как функция двух переменных) на полуоткрытая «прямоугольников ((х, у):а==.х(Ь, с=-у~т(), — сс <. а ~ Ь ~-+ сс, — сс ( с ~ т( (+ со. Тогда, если интеграл Ф(у)=~7(х, у) Их слодипия равномерно на а (с, Н), пю он является непрерывной функцией на этом отрезке. Доказательство. Каково бы ни было уо~(с, а), функция !'(х, у) при у — т.уь равномерно на любом отрезке !а, т!л, а(т! с'Ь, стремится к функции 1(х, уо) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
