kudryavtsev2a (947416), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Такая наглядная интерпретация сбгласованности ориентации нормали т и контура у имеет то преимущество, что она не связана с выбором системы координат и остается 'справедливой для любой поверхности 5, рассматриваемой в теореме Стокса, а не только для явно заданной поверхности. Конечно, нсе подобные рассуждения не являются математическими доказательствами, а служат лишь для наглядного пояснения формулы Стокса. з з з Следует заметить, что формула Стокса остается справедливой, если в ней взять ! противоположную ориентацию контура и про- !т тивоположпые нормали — ч; в этом случае ! ! ! ! ! ! ! обе части равенства (52.21) изменят знак иа противоположный (при этом ориентации контура и поверхности остаются согласованными по «правилу штопора»).
Формула Стокса может быть доказана н для ориентируемых кусочно-гладких поверхностей 5 =15!);:!', а именно таких, для которых поверхности 5!, 1= 1, 2,..., („удовлетворяют условиям доказанной теоремы 3. При этом край поверхности д5 (см. п. 50.11) может состоять из конечного числа замкнутых контуров у;, ) =1, 2, ..., )«. Для доказательства этого достаточно написать формулы Стокса для каждой поверхности 5ь 1=1, 2, ..., („и сложить их (ср. с обобщениями формулы Грина в п.
47.5 и теоремы Остроградского — Гаусса в п. 52.3). Отметим также, что в теореме 3 условие дважды непрерывной дифференцируемости поверхности 5 было наложено только для простоты доказательства (оно в этом случае существе н но упрощается). Формула Стокса (52.21) справедлива и при предположении лишь гладкости поверхности 5 (при сохранении прочих условий теоремы 3). Доказательство этого факта выходит за рамки нашего курса. Из всего сказанного следуег, что формула Стокса остается справедливой и для просто ориентированных кусочно-гладких поверхностей 5=15!),':!ь (т.
е. без предположения о дважды непрерывной дифференцируемости поверхностей 5!). Сформулируем теорему для этого случая. Теорема 3' (Стоке). Пусть вектор-функция а непрерывно дифференцируена в области 0 и пусть 5=(5!)';::~' — ориентированная кусочно-гладкая поверхность и д5 — ее край с ориентацией, порожденной зНданной ориентацией поверхности 5 (см.
п. 50.11). Тогда ~ а й = )) го1 и Ф5. аз з 10 кгкрявьев л. д. т, 3 р 52. Скалярные и векторные поля ( ) а и'т з( го(,а(Ме)= )пп ~ — "' (. вгв> о Но (52.27) Доказательство. По формуле Стокса ~ай =))го(„ай5, т в но по интегральной теореме о среднем '))го1,ай5=го1,а(М)р5, М ев5.
Следовательно, ~ а дЯ го1,а(М)оа —" рх (52.28) Заметим, что при й(5)-«О и М вЂ” «М,. В силу непрерывности в точке М, функции го1«а(М), переходя к пределу в (52.28) при й(5) — «О, получим формулу (52.27). (1 Из (52.27) следует, что правая часть его может быть принята за определение проекции вихря данного поля на произвольный, по фиксированный единичный вектор чт. Это приводит и к новому "' Как и в теореме 3 (по «правилу штопора«). **' Указанные обласзн Ч, очевидно, всегда существуют (почему?).
«"г ЧеРез готта обозначена пРоекциЯ вектоРа го(а на нектоР т, т. е. готт и = и р „го( а. Наглядно согласование ориентаций контуров у» из которыХ состоит край д5 поверхности 5, с ориентацией втой поверхности и, следовательно, с ориентацией т поверхностей 5? означает, что наблюдатель, двигающийся по контуру ум ) =- 1, 2, ..., („ и смотрящий на поверхность 5 из конца нормали ч, видит поверхность 5 слева. Теорема Стокса дает возможность установить геометрический подход к р понятию вихря векторного поля. 7 Теорема 4.
Пусть в трехмерной области О определено непрерывно дифференцируемое векторное поле а = а (М); ̄— фиксированная точка, Ма ен 6, ив Рис. 212 произвольный постоянный единичный век- тор, П вЂ” плоскость, перпендикулярная вектору и и проходтцая через точку М„5 — ограничгнная область в плоскости П, границей которой мляется кусочно-гладкий контур у, г((5) — диаметр области 5; пусть контур у согласованно ориентирован с нормалью и * г, Мо ен 5 и 5 с:. 6 «* г (рис.
212). Тогда **«г В«Х Еолввоидвлыивв векторные воля оцределению самого вихря, так как достаточно, например, взять 'трн ' произвольных ортогональных единичных вектора тм тв, ч»в, проекциями на которые, как это хорошо известно, однозначно определяется всякий вектор. Можно показать, что величины, входящие в правую часть равенства (52.27), не зависят от выбора системы координат, однако согласованность ориентаций вектора ч и контура у зависит от ориентации системы координат: при переходе от правой системы координат к левой согласованность ориентаций ч и 7 по правилу штопора заменяется согласованностью по правилу «антиштопора», т.
е. при фиксированной ориентации вектора ч ориентация контура у изменяется иа противоположную. Тем самым интеграл ) а йп при изменении ориентации системы координат изменяет знак, а потому в силу формулы (52.27) меняет знак и го(а. Из сказанного следует, что формула Стокса (52.22) справедлива не только в правой, но н в левой системе координат, так как при изменении ориентации системы координат и левая и правая части равенства (52.22) меняют знак: при фиксированной ориентации ч поверхности о в случае изменения ориентации системы координат изменяют знак как го( а, так н контур у. зв.з.
О»ленОНДАльные еех«ОРные пОлй В этом пункте ограниченную область, для которой справедлива теорема Остроградского — Гаусса (см, и. 52.3), будем называть допустимой. Совокупность поверхностей будем называть допустимой, если она является границей допустимой области. Выше отмечалось (см. п. 52.3), что теорема Остроградского— Гаусса справедлива для любой ограниченной области, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей.
Поэтому всякая такая область допустима. Очевидно, справедливо и обратное утверждение: всякая допустимая область имеет границу, состоящую из конечного числа кусочно-гладких поверхностей — иначе нельзя было бы даже говорить о поверхностных интегралах по границе. Читатель, предпочитающий пользоваться только доказанными фактами, может под допустимыми областямн и поверхностями понимать именно те, для которых в настоящем курсе была доказана теорема Остроградского — Гаусса. Определение 9. Непрерывно дифференцируемое в области 6 векторное поле а=а(х, у, г) называется соленоидалвным в мной области, если его поток через ориентированную границу любой допустимой области Р, зама ание Й которой лежит в 6: Р с:. 6, равен нулю: )) айз =О. (52.29) ао 10в Э ВХ Сколярные и векторные поля Граница дР допустимой области Р имеет две ориеитацри, порожденные соответственно внутренней и внешней нормалцми, Очевидно, если условие (52.29) выполняется при одной ориентации, то оио выполняется и при другой, так как соответствующие интегралы могут отличаться только знаком.
Поясним определение соленоидальиосги поля на примере. Пусть 6 †шаров кольцо: часть пространства, заключенная между двумя сферами 5, и 5я с об;цим центром О и радиусами г и )с, г ( )с, и пусть векторное поле а солгноидально в 6. Тогда его поток будет равен нулю, например, через любую сферу 5, лежащую в 6 г и ограничиваю.цую шар, также ле- жащий в 6 (рис. 213)л ( Однако поток векторного поля а ))Д ~( Ге чеРез сфеРУ 5, с центРом в точке О и радиусом р, г -р ( 1с, ие обязан быть / равным нулю, так как шар, ограниченлл ный этой сф рой, не содержится в области 6. Вместе с тем сумма потоков векРис.
213 торного поля а будет равна нулю через две сферы 5„, и 5р, с тем же центром и радиусами р, .и р„ г ( р,( р, ( )с, если одну из них ориентировать, выбрав нормаль, идущую к центру О, а другую в от центра. Действительно, указанные сферы ограничивают шаровое кольцо, целиком лежащее в области 6, а выбранная их ориентация является ориентацией границы, соответствующей внешней или внутренней нормали. Поэтому по определению соленоидальности поля его поток через рассматриваемую ориентированную границу будет равен нулю.
Теорема 5. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое в области 6 векторное поле было соленоидальным в ней, необходимо и достаточно, елобы его дивергенция равнялась нулю во всех точках области 6: д) ч а (М) = О, М ~ 6. Доказательство необходимости. Пусть а — соленоидальное в области 6 векторное поле и М,с= 6. Обозначим через О, открытый шар радиуса г ) О с центром в точке Мо, а через 5 гчг. ограничивающую его сферу. Поскольку все точки М еи 6, в том числе н точка М„являются внутренними для 6, то существует такое г,) О, что при г(г, все шары радиуса г вместе с ограничивающими их сферами 5, будут содержаться в 6. Заметим, теперь, что предел (52.1?), равный значению диверс генции векторного поля а в точке М„существует для произвольных допустимых областей Р, Р с: Рс 6, диаметры которых олХ Соленоидальные векторные оолл стремятся к нулю.
Поэтому он существует и при специальном в(лборе О=Я„, г(г;. ~~ада Йч а (Мв) =! 1ш — ' -о нч В силу определения соленоидальности поля, для всех г~гв имеет место равенство )) ап8=0, поэтому йча(Ме)=0. Доказательство достаточности. Пусть а †непрерывно дифференцируемое в области 6 векторное поле с дивергенцией, равной нулю во всех точках области 6. Если 0 — 'произвольная допустимая область, такая, что (лс=ллс=6, то в силу теоремы Остроградского — Гаусса )) аНЗ=))) б(чанг)уе(а=О, ао т. е. поле а соленоидально. П Типичным примером соленоидального поля является векторное поле, представляющее собой в некоторой области поле роторов дважды непрерывно дифференцируемого в этой области векторного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
