kudryavtsev2a (947416), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Если д5,, ..., д5„является ориентацией поверхности 5 = (5!), то совокупность противоположных ориентаций также является ориентацией поверхности 5, называемой противоположной данной. 2б2 б бО. Элеленты теории иоеерхноетея Можно показать, что если поверхность 5 ориентируема, то никаких других ориентаций, кроме двух указанных, у нее нет. Одна из этих двух ориентаций (произвольно какая) обычно называется положительной, а другая — отрицательной. Аналогично ранее рассмотренному в' п.
80.8 случаю ориентируемая поверхность, у которой фиксирована одна из ее ориентаций, называется ориентированной. При этом та из ориентированных поверхностей, ориентация которой названа положительной, обозначается через 5+, а противоположно ориентированная — через 5-. Край ориентированной склеенной поверхности 5 = (5л), как край всякой склеенной поверхности, состоит, согласно сказанному выше, из конечного числа замкнутых контуров.
Каждый из этих контуров в свою очередь представляет собой объединение конечного числа кривых, каждая из которых является частью одного из контуров д5ы а именно такой частью, что все ее точки, кроме быть может концевых, не склеиваются с точками других краев д5~. Поэтому заданная согласованная ориентация склеенной ориентируемой поверхности 5=(5;) порождает определенные ориентации (т. е. порядки точек) иа указанных кривых.
Можно показать, что эти ориентации, вместе взятые, составляют ориентации всех контуров, входящих в край д5 склеенной поверхности 5. Совокупность этих ориентаций контуров, составляющих край д5 поверхности 5, называется ориентацией этого края, порожденной заданной ориентацией поверхности 5, или, что то же, согласованной с ней.
Обратим внимание на то, что в определении 24 ориентации поверхности не предполагалось даже дифференцируемости скленваемых поверхностей 5„..., 5ти Если поверхность 5 склеена из гладких поверхностей 5„..., 5, то для задания ее ориентации можно задать на каждой поверхности 5„..., 5 непрерывные единичные нормали таким образом, чтобы согласованные с ними ориентации д5е краев поверхностей 5; были согласованы между собой в смысле определения 24, т. е. являлись ориентацией поверхности 5 (см. рис. 207). Лля того, чтобы при таком задании ориентации узнать, совпадают или нет две ориентации, достаточно проверить это лишь в одной произвольной точке: если в ней нормали совпадают, то они совпадают и всюду, а если они в этой точке не совпадают, т. е. противоположны, то они н всюду противоположны, поскольку, как выше отмечалось, существуют только две ориентации заданной поверхности.
Однако в случае кусочно-гладкой поверхности уже нельзя ввести понятие положительной ориентации, -используя заданные представления склеиваемых гладких поверхностей и беря на них единичные нормали по формуле (80.28), так как эти ориентации могут оказаться несогласованными. Поэтому в случае кусочно- гладких поверхностей следует всегда конкретно оговаривать, что ЬО.П. Второй подход к понятию ориентации поверхности 2ЬЗ именно подразумевается в данном случае под ориентированными поверхностями Яв и 5- заданной поверхности л. Можно показать, что всякая кусочно. гладкая поверхность, являющаяся границей некоторой области трехмерного пространства, ориентируема.
При этом одна из ориентаций состоит из единичных нормалей, направленных от поверхности в область — так называемые еиутренние нормали, а другая состоит из единичных нормалей, направленных от поверхности наружу от области — так называемые внешние нормали. Примером такой поверхности является сфера. В качестве ее ориентации можно взять, например, единичные нормали, направленные по радиусу от точки сферы к центру (рис. 208).
Примером неориентнруемой поверхности Рнс. 2оу (в смысле определения 24) является лист Мебиуса. Иногда ориентнруемые кусочно-гладкие поверхности называют также двусторонними поверхностями: они имеют две «стороныь, соответствующие двум выборам единичных нормалей, задающим две ее ориентации. Соответственно неориентнруемые поверхности называются односторонними. Оп рандаиие этого термина было пояснено в п. 50.10 на примере листа Мебиуса, Мы не будем останавливаться на матема- Рнс.йвв.
тизации всех описанных наглядных соображений и доказательстве высказанных утверждений. Это потребовало бы методов, изучение которых выходит за рамки настоящего курса. Упомянутые выше без доказательства общие утверждения по существу ие используются в дальнейшем изложении. В каждом же коннретном случае, о котором будет идти речь, можно будет всегда непосредственно указать, какая именно ориентация рассматривается в данном случае. Упражнения. 17. Доказать, что прямой круговой цилиндр является кусочно. гладкой поверхностью без края.
1З. Пусть заданы вектор т н кривая т=(р(и), а=си~Ь). Цилиндрической поверхностью В с образующей т н нзправляющей, пзраллельной вектору т, называется поверхность, заданная представлением вида еы г=г(и, о) = р(и)+иг, а.=и(Ь, с(о(А Доказать, что естн кривая у — кусо шо-глздкзп, то н поверхность 3 кусочно-гладкая. э В!. Поверхностные интегралы а 51. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В этом и следующих параграфах будут рассматриваться только поверхности, задаваемые параметрическими представлениями, и притом только гладкие (см.
определение 16 в Э 50) и кусочно- гладкие (см. определение 23 в Э 50). ЗЕ1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Пусть задана гладкая поверхность Я, причем Р=п(и, о)= =«х=х(и, о), у=у(и, о), г=г(и, о); (и, о) ен.()) (51.1) — ее представление, точнее„непрерывно дифференцируемое представление без особых точек, лл — квадрируемая плоская область н, как обычно, Е, 0 и г" — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности Я. Пусть, далее, на множестве точек т(и, о) поверхности Я задана функция Ф, т.
е. функция Ф(т(и, о)) = =Ф(х(и, о), у(и, о), г(и, о)), Иногда функцию Ф будем обозначать также через Ф(х, у, г) (ср. п. 47.1). Определение 1. Интеграл ~)Ф(х, у, г)с(Я определяется равенством (см. (50.24)) )~Ф(х, у, г)по=в =$)Ф(х(и, о), у(и, о), г(и, о))Ь~ЕΠ— тес(иг!о. (51.2) о Он называется поверхностным интегралом первого рода. При определенных ограничениях, налагаемых на функцию Ф, интеграл (51.2) существует.
Так, например, он существует для всякой ' непрерывной на гладкой поверхности 5 = «т (и, о), (и, о) ~ ~ХЦ функции Ф, т. е. для непрерывной на замкнутой квадрируемой области й функции Ф(т(и, о)). В самом деле, в этом случае согласно определению 1 интеграл ~ ) Ф (х, у, г) г(Я сводится к интегралу от непрерывной на 0 функции, который, как известно (см. п. 44.4), существует.
Более общие условия существования поверхностного интеграла первого рода могут быть получены из соответствующих условий существования кратных интегралов (см. п. 44 4), примененных к интегралу, стоящему в правой части равенства (51.2). Пусть для простоты функция Ф непрерывна на гладкой поверхности Я и пусть р=р(и„о,) =(~р'(им ог), ф(иь от), т(иь о,))— 'другое представление этой поверхности, которое задано на замы- ддп Онределение и свойства новерхностнмх интегралов канин П> квадрнруемой области О, н для которого преобразование (50.14) параметров и, о в и„о, взаимно однозначно и непрерывно дифференпнруемо на 1) и имеет на Й не равный ну>ио якобиан.
Если Е„Р, и 6> суть коэффициенты первой квадратячной формы, соответствующие этому представлению, то )(в> >. »> > *> >>>тес — е«л л = О ='))Ф(тр(и>, о>), ф(и>, о>), )((и„о>)))'Е>б> — Р>с(и>сЬ>. (51.3) о1 Чтобы в этом убедиться, достаточно в интеграле, стоящем в правой части этого равенства, выполнить замену переменных (50.14) и воспользоваться формулой (50.19).
Таким образом, поверхностный интеграл первого рода не зависит от выбора представления поверхности. Поверхностные интегралы первого рода встречаются в различных вопросах математики и ее приложений. Например, площадь поверхности (см. п. 50.7) выражается с помощью поверхностного интеграла первого рода: если функция Ф(х, у, г) тождественно равна единице на поверхности 5, то формула (51.2) превращается в формулу для площади )й» поверхности 5 (см.
(50.23)): )>Я = ~ ') у' Еб — Р' ((и >(о = ~ ~ >(Я. Если Ф(х, у, г) — плотность некоторой массы, распределенной по поверхности 5, то интеграл (51.2) дает величину массы всей поверхности. Пусть теперь г, / и Ф вЂ” как обычно, единичные координатные векторы, >с и = ГнХ Гв= ха Ув гн = ' С+ — ',те+ ' Ф (51,4) д (у, г) . д (т, х) д (х, у) д (и, о) д (и, о) д (и, о) х, у„ г, и т=г»Яп~, (51.5) причем, согласно нап>им предположениям, нормаль т непрерывно продолжаема на границу области О. Поверхность Е, на которой выбрана единичная нормаль т, обозначим через Я+, а ту же поверхность, на которой выбрана нормаль — т, — через Я- (очевндно, ч и — т суть две ориентации поверхности 5). Подчеркнем, что 5« и 5- определяются самой поверхностью «с точностью до ориентации» и зависят от выбора представления поверхности.
Определение 2. 17оверхностные интегралы $)Ф(х, у, г)с(х>>у и $)П>(х, у, г)с(х>(у, (5)гб) з+ З э" $/. Поверхностные интегралы называемые поверхностными интегралами второго рода (при заданном представлении поверхности), определятотся согласно чтормулам ) ~ Ф(», у, г)е(»е(у= ~ ~ Ф(», у, «)соз (», й) т(Ят (51.7) $ $ Ф(х, у, г) т(хс(у= ~ ~Ф (х, у, г) сов( — т, й)е(Я, где (т, й) и ( — т, й) — углью между векторами т, й и, соответственно, между — т, й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
