kudryavtsev2a (947416), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

М (и,, вд дг ди з з — (из, оз) определяется равенством дг(из "з) дг(и, оз) ( ди ди (и= ич 240 В бй Элементы теорем поверхностей теми же символами, что и продолжаемые*|, то можно считать, что функции г„и гт непрерывны на замкнутой области П. Подобным образом можно определить и другие классы параметрически заданных поверхностей, например дважды непрерывно дифференцируемые или вообще и раз непрерывно дифференцируемые параметрически заданные поверхности, а также понятие их точки, носителя н нх части. Резюмируя, окончательно можно сказать, что параметрически заданной поверхностью какого-то класса является некоторая совокупность эквивалентных между собой в определенном смысле отображений г(и, с), (и, о) яП, называемых ее представлениями.

Понятие эквивалентности определяется в зависимости от выбора класса. Определение 11. Лреобразования параметров, осуи4ествляюи1ие переход от одного представления поверхноспти к другому, ему эквивалентпному, нажваюттюя допустимыми. Таким образом, если г(и, с), (и, о) енхт и р(и„о,), (и„о,) ез ~)л,— два представления одной и той же параметрически заданной поверхности некоторого класса, а отображение и,=<р(и, о), от=ф(и, о) замкнутой области Е) на замкнутую область Пт является допустимым преобразованием параметров, то для всех точек (и, о) ~ В выполняется соотношение (см.

(Е0.1)) г (и, о) = р (~р (и, о), тр (и, о)). Параметрически заданная поверхность при заданном классе допустимых преобразований параметров однозначно определяется каждым своим представлением, поэтому, чтобы задать такую поверхность, достаточно задать лишь одно ее представление. 50.3. ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННЫЕ НЕЯВНО Отметим еще один подход к понятию поверхности.

Если Р(х, у, г) — непрерывная в некоторой трехмерной области функция, то совокупность точек (х, у, г) таких, что Р (х, у, г) = О, (50.6) называется поверхностью, заданной неявна. Не останавливаясь подробно на анализе такого подхода к понятию поверхности, отметим лишь„что в случае если функция Р удовлетворяет в неко- ° > Точнее, это соглашение было принято (см. п. 393) для скалярных фуакций и, следовательно, для координат векторных функций, поэтому его естественно принять и для самих векторных функций. 50.4, Касательная плоскость а нормаль к поверхности л4! торой точке (х„у„гь) условиям теоремы о неявных функциях (см.

п. 41.1), то часть поверхности (50.6) в некоторой окрестности указанной точки (т. с. пересечение этой окрестности с данной поверхностью) допускает явное представление, и можно сказать, что в этой ситуации поверхность, заданная неявно, локально сводится к поверхности, заданной явным представлением (см. п.

50.1). Только такой случай поверхностей, заданных неявно, встретится в дальнейшем, поэтому не будем специально останавливаться на разъяснении тех нли иных понятий для поверхностей, заданных неявно. В качестве простейшего примера поверхности, заданной неявно, отметим уравнение х'+ ь»+г'=1. Точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, образуют поверхность шара единичного радиуса с центром в начале координат. В дальнейшем будут изучаться в основном лишь непрерывные поверхности, заданные параметрическим представлением и, вообще говоря, с кратными точками. Они будут называться, как это уже отмечалось, просто «поверхностями»; в случаях, когда понятие поверхности будет пониматься в каком-либо другом смысле, это будет специально оговариваться.

50.4. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ Пусть 5=(г(и, о); (и, о) ееП) (50.7) — непрерывно дифференцируемая поверхность. Рассмотрим некоторое ее векторное представление г = г(и, о), (и, п) ее )л. Как н всякое ее векторное представление, оно является непрерывно дифференцнруемой вектор-функцией на замкнутой плоской области О. Будем для простоты считать, что пересечение каждой прямой и=-и, или о=о, с замкнутой областью .0 состоит из одного отрезка (быть может, вырождающегося в точку) илп пусто. Пусть, например, пересечение 11 с прямой о=о, не пусто, тогда г=г(и, оь) (и, оь) ееУ) (о, фиксировано) является представлением некоторой непрерывно дифференцируемой кривой, которая называется координатной линией (и-линией).

Вектор ог ги='д = (хи уи~ ги) является ее касательным вектором. Аналогично определяются другие координатные линии (о-линии) с помощью представления ГииГ(иь П) (иь ") Еиьл 242 Э БО. Элементы теории поверхностей (и, фиксировано) и касательные к ним векторы дг Го — — ~- —— (х„у„, ео). Определение 12.

Точка г(и, о) поверхности (50.7), для которой векторы г„и г, не коллинеарны (линейно независимы), называется неособой при данном представлении этой поверхности. В противном случае, т. е. когда векторы го и г, коллинеарны в данной точке, она называется особой точкой поверхности при данном ее представлении. Если точка поверхности неособая, то в ней, в частности г„чьО, г,~ О. Очевидно, что точка поверхности является неособой при данном представлении поверхности в том и только в том случае, когда в этой точке г„Хг, чь О. Упр аж пенне 1. Доказать, что если г(но, оо) является внутренней неособой при данном представлении г(н, о), (и, о) ~ы В, точкой поверхности Э, т. е.

для атой точки (но, оо) я (т и гохго чьо, то некоторая часть поверхности 3, для которой точка г(по, о„) также является внутренней, обладает явным представлением относительной од%ой из осей координат. Рассмотрим кривую на поверхности (50.7). Пусть эта кривая задана непрерывно дифференцируемыми функциями и=и(1), о= о((), (и(1), о(1)) вне, ан-((Ь, т. е. представлением г=г(и(~), о(1)], (и(1), о(1)) енх), а~1~Ь, причем и' (С)+о' (1) ьО на (а, Ь]. Продифференцировав равенство (50.8), получим йг= г„йи+ г„йп, (50.8) (50.9) здесь йи=и'(1) йг, до=о'(1) йг.

Если точка поверхности, в которой рассматривается равенство (50.9), не особая, то вектор йг является касательным к кривой (50.8). Равенство (50.9) показывает, что в данной точке г(ио, о,) поверхности (50.?) касательная к любой кривой (50.8) на этой поверхности, проходящей через точку г(и„о,), лежит в плоскости векторов г'„(ио, и,) и Го (ио "о). Определение 13.

Плоскость, проходящая через точку г(и„оо) поверхности (50.7), в которой лежат все касательные к кривым (50.8), проходящим через эту точку, называется касательной плоскостью к поверхности в данной точке (нажоваемой точкой касания). У яр аж пение 2. Доказать, что для любого вектора и, лежащего в наса- тельной плоскости к поверхности Я в неособой точке, существует проходящав через зту точку кривая на поверхности Э, для которой вектор и валяется касательным. о0.4.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности 243 Если данная точка поверхности (50.7) неособая, то в ней всегда существует, и притом единственная, касательная плоскость: именно в силу (50,9) ею является плоскость, проходящая через г(ио, о,) параллельно векторам г„(ио, оо) и г (ио, оо) Отсюда легко написать ее уравнение в векторном виде. Обозначив через г, радиус-вектор точки касания, а через г †текущ радиус-вектор точек на касательной плоскости, получим (рис. 201): (г — го) гиг,=О (в левой части равенства стоит смешанное произведение указанных векторов).

Если г=(х,у, г), г,=(хо,уо, г,), Рис. 20! ги= (хи~ Уи ги) Гь= (хь Ую гь) то уравнение касательной плоскости в координатном виде перепишется следующим образом: х — хо У вЂ” Уо г — го ги Хи Уи В случае явного задания поверхности г=~(х, у), (х, у) ~Ь, (50.10) будем иметь и=х, о=у и поэтому ги=7„, х„=1, х,=О, Уи= О~ У,=1, (50.11) х — хо У вЂ” Уо г — го 1 0 0 1 )в =О, откуда г — го — — (х — хо) ~~+ (у — уо) ~»* (50.12) где через 7„и 1» для краткости обозначены частные производные ~„(х, У) и 7»(х, У) в точке (хо, Уо).

Из этой формулы следует, что два определения касательной плоскости для поверхности с явным представлением (50.10), данные в настоящем пункте и ранее в п. 20.5, эквивалентны. В самом следовательно, уравнение касательной плоскости в этом случае будет иметь вид Э ВО. Элементы теории поверхностей деле, оба определения приводят к одному и тому же уравнению (50.12). Определение 14. Прямил, проходящая через точку касания поверхности с касательной плоскостью и перпендикулярная этой плоскости, называется нормальной прямой к поверхности в указанной пючке.

Ее уравнение в общем случае в неособой точке поверхности имеет вид х — х, у — у„ г † В случае явного представления (50.10) эти уравнения принимают вид — = — (г — го). Ь (е (50.13) Определение 15. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный нор ° мальной прямой, проходящей терла данную точку поверхности, называется нормалью к этой поверхности в указанной точке.

Примером нормали в неособой точке поверхности является векторное произведение вычисленное в рассматриваемой точке. Согласно данному определению, в каждой неособой (при заданном представлении) точке т(и, о) рассматриваемой поверхности при фиксированных значениях параметров и н о существует, и притом единственная, нормальная прямая. Следует иметь в виду, что если точка Р пространства является кратной точкой поверхности, т.

е. существует по крайней мере две пары параметров (при заданном представлении) (и„ о,) и (и„ оо) таких, что Р = =т(и„ о,) = т(ио, о,), то может, конечно, случиться, что этим парам параметров будут соответствовать различные нормальные прямые, тем самым в указанной точке Р нормальная прямая будет не единственна. Для поверхности, заданной неявно уравнением Р (х, у, г) = О, где Р (х, у, г) — непрерывно дифференцируемая в окрестности точки (х„У„го) фУнкциЯ, Р(х„У„г,) =О, и в этой точке Ро+Р„"+ +Р,')О, уравнение касательной плоскости в точке (х„у„го) имеет вид (х ко)Рт+(у уо)ре+(г го)Во=0 где Ро, Р„и Г, обозначают значения соответствующих частных производйых, взятых в точке (х„у„г,). 50.4.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности 245 Вспомнив, что вектор с координатами Р„, Ре, Р„ т. е. вектор 7Р =(Р, Рьь Р,) называется градиентом фуикт(йи Р (см. п. 20.5), видим, что градиент функции в данной точке поверхности Р(х, у, г) = = — 0 перпендикулярен касательной плоскости в этой точке, т. е. коллинеарен нормальной прямой. Поэтому уравнение нормальной прямой к поверхности имеет внд х — х, у † г — г, их=<р(и, о), ох=ф(и, о) (50.14) замкнутой области гл на замкнутую область Л„что для вссх точек (и, о) ен П справедливо равенство г(и, о) =р(~р(и, о), ф(и, о)). (50.15) Все эти формулы сразу следуют из (50.12) и (50.13).

Характеристики

Список файлов книги