kudryavtsev2a (947416), страница 42
Текст из файла (страница 42)
тт Сложив эти равенства и опустив для краткости подыитегральные выражения, получим (рис. 197): о=~+~=~+~+) +)+~+~+ (+~= =1+1-~ — ~ =~-~. 7"+ 7'+ 7"+ Г т 47.8. Условия независимости криволинейного интеграла 217 Отсюда в силу (47.42) и следует (47.43). Более того, это равенство выполняется и в случае, если контур 7, обходя «один раз» вокруг начала координат, образует конечное число «петелы, не охватывающих начало координат (рис. 198), ибо интеграл по этим петлям равен нулю. Рис. !97 Рис. 198 Если М,— фиксированная точка рассматриваемой области 6, М,енО„М енсе, МаМ вЂ” какая-либо кривая, соединяющая в 6 точки М, и М, то и(М)= ~ Рс)х+Яс(у будет уже многозначной функцией, значения которой определяются выбором различных путей, соединяющих точки Мв и М. Если ув — какая-либо фиксированная кривая, соединяющая М» и М, то все значения функции и в точке М задаются формулой и(М)= ~Рдх+Яс(у+2пп, п=О, -+ 1, + 2, ...
тв — каждый обход вокруг начала координат изменяет значение функции и(М) на величину +'2п в зависимости от направления обхода. В данном случае в этом легко убедиться и непосредственно: из формулы (47.41) следует, что ~ Рдх+Яс(у=~ ",'+, "=(Агс1д-~), где ~Агой Ж вЂ” некоторое фиксированное значение Агс1я — "; х!в Х поэтому и (М) = Агс1д » «. Вдумчивый читатель заметил, что многие рассуждения, проведенные в этом примере, не зависят от конкретного вида функций Р и Я и являются справедливыми всегда, когда мы имеем З 48. Несобственные кратные пнтеералы дело с одной изолированной «особой точкой», т.
е. точкой, в которой нарушается условие (47.40). Конечно, при однократном «обходе»:такой особой точки будет т!олучаться не 2п, а, вооб!це говори, какое-то другое число. Результат, аналогичный теореме 4, имеет место и когда р пространственнаи кривая (см. п. 52.б). Уп р аж нанна 10.
Доказать формулу ~ ') о бис(хг(у== — ) ~ ( - — -+ — -~ дену+ ~ а — г(з, с с' т' где 0 — плоская обласгь, для которой справедлива формула Грина, т — огра. ничиваюшнй ее контур, т — единичная внешняя нормаль к контуру т, а а— оператор Лапласа (см. и. 4!.10). 1!. Вычислить интеграл ) 2 (х+ут) г(х+(4ху+созу) ау, где à — произволь г ная кусочно гладкая кривая, соединяющая точки (1, 0) н (4, т!). !2. Пусть à — нронзвотшный простой замкнутый кусочно-гладкий контур, ограничивающий область, содержашую начало координат. Вычислить интеграл е" 1(хаю у — усову) ах+(ясону+у мп у) с(ту) хе+ у' г при положительном направлении обкода контура Г. 2 48. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 48.1.
ОСНОВНЫЕ ОНРЕДЕЛЕНИЯ Как и ранее для однократных интегралов, введем понятие несобственного кратного интеграла, т. е. кратного интеграла от функций, которые либо неограничены, либо определены на неограниченной области. Определение кратного несобственного интеграла сформулируем в таком виде, что оно будет охватывать оба указанных случая (ср.
с п. 33.1). Определение 1. Пусть 6 — открытое множество (ограниченное или неограниченное) в и-л!ерном пространстве лс". Последовательность открытых множеств 6ю я=1, 2, ..., будем называть последовательностью, монотонно исчерпывагощей открытое множество 6, если: 1) 6»с:6»ьь 4=1, 2, ...; 2) О 6„=6. Здесь 6, как всегда, означает замыкание (см.
и. 18.2) мнонгества 6. Определение 2. Пусть на открытом множестве 6 задана функция ( (ограниченная или неограниченная), интегрируемая по Рамону на любом измерил!сл! по Жордану открытом множестве О, 4ЕН, Основные алределекия к!9 ~~" ° ~ 4 (х»ю хео ° ° ° ~ хл) дх» с(хе йхл.
о Таким образом, ) г' й6 = 1пп ) ] 86». (48.1) Если интеграл ))'86 существует, то говорят также, что он сходится, а в пропшвном случае — что он расходится. Следует заметить, что в случае и = 1 данное определение несобственного интеграла не эквивалентно определению несобственного интеграла от функции одного переменного, данного в $ ЭЗ. Это связано с тем, что. в указанном параграфе мы в качестве множеств 6» брали лишь интервалы, т. е. одномерные открытые измеримые множества весьма специального вида. Поэтому введенное в настоящем параграфе понятие несобственного интеграла (48.1) будем применять только в случае п =- 2, сохранив для случая а=1 прежнее понятие несобственного интеграла. Если открытое множество 6 измеримо по Жордаиу и функция ~ интегрируема на 6, то несобственный интеграл от функции )' совпадает с обычным интегралом Римана, — это следует из полной аддитивности интеграла Римана (см.
п. 44.8). Определение (48-.1) позволяет перенести на несобственные интегралы ряд свойств собственных интегралов: аддитивность интеграла по множествам, линейность интеграла, интегрирование неравенств, сведение кратного интеграла к повторному, формулу замены переменного н др. Например, если х = г (и) — непрерывно дифференцируемое взаимно однозначное отображение открытого множества Р ~)к„" на открытое множество 6 ~)с, "и якобиан Х(и) этого отображения нигде не обращается в ноль на Р, то для любой непрерывной на 6 функции ) справедлива формула замены переменного в интеграле: еуг (х) й6 =- ~ ] (г (и)] ! У (и) ~ ЙР. таком, что Р с: 6.
Функиия Г яазывается интегрируемой в несобственном смысле на открытом множестве 6, если для любой последовательности открытых измеримых множеств 6ю й=-1, 2, ..., монотонно исчерпывающей множество 6, существует предел 11ш ~~с(6», не зависящий от выбора указанной последовательности 6м й=1, 2, ..., Этот предел называется несобственным интегралом от функ»(ии Г по открытому множеству 6 и обозначается через ])е(6, или более подробно, р 48. Несобственные кратные интегралы 220 Доказать это можно точно так же, как доказана теорема 2' в п. 48.2; следует только вместо полной аддитивности интеграла использовать определение (48.1). Используя аддитнвность несобственного кратного интеграла, определение (48.1) можно переписать в другом эквивалентном виде. Замечая, что для измеримого открытого множества Г ~ б справедливо равенство ~~йб — ~~йГ.= й(6,Г~, (48.2) можно сказать, что интеграл ~ ) йб сходится тогда и только тогда, когда для любой последовательности измеримых открытых множеств бю й = 1, 2, ..., монотонно исчерпывающей множество б, существуют интегралы ))й(б,,ба) и 1пп ~ ~й(6~, ба) =О.
Уп р аж пение 1. Доказать формулу (48.2); в частности, показать, что интегралы 1(вп н ))б(О'~Г) одновременно сходятся или расходятся. 48.2, НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИ((АТЕЛЬНЫХ ФУНК((ИЙ Теорема 1. 1Туспгь функция Г неотрицательна на открытом множесгпве 6 с: Я". Тогда, какова бы ни была последовагпельность (ба) открытых измеримых ло Жордану множеств бю монотонно исчерпывающих множество 6, предел 1пп )г(х) йб, а са конечный или равный +со, всегда существует. Если он конечен, то интеграл ~~(х) йб существует, и, следовательно, предел (48.3) равен этому интегралу, если же предел (48.3) бесконечен, то интеграл 11(х) йб не существует.
В последнем случае пишут ~г(х) йб =+оо. Это оправдывается тем, что в силу сформулированной теоремы для любой другой последовательности (0а) открытых измеримых множеств Од, монотонно исчерпывающих множеств 6, имеем 1пп ~ Г(х) йОа = +оо. Доказательство. Очевидно, что теорема будет доказана, если показать, что в предположении иеотрицательности функции Г' на открытом множестве б для любой монотонно исчерпывающей область б последовательности измеримых множеств бм я =1, 2, ... существует конечный или бесконечный предел 1!щ ~)йба и этот предел не зависит от выбора указанной последовательности.
48.2. Несобственные иктегравм от кеотрояательньм фвргицилг 221 Пусть 6», 1=1, 2, ..., — последовательность измеримых множеств, ионотоино исчерпывающая открытое множество 6. Тогда, согласно определеншо такой последовательности, 6» с 6»„„а так как )~0, то ))" с(б»~'1) с(б»,,„й=1, 2, ... и, следовательно, всегда существует конечный или бесконечный предел !пп ))с(6»=Ты Пусть теперь О», 1=1, 2, ...,— какая-либо другая последовательность измеримых множеств, монотонно исчерпывающая открытое множество 6. В силу доказанного выше существует конечный или бесконечный предел 1)гп ~) с(0» =1». ° » г»' Покажем, что (48.4) Зля любого фиксированного элемента 6» первой последователь.
ности существует номер кв=)ге(А) такой, что б»сР»,. (48. 5) В самом деле, если бы указанного номера Йв не нашлось, то для любого натурального тп = 1, 2, ..., существовала бы точка х<"'> ен я б»'~0 . Открытое множество бм будучи измеримым по Жордану, является ограниченным, поэтому его замыкание б» представляет собой замкнутое ограниченное множество, т.
е. компакт. В силу его ограниченности последовательность (х~ т) также ограничена и, следовательно, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса (см. п. 18.1, теорему 2), из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (х( )). Если хна= 11ш х( ), то из замкнутости множества б» вытекает, что х'о> ен 6» и потому х,яб. Но тогда в силу свойства 2 монотонно исчерпывающих последовательностей (см. определение 1) найдется номер ш, такой, что Внь ~х"~.
Поскольку Р,— открытое множество, то оно является окрестностью точки хпл и, следовательно, содержит почти все точки сходящейся к хоа последовательности (х( т)1. Обозначим через тв какой-либо такой номер, что лг„==то и х( ") ~0,, Тогда в силу свойства 1 монотонно исчерпывающих последовательностей х("')ен О„,„ по поскольку х( ') ~ б», то это противоречит выбору последовательности (х'"1). Тем самым существование указанного выше (см, (48.5)) номера Ав доказано (впрочем„ его существование следует также непосредственно из леммы Гейне — Бореля, см.
п. 18.3, так как система (Р») образует открытое покрытие компакта 6»). у И. Несобственные кратные интегралы Теперь заметим, что в силу условия ~~0 из включения (48.5) вытекает:, что ) 1 дО» - ~ ) дВ»ы Но, очевидно, ) 1 »10», ~ 1„поэтому при любом Й=1, 2, ... ~1К»==1, тн» е — т' ~» 1» = ~( ~( е 'г г(т »1»р = 1 т(тр ( е — "г дг = 2л — = л (1 — е-»*). 2 1в о» Отсюда, согласно определению (48.1), 1 = 1! гп 1» —— л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
