kudryavtsev2a (947416), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ег.!. Криволинейные интегралы первого рода Пусть теперь задана спрямляемая ориентированная кривая у, причем т (з) = [х(з), у(з), г (з); 0 (з ~ 5] — ее представление, где в качестве параметра взята переменная длина дуги з и пусть А=г(О) и В=т(5) — начальная и конечная точки этой кривой.
В этом случае будем писать у= АВ. Противоположно ориентированную кривую обозначим ВА. Определение 1. Пусть на точках т(з) кривой у задана некоторая функция Е. Тогда выражение ~ г (х, у, г) аз, определяемое лв по формуле ) Р(х, у, г) йз = $ Р (х (з), у (з), г (з)) аз, (47.1) АВ в называется криволинейным интегралом первого рода от функции Р тго кривой АВ.
Зтот интеграл обозначается также символами ~ у[т(з)]йз и )г'[т(з)]йз, или, короче, ~РНз. лв т т Таким образом, хотя определение криволинейного интеграла первого рода и связано с понятием кривой, т. е. с геометрическим образом, оно сводится к обычному интегралу по отрезку, и поэтому на криволинейный интеграл переносятся все свойства обычного интеграла. Отметим некоторые специфические свойства интеграла (47.1) 1'. ~ йз=5. лв Это очевидно. 2'. Если функция г непрерывна в точках кривой у как функция параметпра з, т. е.
если непрерывна функция г [г(з)], 0-=з -5, пю интеграл ~г йз сурцествует. В самом деле, согласно определению (47.1), интеграл )гйз сводится к интегралу ~ Е[х(з), у(з), г(з)]дз от непрерывной функ- в ции по отрезку, который, как известно, существует. 3'. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентпации кривой: ') Е(х, у, г) йз= ~ Р(х, у, г) йз. лв ВА Действительно, пусть М =г (з) — точка кривой АВ и з — длина дуги АМ. Если а= 5 — з, топ равняется длине дуги ВМ (рпс.
1%). б 47. Криволинейные интегралы Функция г=г(Я вЂ” а), О~а -5, является представлением кри- вой ВА, поэтому, выполнив в интеграле (47.1) замену перемен- ного я=Я вЂ” а и заметив, что йя= — аа, получим е) Р(х, у, г) дя=~Р[х(я), у(я), г(я)]дя= Ав о о = — ~ Р[х(5 — а), у(Я вЂ” а), г(Я вЂ” аДИа= = $ Р [х(5 — а), у (3 — а), г(Я вЂ” а)) да = $ Р (х, у, г) йа. Это свойство криволинейного интеграла первого рода связано с тем, что, согласно определению, длина дуги кривой считается положительной независимо от конца, от которого она отсчитывается.
гЮ Прежде чем перейти и следующему г(я)=рбг-б) свойству, заметим, что )Рая, кан и вся" г(о) кий интеграл, является пределом соответствующих интегральных сумм; специфика этого случая состоит лишь в том, что этн суммы можно описать в геометрических терминах, связанных с кривой 7, по которой ведется интегрирование. Сформулируем это более точно. 4'.
Пусть т=(яг)';='от — разбиение отрезка [О, о1, Ц ен [я; и яг1, аяг=яг — я; т — длина дуги кривой 7 от точки г(яе т) до точки ь г(яг), 1=1, 2, ..., (о, и ае= ~Ч~~Р[г($г))Ляь Тогда, если функция г=! Р[г (я)1 интегрируема по Риману на отрезке [О, Я, то 1пп а, = ~ Р еЬ.
о -о (47.2) Действительно, а„очевидно, является иитегральяой суммой Римана интеграла $ Р[с (я)1 еЬ, и поэтому формула (47,2) непосредственно следует из (47.1). Формула (47.1) очень удобна для изучения свойства интеграла РеЬ„однако она далеко пе всегда удобна для его вычисления, тан как нередко бывает очень сложно или даже практически невозможно найти представление данной кривой, где за параметр 191 47.2. Криволинейные интегралы второго рода взята переменная длина дуги.
Укажем поэтому формулу для интеграла ~ Р дв прн любом параметрическом представлении кривой Т. 5'. Пусть у †гладк кривая (см. определение 16 в п. 16.4), г (1)=(гр (1), тР (1), т (1); а =1~ Ь) — ее непрерывно ди44еренцируемое представление, н следовательно, зр'(1)+тР'(1)+11" (1))0, а~ :=:-1~Ь е'. Пусть 4ункция Р непрерывна на кривой у (в том смысле, что 4ункция Р[г (1)1 непрерывна на отрезке [а, Ь1).
Тогда ь ~Р(х, у, г) да= ~Р[чз(1),1Р(1),",~(1)1)т зр" (1)+з)з'а(1)+11'а(1) д(, (47 3) В самом деле, при сделанных предположениях кривая у спрямляема, и переменную длину дуги в=в(1) можно принять за параметр (см. следствие 2 из теоремы 2 в п. 16.5) и потому интеграл )Рдв имеет смысл. Выполнив замену переменного в=в(1) в прат вой части равенства (47.1) и вспомнив, что (см.
п. 16.5) ве,э,~ 1 — хг +уг +г[, получим формулу (47.3). Из (47.3) следует, что для данной кривой значение интеграла, стоящего в правой части равенства (47.3), не зависит от выбора параметра на кривой, ибо при любом выборе параметра этот интеграл равен интегралу, стоящему в левой части этого равенства. 47.ла. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА Ряд математических и прикладных задач приводит к криво- линейным интегралам другого типа. Например, если г = г (1) является радиус-вектором движущейся материальной точки, а Р= =Р(1) — сила, действующая на эту точку, то естественно опре- делить работу силы Р вдоль траектории Г рассматриваемой точки как интеграл ) Рй' или, если Р=(Р, 11, Р), а дг=(дх, ду, дг), в координатной записи как интеграл ~ Рдх+()ду+гсдг.
г Вспоминая, что (см. п. 16.5) — "- = сова, — в = соз 11, — = сов у, де ' де ' дя (47.5) *' Напомним, что ато условие означает отсутствие особых точек иа кри. аой (см. определение 1б в и. 1б.в). !92 у 47. Криволинейные интегрпли где г=(сова, созр, созт) — единичный касательный вектор, интеграл (47.4) можно представить формально в виде ~(р сова+Ясов[)+)усову) аз. Сформулируем теперь строгое определение интегралов вида (47.4). Пусть у = А — гладкая ориентированная кривая, т.
е. непрерывно дифференцируемая ориентированная кривая без особых точек. Тогда существует такое ее непрерывно дифференцируемое представление г(1) =,х=<р(1), у=фью, г=)(И); а==1=-=Ь), А =о(а), В =с(Ь), что леуле ~ р(х, у, г) йх= ~ г" (х, у, г) созайз. ла лв Ана югично, по определению, полагается '1 г" (х, у, г) ду=- 1 Р(х, у, г) сов [1 йз, лв лв Р(х, у, г)йг= ~ г (х, у, г) созуаз.
лв лв (47,6) (47.7) Интегралы вида (47.6) и (47.7) назьяаются криволинейныии интегралами второго рода от функции г" по кривой АВ. Естественность этих определений видна из формул (47.5). Отметим некоторые свойства криволинейных интегралов второго рода, ограничиваясь для краткости только случаем интеграла (47.6). 1'. Если функция г непрерывна на кривой у, т. е, непрерывна функция г [г(1)1, а 1-.=.Ь, пю интеграл (47.6) существует. действительно, при сделанных относительно кривой у предположениях функция г=г(з), (1 — параметр на кривой у, з — переменная длина дуги) непрерывно диффереицируема на отрезке [О, 5[, лх ле а поэтому функция соза= „-- — „непрерывна на этом отрезке и, ф" Я+ФгЯ+х" Я'= О, а--1-:= Ь.
Пусть з=з(Π— переменная длина дуги, 0 .з=5, 5 — длина всей кривой у, отсчитываемой от конца А, (созя, сов[), созу)— единичный касательный вектор к кривой, а = а (з), р =-.- р (з), у=у(з), О(з.=-.5, и пусть функция Р, как и в предыдущем пункте, определена на множестве [г(1), а =г==Ь) всех точек кривой 7. Определение 2. Интеграл ~ Р(х, у, г) йх определяетгся пофор- 47.2. Криволинейные интегралы второго рода 193 следовательно, в силу свойства 2' криволинейных интегралов первого рода (см.
п. 47.1) интеграл (47.6) существует. П В дальнейшем в этом пункте для простоты будем предполагать, что функция Р непрерывна на кривой у. В этом случае все написанные ниже интегралы заведомо существуют. 2'. Криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении ориентации кривой, т. е. ') Р (х, у, г) дх = — ) Р(х, у, г) дх. АВ Ья В самом деле, если а — угол, образованный положительным направлением касательной и кривой Рас. 189 АВ с осью Ох, а се' — угол, образованный положительным направлением касательной и кривой ВА с осью Ох, то для соответствующих точек будем иметь а' =а+ и (рис.
189), и, следовательно, созсг' = — сози. Использовав теперь свойство независимости криволинейного интеграла первого рода от ориентации кривой (см. п. 47,1), получим т) Р(х, у, г) дх= ~ Р(х, у, г) сова'дз= — ~ Р(х, у, г) сова йз= вя ВА = — ~ Р(х, у, г) сов айз= — ~ Р(х, у, г) йх. АВ Таким образом, это свойство криволинейного интеграла второго рода вытекает из того факта, что криволинейные интегралы ~ Р (х, у, г) дх и ~ Р (х, у, г) йх АВ ЙА равны соответствующим криволинейным интегралам первого рода, подынтегральные выражения которых отличаются толико знаком. ( ) 3 .
Если Р— непрерывная на кривой у функция, то для интеграла (47.6) справедлива формула ь ') Р(х, у, г)ах=')Р(тр(1), Ф(1), Х(1)1тр'(1)д(. (47.8) яв а Действительно, согласно определению (47,6), ') Р(х, у, г) йз=~ Р[х(з), у(з), г(з))сози(з) йз. АВ о у 47. Криволинейные интегралы Выполнив в интеграле, стоящем в правой части этого равен- ства, замену переменного в=з(1) и замечая„что (см. (47.5) созге йх х! = — = —,, получим е) $ г" (х(з), у(в), г(в)|созе!(з) Ь= е ь ь = ~ рИ((), Ф((), Х(()1-,,'- зЖ= ~ р(ф((), ф((), Х((НЧ'(() ( П О а де = ~Ч~ ~г" (г ($!)1 Лхи ь=-1 где Лхь=х(1!) — х((ь,), ьпогда 1пп д, = ~ г (х, у, г) е(х.
ь„- е (47.10) В самом деле, по формуле конечных приращений Лагранжа Лх;=ср'(тн) Л(!, где та ~ (Г! ь, Я Л(!=(! — (! „!=1, 2... се поэтому д, = гл г" (г ($!)1 ср' (е1;) М!. Отметим, что мы доказали также, что интеграл, стоящий в правой части этой формулы, не зависит от выбора параметра на кривой, сохраняющего ее ориентацию. В частном случае, когда за параметр ! можно взять переменную х, т.
е. когда кривая 7 обладает представлением у=у(х), г=г(х), а(х=Ь, и, следовательно, не имеет кратных точек, функция )о является однозначной функцией не только точек кривой, но и соответствующих точек пространства (в этом случае разным точкам кривой соответствуют разные точки пространства и наоборот). Формула (47.8) принимает в этом случае вид ь ~ Е (х, у, г) с1х =- ~ Р [х, у (х) е г (х)1 с(х. (47.9) 4. Интеграл ~ Р(х, у, г) йх является пределом соответствуюлв и1их инпьегральных сумм, описываемых в терминах, связанных с кривой 7, точнее: пусть т = (Ц';='; — разбиение отрезка 1а, Ь1,, б,— его мелкого!ь, ь!е-=((1-е, (!1 1=1 2 ° ° ° ~ ье~ и 47.3, Расширение пласса допустимых преобразований параметра 195 Положим и,= ~х~ г [г ($с))ср'($с) 61!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
