kudryavtsev2a (947416), страница 32
Текст из файла (страница 32)
п. 19.3 и 19.4) у(х, 1) непрерывна по совокупности переменных х, 1 на прямоугольнике Л = ((х, (): а ( х = Ь, О ~ 1 = 1), (ав д 45. Саедение кратного интеграла н поаторнону что и означает непрерывность функции Е(х), определенной формулой (45.2). [ ) Доказательство теоремы. Прежде всего заметим, что интеграл, стоящий в прагой части равенства (45.5), т. е. а ь $(х) ) г (х) ((х = ') ((х $ 1 (х, д)((д, ь а Ч(х) является интегралом от непрерывной функции (см.
лемму) и потому су(цествует. Разобьем теперь множество Е на части Ед, 1, ) =1, 2, ..., й, следующим образом. Рассмотрим разбиение та=(х!)',=:~а отрезка [а, Ь) на й равных отрезков: а = ха С х, (... С х„= Ь, ь и пусть фа (х) = ф (х), (р, (х) = (р (х) +-- [т)> (х) — (р (х)], ф) (х) = (р (х)+ йй[ф (х) — ф (х)1, Рас. 174 (ра (х) = =(р(х) + — [ф (х) — (р (х)1 = (р(х).
ПОЛО>КИМ Ет — — ((Х, д):Х! 1(Х(Х(, фтат(Х) ==д =(р, (Х)), И ПуСтЬ таа=(Ед,', 1, 1'=1, 2, ...„й. Очевидно, что ть является разбиением множества Е (рис. 174). Теперь имеем: ь Е(х) '! Ф (х) е)((х ) [(х, д)((д=,'5„' ) ((х ~ [(х, д)((д=* а Ф(х) 1=-1 х! Ч(х) ь *; ь а) (х! ((х ~ ', ') [(х, д) ((д (=! х,.
(=-1Ь (х) х. а (х) ((х ~ ) (х, д)((д. (45.9) 1=-1 (=1 х а (х) Положим и(т =1п11(х, д) и 54!) =зцр [(х, д), 1, т'=1, 2, ..., Ь. д Е)у вао.д Сведение вводного интеграла х аовторнолд Заметив, что к) рЕ„=- ~ [(р, (х) — (рт, (х)~ ((х, получим к! ч . (х) '1 е(х ~ )(х (к) д) ((д -- й1д ~ в(» ~ ((д=* х) т. (к) =Ми ~ [(рт (х) — (р) 1(х)1((х= М)11(Ед, Ч. (к1 х.
1-1 (45.10) х) и аналогично !нп з,. = 1пп Е,х — --~ ~[(х, д)((х((д. Х вх Х Н в» Переходя теперь к пределу в неравенстве (45.12) при )г-т оз, получим формулу (45.5). Д и нтиоввиев л. д. т. 2 чт го ~ ((х ~ [(х, д)((дтатд1(Ед. (1» 11) кт Чт „(к) С помощью неравенств (45.10) и (45.11) для повторного интеграла (45.9) получаем следующую оценку через нижние п верхние суммы Дарбу зхй и 5,,-.
функции ! (х, д): Ф и в Е(х) В,в=- У, 'У, 'Л)(11(Ед-=-)((Х ~ [(Х, д)((д 1=-11=1 а ч(х) Мр)(Е(1 =- Я,ве. (45.12) 1=11=1 Для мелкости Ь.в разбиения тн области 6 имеем 1пп б,е=-О. Ч~ нДействительно, как уже отмечалось, функции ч) и )1) в силу своей непрерывности ограничены на отрезке [а, Ь), т. е. существует такая постоянная М) О, что !(р(х))'=--М и ,'х))(х) ~ =. М для всех хан [а, Ь). Поэтому для диаметра (((Е(1) каждого множества Ед ен т)", имеем в силу определения функций (р; Х(ЕВ=-)тт( — ',')'+ - (Кв(З-Х(-,(')1- 1!х.,'11 -~ ( — '=')' ' [ ('.' )+"(".'- )+Т1 где (о(б, ф) и о) (б, (р) — модули непрерывностей функций (р и (р. Следовательно, б,в = (пах (((Е(1) == - рх(Ь вЂ” а)'+ 4М'- 0 при Ь-» 1 — +з ..
Поэтому, в силу пнтегрируемости функции !" (х, д) на Е (см. и. 44.4), 162 а 45, Сведение кратного интеграла к новторнонр Если множество Е таково, что существуют такие непрерывные функции а(у) н Р(у), а(у) --Р(у), с~у«=-е(, что Е=((х, у):с~(7~!(, а(у) .=х~~(у)), (45.13) а функцня 7'(х, у), как н раньше непрерывна на Е, то в силу равноправия переменных х н у, нз теоремы 1 следует, что е р !у! 1~7" (х, у)г(хе(у=~с(у ~ 7" (х, у)е(х.
!7 — — Т(х) (45.14) Если же для множества Е справедливо как равенство (45.1), так н (45.13) (рнс. т(х) ! !175), то прнравняя правые части равенств 1 (45.5) н (45.14), для непрерывной на множеу а стае Е функцнн 7'(х, у) получим формулу ь е(е! а р <е! Рис. 176 ~г(х ~ ~(х, у) е(у =~с(у $ ~(х, д) е1х, а Ф (е! е а <е! (45.15) выражающую собой правило перемены порядка интегрирования в повторных интегралах. Отметим, что условия, прн которых были доказаны формулы (45.5), (45.14) н (45,15), могут быть ослаблены. Рис. !76 Рис. 177 Пример. Вычислим ннтеграл от функции а=над по конечной области 6, ограниченной частью параболы у=х' н прямой д = 1 (рнс. 175).
Имеем ! ! ~~х'уе(хе(д= ( х'е(х (уе(у = в — ! гт !т рг ~! 4 хе е(х = — ( (1 — хе) хе Дх = . —. 21' -! — ! Если требуется вычислить двойной интеграл по множеству, которое нельзя задать в виде (45.!) нлн (45.13), то для того 163 45.2. Обобщение на и-мерный случай чтобы использовать полученные формулы, надо попытаться разбить данное множество на части, каждая из которых будет уже иметь, вид (45.1) или (45.13) (рис. 177).
Если это удастся сделать, то в силу аддитивности интеграла по множествам (см. и, 44.6) вычисление данного интеграла сведется к вычислению интегралов по указанным частям, а последние с помощью формул (45.5) и (45.14) могут быть сведены к однократным. У яр аж не н и я. Вычислить интегралы: Е=((х, у):хя — Ох — 5<0; у)1; Зх — у — 2)О, Е хя — у ) О). 2 ) ~хяуьйхйу, Е=Их, у):у)0; ху< 1; 22 — зху+2уя<0). 3. 1)хйхау, Е= — ((х, у):х<20; у<20; х — у+5)0, «у>01. Е 4. ~ ~ х)' 1+хуруду, Е=((х, у): ху< 1, х — 1 < — а1, х+1! 1 ! 11 — у 5. ~ '1 е' ахйу. 8. ~ '1 е '+~лйхау. о) о Ь 1!2 ! 1 1 5, ~ ) оа( +1)йхйу.
О. ) ) "Чзй йу. О 2'у О 1Г„- 1 1 о у. ~ '1 яп(хя — 1)бхйу. 10 1 1 15(хя+х)йхйу. Ь тгу Ь !у — 1!/2 Изменением порядка интегрирования упростить выражевия (фуняння непрерывна во всей области интегрирования): 1 у з 11. )ау ~ 7(х, у)йх+~ йх ) 7(х, У)йу, о 1 уа — Ф тл 4 1гх 12, ) с!х ) 7(х, у) йу+1ух ~ 1(х, у) йу. о 'о 11 д ! к' а !3 — л1Г2 13.
)ах'1 7(х, у)+) йх ~ 1(х У)йу о Ь ! Ь ь ь 14. Доказать формулу Дирихле ) йх)1(х, У) йу=) "У)1(х У) йх а и а у 45.2. ОБОБЩЕНИЕ НА п-МЕРНЫЙ СЛУЧАИ Рассмотрим сначала трехмерный случай. Пусть Е с: гса и функция )(х, д, г) определена на Е. Обозначим через Е проекцию множества Е на координатную плоскость переменных х и д >64 а 46, Сведение краткого интеграва к повторному (рис.
178)". Е»„= ((х, у, О)> существует такое г, что (х, у, г) ~ Е>(. Если множество Е имеет вид Е=>(х, у, г):(х, у) ееЕ „, (р,(х, у):-г-=()»(х, у)), где функции (р,(х, д) и ()>((х, у) непрерывны на множестве Ем, которое в свою очередь представимо, например в виде (45.1), а функция >(х, у, г) непрерывна на исходном множестве Е, то справедлива Р((;у) формула, аналогичная формуле (45.5), ~ ~ ~) (х, д, г)((х((у((г = ь э (») ч,(», е) =~((х ~ ((у $ ~(х, у, г)((г. (45.16) )( (;р))( и Ч(») ч ( то Объединив в правой части два внешних интеграла, можно переписать (45.!6) в виде ) ~)) (х, у, г)((х((уе(г= Е Рис. >78 ч,(», е) = $ )((хе(у $ 7'(х, у, г) ((г.
(45.17) Е» <Рт(» е) Обозначим, теперь, через Е(х) сечения множества Е плоско- стями, перпендикулярными координатной оси Ох, Е (хо) = Е П ((х, у, г): х = хо). Объединив в правой части формулы (45.16) два внутренних инте- грала, получим: ь ~~)>'(х, д, г)г(х((у((г =)((х ~ ~ 7(х, у, г)((у((г. (45.18) Е и Е(1> Таким образом, формулы (45.17) и (45.18) показывают, что в трехмерном случае существует два способа сведения трехмерного интеграла к повторному, содержащему интегралы меньщей кратности.
В частном случае, когда 7(х, у, г) = 1, имеем (см. свойство 1' кратных интегралов в п. 44.6) ) ') $ ((х((де(г = »Е, (РŠ— объем множества Е), )) ((у((г=рЕ(х), (РЕ(() площадь сечения Е(х)). Е (е) Таким образом ь 1>Е =- ~ )(Е (х) ((х. а (45.19) 45 2, Обоб1яенне ла и-мерный н»днлй — объем тела равен интегралу от переменной площади сечений Е(х). П р и ме р. Найдем объем эллиптического цилиндра высоты 6, в основании которого лежит эллипс с полуосями а и Ь. Взяв за координатную плоскость ху плоскость одного нз оснований цилиндра, а за ось г— г его ось симметрии, перпендикулярную основаниям (рис. 179), получим согласно фора муле (45.19) )1Е = ~ рЕ (г) Лг. Но Е (г) эллипс о ! с полуосями а и Ь, а поэтому (см.
пример 4 ! в п. 32.1) рЕ(г)=--паЬ, следовательно рЕ= л ! = лаЬ ~ Иг =. паЬЬ. й ь у й й Аналогично трехмерному. случаю кратные интегралы от функций любого числа переменных и)3 можно свести к повторным интегралам. Пусть Кл — и-мерное пространство, Ил-1 гипсрплоскость хл = О, Е с:. 1тл, Е,, проекция множества Е на гиперплоскость переменных х„..., х„„т. е. На Ял-1: Ел л =((х„..., хл „О): существует такое хл, что '1''' л-1 (х1, ..., хл 1, х,) е= Е). Пусть существуют такие непрерывные на Е,, функции 1р(х„..., хлч) и ф(х1, ..., х„1), что множество Е состоит пз точек х=(х„..., хл ь хл), для которых (х„..., х».1) я Е»,....,, гг(х„..., хл 1)=:х„(лр(х1, ..., хл,).
» р»л ~ "~~(х1, ", хл)бх1" г(хл= В ( 1' ' '' ' л-1) — г(х1... Их„1 ~ ~(х1, ..., х„1)дх„ е„' л т(»1,..., л»,1 1 ' ' ' "л-1 (45.20) Пусть множество Е..., измеримо в смысле (и — 1)-мерной меры Жордана и замкнуто. Тогда аналогично двумерному случаю (см. п. 45.1) доказывается, что Е также измеримо, но уже в смысле и-мерной меры, н замкнуто, а потому является компактом.
Если функция 1'(х) =--)(х„..., х„) непрерывна на компакте Е, то справедлива формула 1еб э" 4д. Сведение кратного интеграла к ловторнолу которая сводит интегрирование функции я переменных к последовательному интегрированию функции одной переменной и функции п — 1 переменных. Если проекция Ек .к множества Е на гиперплосность Я"-з в свою очередь может быть представлена в виде, аналогичном виду множества Е, то получившийся в правой части равенства (45.20) (а — 1)-кратный интеграл можно свести к (и — 2)-вратному. Продолжая этот процесс, если, конечно, это возможно, дальше, придем н формуле вида л раз ) ... ~ ) (х„..., х„) г(ха... е(х„= Ь зрз(«з) зр ( °,) Е ( °" „) = ~ е(х, ~ дхз ~ е(хз ..г ') )'(х„..
„х„) е)х„. о (кз) чз(к «0 — (' " ° «з-) (45.21) Таким образом, в рассматриваемом случае интегрирование функции от а переменных сводится к последовательному инте- грированию а раз функций одиои пере- 3 менной. Обозначим, теперь, через Ек ...к про. екцию множества Е в пространство Д"„',, „, «1 "' "зл' а через Е(х„..., х„) — сечение множества Е гиперплоскостями размерности ив — от, проходящими через точку (хм ..., х, О, ..., 0) и ортогональными подпростран/ ству Р„~, . Объединив вформуле(45.21) и первых и и — т последних интегрирова- 1 ний, получим л раз р„, )зо )...
~ ( (х„..., х,) г(хз... е)х„ зл раз л — т раз г(х,... г(х ~ ... ~ ~(х„..., х„)г(х ы...г(х„. (45.22) ка ° ° клз (к, ..., «щ) Если р(х„..., хл) =1 на Е, то из этой формулы аналогично (45.19) получаем рЕ= ~...~ рЕ(х„..., х„) г(хз... г(х . (45.23) Е «З ' ' ' «лз Пример. Вычислим интеграл от функции )(х, у, г)=хузгз по конечной области б, ограниченной поверхностями з = ху, у= — х, х=1 и а=О (рис.
180). Применив формулу (45.15), будем 453'. Обобщенное интегральное неравенство Минковского 167 иметь ~ ~~ хуяггс(хс(ус(г=~хдх ~угс(у ~ ггс(г = и о о о т к 1 1 Г 1' = — 1 х' с(х ~ у' с(у = — 1 х" ст'х = —, 1 г 1 4 1 ~ 28 .) 364' о У п р а ж н е н и я. Вычислить интегралы: 16. ~ '1 ~ г ихбус1г, Е=((х, у, г): хя+уг+ге.'-"1, хя+уг ~ге). 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
