kudryavtsev2a (947416), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Доказательство леммы. Пусть Я вЂ” и-мерный куб, 6— открытое множество пространства )сл и Я() 6 ~ 6>. Какова бы ни была точка х ~ 6 () 6, в силу открытости множества 6 существует такая ее окрестность У(х), что У(х) с6. (44. 64) Нетрудно убедиться, что во множестве У(х) всегда имеется внутренняя точка у куба Я. В самом деле, может случиться, что сама точка х является внутренней для куба 0 и тогда можно взять д=х.
Если же х — граничная точка куба Я, то она является граничной и для множества его внутренних точек. Поэтому ее окрестность (/(х) заведомо содержит внутреннюю точку д куба (> !39 44А. Сущеетвававае автегра (а (рис. 171). В силу определения внутренней точки (см. п. 18.2) существует такая ее окрестность )т (у), что )' (у) (г'. (44.55) В силу (44.54) и (44.55) справедливы включения и(х)ПУ(у)си(х) 6, и(х)П) (у) У(у)сВ У(х) П 1((у) с:(з П6.
поэтому (44.56) р. Н7 (х) П 1( (у)1 > О. В силу свойства монотонности нижней меры (см. лемму 1 в п. 44.1) из (44.56) имеем р. 1(у(х) П)т (уП» р. (((П6). Рис. 171 Из двух последних неравенств явствует, что р ЯП6))0. П Д о к аз а т е ль ство следствия. Пусть 6 — измеримое открытое в гса множество. Зафиксируем разбиение пространства ((((в на кубы некоторого ранга й. Множество кубов 6 этого ранга, имеющих непустое пересечение со множеством 6, является конеч- ным, ибо множество 6, в силу его измеримости, ограничено. Перенумеруем все указанные кубы: Я„(), ..., 1~;,. Множества Е;=ФП6М(О, (=1 2, ..., (а, измеримы и образуют разбиение т=(Е()1:(ч множества 6.
Действительно, с одной стороны Е;= ч =фП6с6, следовательно, () Е;с6, а с другой — каждая (= ! точка х~ 6, как и всякая точка пространства гга принадлежит хотя бы одному кубу Я ранга й: х~ЯП6. Тогда 9П6ят, ь т. е. при некотором ( 9=$, поэтому х(:— („((ПЕ=Е(с О Е(. (=- ! ( Таким образом, ( ) Е(= 6. (=! Далее, Е(ПЕ7 сЯ(П6(. Если пересечение 6(('((з( непусто, то оно представляет собой куб размерности, меньшей чем л, и, сле- довательно, является графиком непрерывной (даже линейной) функции на компакте. Поэтому его мера равна нулю: 1(6(Пф==О, откуда и рЕ! ПЕ, =О, (Фу. Наконец, согласно лемме 8 рЕ(= О.
Поскольку ус:-У(х) и уе- =1( (у), то пересечение 1('(х) П )т (у) не пусто, ибо содержит во всяком случае точку у. Далее, будучи пересечением двух открытых множеств, оно также является открытым и потому (см. п. 44.1) Д 140 Э 44. Кратные интегралы Очевидно, что существуют сколь угодно мелкие разбиения т указанного вида. Действительно, каково бы ни было 6 .О, достаточно взять такой ранг й, чтобы ) п)10ь(6 (с((0) = 10-" )г' тт — диаметр куба 0 ранга й) и тогда д(Ес)=с((Я()0)==ЛЯ)=-10-а3/ п(6, 1=-1, 2, ..., (а, и поэтому 6, (6. (" ) Теорема 7. Если Функция интегрируема на олжрытолг множестве, то они огоаннчвна. До к аз атель ство.
Пусть функция) интегрируема на открытом множестве О. Тогда, согласно определению интеграла, множество 6 измеримо по джордану, а на основании следствия из леммы 8, существуют сколь угодно мелкие его разбиения, все элементы которых имеют положительную меру. Очевидно, что в силу леммы 8 для разбиений, построенных при доказательстве следствия из указанной леммы, объединение всех их элементов положительной меры совпадает с самим множеством О. Если функпия 7" была бы неограниченной на 6, то, согласно следствию из леммы 7, она была бы неинтегрируемой. 3 а меча н не. Как видно из приведенного доказательства теоремы 7, открытость множества 0 потребовалась лишь для того, чтобы показать, что существуют его разбиения сколь угодно малой мелкости, все элементы которых имеют положительную меру. Тем самым для всех множеств, обладающих этим свойством, иитегрируемость на них функций влечет за собой их ограниченность.
Легко, например, можно убедиться в том, что замыкание Й любого измеримого открытого множества 6 также имеет сколь угодно мелкие разбиения, мера всех элементов которых положительна. Действительно, достаточно снова взять все кубы 0; ранга й, имеющие с 6 непустое пересечение. Тогда они будут и подавно иметь иепустое пересечение с замыканием 6 множества 6: 0гПО ОП 6 3. При этом, поскольку 5а(0) — замкнутое множество и 6 с: 5»(6), то 6 с:. 5а (О).
Следовательно, если положить Е =ФПО, где Ф ПО~ 9, то т=(Ег) образует покрытие замыкания ст множества О, ибо многогранник 5а(0) состоит только из указанных кубов Оь и по лемме 8 1сЕа =- р (Ог () 6) =--. р (Ог П 6) ) 0- У п Р аж н оп по 6. Построить пример функции, неограниченной и интегрируслюй на множсстао положительной меры.
Если функция г ограничена на измеримом множестве то, как и в одномерном случае, можно определить верхние и нижние суммы Дарбу. 4П4. Существование интеграла 141 в,= ~, 'т,рЕ» Я«=,У, МтрЕ! «=! «=! назьгваются соответственно нижними и верхними суммами Дарбу. Для сумм Дарбу и интегральных сумм Римана справедливы очевидные неравенства зт == от =- Ет.
Как и для функций одной переменной, для любых двух разбиений тл и та справедливо неравенство вт, Ет, Теорема 8. Для того чтобы ограниченная на изл!еримол! по ~Кордону множестве Е с:)««я функция )' была интегрируемой по Риману на атом множестве необходимо и достаточно, чтобы 1)т (Ят — вт) =О. ь -о (44,57) При выполнении зп!их условий 1)т Ят = Е !и з, = $ Ях) дЕ.
ь;о ь;о (44.58) а'словце (44,57) равносильно следующему 1(гп ~х~ со(1; Ед рЕе=О„ ь,-о! (44.59) где о»(1; Е;) — колебание функции 1 на множестве Е; е= т= (Е!). Доказательство этой теоремы проводится аналогично одномерному случаю и рекомендуется проделать читателю самостоятельно. У п р а »к и е и и с 7. Сформулировать определеиия предстоя (44.57) — (44.59) с помощью последовательиостеа и используя «е4-язык». Теорема 9. Если функция непрерывна на измеримом по Жордану компаклте, пю она интегрируема на нем.
До к аз а тельство. Пусть Š— измеримый компакт, Е с:Р', а ) — непрерывная на нем функция. Всякая функция, непрерывная на компакте, ограничена (см. п. 19.5) и равномерно непрерывна (см. п. 19.6) на нем. Поэтому и здесь доказательство Определение б. Пусть ) — функция, ограниченная на измери- мом по Жордану лсножестве Е, т = (Е!)1' — «* — разбиение множества Е, те= )п1 )'(х), М;= зцр ) (х), 1=1, 2, „,, т,. кеес «мв! Тогда суммы !4г Э 44. Кратные интеграл»! протекает аналогично одномерному случаю (см.
п. 27.5): легко получается оценка и ~ч'„и (); Е ) рЕ! ~ ы (б,; )) рЕ, где ы(б, )) — модуль непрерывности функции ). Из этой опенки срззу следует выполнение условия (44.59), а поэтому, согласно теореме 8, н интегрнруемость функции 7'. ( ) 44!.5*. ОБ ИНТИГРИРУИИОСТИ РЛЗРЫВ»НЫХ ФУНКЦИЙ Непрерывность функции не является необходимым условием ннтегрируемости: существуют и разрывные интегрируемые функции.
Достаточно широкий класс разрывных интегрируемых функций устанавливается следующей теоремой. Теорема 10. Если функ!»ия ограничена на измеримом по Жордану компакте и множество ее тачек разрыва имеет жординову л!вру ноль, то вта функ!(ия интегрируема по Рилиенв. Доказательство. Пусть функция 7 определена и ограничена на компакте, т, е. на ограниченном замкнутом множестве Е с:)с". В силу ограниченности функции 7" на Е существует такая постоянная М- О, что для всех хан Е выполняется неравенство )~(х) (~М. (44.60) Пусть Ее — множество точек разрыва функции ).
По условию теоремы рЕ,=О, а поэтому для любого фиксврованного а)0 существует такой ранг й, что рЯ»(Е»)( у,4,д ° (44.61) Это следует из того„ что в данном случае, согласно определению меры, Вш р5»(Е»)=0. Пусть многогранник 5»(Е») состоит из » +са кубов Я„ Я„ ..., Я!. Обозначим через Р; куб, получающийся из()4 преобразованием подобия с центром в центре куба »Ъ и коэффициентом подобия равным трем; тогда рРч=Зрф, 1=1, 2, ..., Е (44.62) Б Положим Р =- ( ) Ру.
В силу неравенств (44.61) н (44.62) имеем 1=! е Ю рР р Ц Р4~ '~ рР~ '~1' Злр() З»рЯ»(Е»)( —, ° (4463) е=! е=! г- 1 Отметим, что множество Р получается из 5»(Е») окаймлением последнего полосой кубов с ребрами длины 10-», поэтому всякое 44.б*. Об интегрирвемоети ригрмвнах финниий 143 множество А с диаметром с((А), меньшим чем 1О-», пересекающееся с множеством 5»(Е»), содержится в Р (рис. 172): с((А) (10-», А П 5» (Е») ~ ф =Ф А с: Р. (44.64) Обозначим теперь через ст множество внутренних точек многогранника 3» (Е,). Очевидно, б — открытое множество, а поскольку по условиям теоремы Е замкнуто, то множество Р = Е,,б также замкнуто, причем в силу ограниченности Е множество Р ограничено, поэтому Р— компакт.
Далее, множество Е, лежит внутри многогранника Е» (Е,), т. е. Е, с: 6 (как отмечалось выше, см. п. 44.1, это справедливо вообще для любого множества Е и вытекает из определения 1 ! Г ! 1 ! ! многогранника 3» (Е)). Отсюда явствует, что функция Г непрерывна на компакте Р, а поскольку, кроме того, множество Р измеримо, как разность двух измеримых множеств Е и О, то сог- ! 1 1 1 ласно теореме 9 функция г интегрируема Рис. 17» на Р. Поэтому для выбранного вьппе е->О существует такое 6-~0, что для любого разбиения тр множества Р мелкости б,р(6 выполняется неравенство в Ехр зср( в т (44.65) где Я„р и зср — верхние и нижние суммы Дарбу функции 1, соответствующие разбиению тр множества Р.
Пусть б,=-ппп (10-", 6) (44.66) т=- (Ет);:т' — какое-либо разбиение множества Е мелкости 6,(6». Очевидно, что тр="" (Е; ПР), где Е; ПР~ ф, является разбиением множества Р мелкости бхр(6,(6», и поэтому в силу (44.66), для тр выполняется неравенство (44.65). Положим М;= зпр 1(х), хе»Е. г Е,= ~ МрЕ;, М;= з р 1(х), хах. и р 8 ~ч- М!р (Е; ПР), вс Н Рв»Ф пт;= 1п1 7(х), х~вг з,= ~~', трЕп 1=З тп,' = 1п1 ) (х), хеаг Й р з„.= Х ш(р(Е;()Р) вг ПР4.Ф 4 44. Кратаые аагегралы 144 Если же Е;Пб~ь ф, то в силу (44.64) и (44.66) Е; с: Р и поэтому для этих индексов ( (см. еще (44.63)) рЕ;=р Ц Ее=-рР с. 4 .
(4468) В; П Се'-Ф аПс Ф Использовав очевидные неравенства ~пй ~ ~М, ) М;( ~ М, =1, 2, ..., (а, непосредственно вытекающие из (44.60), и применив неравенство (44.68), будем иметь (М; — пь) рЕ1 ~ 'Я [( М; (+ (тД)еЕ; =. ееис~Ф ' а,иааф = 2М ~~~~ рЕ; <-~-. (44.69) е;ПС~Ф Из (44.67) и (44,69) вытекает, что 8е — ат =,У„(Ме — пй) рЕе = 1=1 (М; — пй) РЕ;+ ~~) (Ме — те)РЕ; <--+ е-=е. е,исФФ ееП с= Ф Отсюда, согласно теореме 8, следует интегрируемость функции ) на множестве Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
