kudryavtsev2a (947416), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В силу включения дЕ ~ Яе(Е) существует по крайней мере один такой куб Ян ранга й, что х снег" и Ян с: Я„(Е). Е Если 1гн не содержится в з„(Е), то, очевидно, 14" с а,(Е), а следовательно, и х ен а,(Е). Если же 14н ~во(Е) (Рис. 165), то в силУ Рнс, 163 включений х я Ян н (ге с ве (Е) с Е имеем хон Е. Поэтому в этом случае все кубы ранга й, содержащие точку х, лежат в Е„(Е), ибо пересечение всякого такого куба' со множеством Е содержит точку х и, следовательно, не пусто. Все эти кубы не могут принадлежать множеству Š— в противном случае точка х была бы внутренней, а не граничной точкой множества Е.
Поэтому среди всех кубов ранга й, содержащих точку х, найдется по крайней мере один куб Я,", который не содержится в зе(Е), т, е. 1гн ~Ее(Е), но (гн(йзе(Е). Отсюда следует, что с~", ~ а„(Е), и поскольку хан 1гн, то и в этом случае х ен а„(Е).
Точка х была произвольной точкой границы дЕ, а поэтому включение (44.13) доказано, Второе включение (44,12), т. е. включение ае(Е) с-Ее(дЕ) доказывается проще и даже без предположения об ограниченнОсти множества Е. Всякий куб он ранга й, лежащий в а,(Е) имеет заведомо точки как из множества Е (ибо в силу определения множества а,(Е) всякий куб ранга й, содержащийся в этом множестве, содержится и в Ее(Е), а следовательно, пересекается с Е), так и точки, не принадлежащие Е (ибо согласно тому же определению никакой куб ранга й, целиком лежащий в Е, т.
е. принадлежащий к ве (Е), не содержится в ае (Е)). Поскольку куб Ялл линейно связное множество„то в нем заведомо имеются точки границы множества Е (см. лемму 9 в п. 18.2). Это и означает, что Яо ~ Ее(дЕ), а поскольку 14 был произвольным кубом ранга й, лежащим в а,(Е), то ае(Е) ~ Ее(дЕ). П ' (44.14) 120 й 44. гтратные интегралы Лак азательство теоремы. Необходимость. Пусть Š— измеримое множество. Тогда, как доказано выше, оио ограничено. Лалее, согласно определению измеримого множества нижняя и верхняя меры множества Е конечны и равны: р,Е = = р*Е, т.
е. (44. 15) !!гп рве(Е)= !!п1 рЕ,(Е). Поскольку, согласно определению множества ан (Е) и формуле (44.2) рае (Е) = рЕе (Е) — рз, (Е), (44.16) то из (44.15) следует, что Игп ран (Е) =- О. Это и означает измеримость по Жордану множества Е. П С помощью теоремы 1 легко показать, что при теоретико- множественных операциях объединения множеств, пересечения и вычитания их измеримость не нарушается.
Предварительно заметим, что для любых двух множеств Е, и Е„лежащих в прост-' ранстве Ян, справедливы иключения (рис. 166) д(Е ()Е ) с:дЕ ()дЕ ° д(Ет ПЕе) с: дЕт 1)дЕм д (Е, ~Ез) ~ дЕт 0 дЕе (44.2О) (44.21) (44'.22) В силу включения (44.! 3) и монотонности верхней меры (см. (44.?)) при любом й — О, 1, 2, ... справедливо неравенство р*дЕ =. р*ае(Е) =ран(Е).
Перейдя к пределу при й-ы+о=, в силу (44.1?) получим редЕ=О. Следовательно, множество дЕ измеримо по Жордану, и рдЕ=-О. Ласт а т о ч н ость. Пусть Š— ограниченное множество и рдЕ=О. Тогда, по определению меры 1пп р5„(дЕ) =О. (44.18) А +си В силу включения (44.14) и монотонности меры (см. свойство 2 меры) справедливо неравенство ра» (Е) ==:р5е (дЕ) и, следовательно, (см. (44.16)) неравенство рЯе (Е) — рзе (Е) ( рЯе (дЕ). (44.19) Поскольку множество Š— ограничено, то его нижняя мера р„Е и верхняя р*Е конечны и поэтому (см.
(44.4) и (44.5)) в неравенстве (44.19) можно перейти к пределу при й-ы+оо. В силу (44.18) получим р . Š— р Е = О, т. е. р еЕ == реЕ. 121 4!.!. Понятое ооьемо о и-я!ернон ороегрпнегве Докажем, например, включение (44.21). Пусть х ~ д(Е, ПЕ!). Тогда, прежде всего, х — Е, ПЕ, ибо из того, что хе-=д(Еь()Ея) следует, что в любой окрестности точки х имеются точки, одновременно принадлежащие к Е, и к Е„т. е. х является точкой прикосновения как множества Е,, так и Е,. Если хендЕ„или х сдЕм или п то и другое, то, очевидно, х е-=дЕь()дЕя. Если же хф дЕ, и хфдЕ„то поскольку х~ Е, и х яддЕ„то х является внутренней точкой для множества Е, и аналогично, внутренней точкой для множества Е, (ибо замыкание всякого множества состоит только из внутренних точек этого множества и его граничных точек', каждое из них может, Е!'о' Г! конечно, оказаться пустым). В этом Рнс.
166 случае у точки х существуют окрестности (!ь(х) ~ Е, и (!я(х) с Еьн пересечение 1!(х) =(!ь(х) ПЬн(х) которых будет также окрестностью точки х, и, очевидно, (!(х) ~ Е,()Ея. Таким образом, у точки х нашлась окрестность (!(х), все точки которой принадлежат множеству Е,() Еьч т.
е. х — внутренняя, а не граничная точка этого множества: х ф д(Е, ПЕя). Полученное противоречие показывает, что случай хердЕ! и одновременно хфдЕя невозможен, если х ~ д (Е! П Е ). У и р аж вен не 4. доказать включения (44.20) н (44.22). Из включений (44.20) и (44.21) методом математической индукции для любого конечного числа множеств легко устанавливается справедливость включений д Ц Е! г: Ц дЕт, д П Е! с: П дЕ!. (44.23) е= ! г= ! Свойство Зь. Объединение и пересечение конечного числа измерилпнх по Жордану мноасеств, а также разность двух таких нножеств являются измеримьел!и по в(ордану множествами. В самом деле, если множества Е! измеримы, то согласно теореме 1 рдЕ!=О, !=1, 2,, т. Поэтому в силу следствия из т леммы 2 р '( ') дЕ! — — О, а тогда (см. следствие 1 леммы 1) из вклю! —.— 1 чгейрй (44.23) следует соответственно, что рд () Е!=О, (ьд П Е =О. е= ! 1=- ! (1тсюда следует, что в силу той же теоремы 1 множества ( ) Е! !22 4 ее.
Кратные интеграла и П Ет также измеримы. Аналогично доказывается измеримость г= 1, разности измеримых множеств. Теперь можно легко доказать, что для меры джордана справедливо неравенство, аналогичное неравенству (44.10) для верхней меры.
Сформулируем соответствующее утверждение. Для любой конечной совокупности измеримых множеств Ем Е„... ..., Е справедливо неравенсл!во ОФ ~и р Ц Е1 =,У, 11Е» (44.24) 1= ! 1= 1 Действительно, если множества Ег измеримы, то )л*Е1= рЕ1, и и согласно выше доказанному объединение ( ) Е; также изме1=1 римо, и следовательно, р* Ц Ет=р ( ) Е,. Поэтому формула 1=1 1= 1 (44.24) в рассматриваемом случае совпадает с формулой (44.10).
Свойство 4' (аддитивность меры). Мера объединения конечного числа попарно непересекаюи(ихся измеримых по )1(ордану множеств равна сумме мер энтих множеств. Таким образом, если Е; — измеримые множества, Ет ПЕ2 —— ф', (Ф1, 1,1=1,2,...,т, то р ( ) Е1= Х 1хЕ» (44,25) 1= 1 1.= ! Докажем это. Поскольку для любого ранга й справедливо включение эи (Ет) П ве(Е1) с:. Е; () Е1, то из условия Ет П Ет = ф при 1Ф1 следует, что ве(Е;) Пел(Ет) = ф, 1~1'; поэтому согласно (44.2) ГЛ Ги Х рзе(Ед= р 0 з (Е) (44.26) 1=! 1=! Если куб ранга й лежит в некотором множестве Е» то он лежит и в объединении Ц Е» следовательно, 1=- ! ы / ет 11 ъ!е,! над е) 1=! 1= ! Отсюда в силу (44.26) и монотонности меры (в данном случае— даже нз формулы (44.2)) вытекает, что ы ФИ / тн ~ т !ег-т ! ! и!ег-н(0 е) 1=! 44.П Понятие объема в п-мерно,п пространстве Перейдя к пределу при Ь-о-+ со, получим пг пг ~Ч' ,рЕь- р и Еь (44.27) г= — г С другой стороны для любых измеримых множеств справедливо обратное неравенство (44.24).
Очевидно, что из (44.24) и (44.27) и следует равенство (44.25), т. е. аддитивность меры. Замечание. Из свойств 3 и 4 меры вытекает, что если к измеримому множеству присоединить или вычесть нз него множество меры ноль, то полученное множество будет также измеримым, и его мера будет равной мере исходного множества. Действительно, если Š— измеримое множество, а (ьЕо=О, то, по свойству 3 меры, множества Е',Е, и ЕЦ Е, также измеримы. Далее по свойству 4 при Еос:.Е н ЬяЕо=О имеем рЕ= р [(Е',Ео) 0 Ео) = р (Е ~,Ео)+РЕо= Ья(Е"~,Ео).
В силу же монотонности меры и неравенства (44.24) для любого Ео, рЕо=О справедливы неравенства ЬьЕ==-р(Е()Ео)=-ьтЕ+ььЕо= рЕ, откуда р (Е () Е,) = рЕ. В свою очередь из сказанного следует, что если к измеримому множеству присоединить нлн вычесть нз него какое-то множество его граничных точек, то получится снова измеримое множество с той же мерой, что н данное.
Это вытекает из того, что в силу теоремы 1 граница измеримого множества, а значит и любое ее подмножество, имеют меру ноль. Таким образом, в частности, если множество Е измеримо, то его замыкание Е=Е() дЕ также измеримо, причем рЕ= )ьЕ. Обратное утверждение неверно: существуют неизмеримые ло )Кордану множества, замыкания которых изяьеримы. Простым примером подобного множества является множество рациональных точек на некотором отрезке. Оно неизмеримо (почему?), а его замыканием является отрезок, который измерим.
Примеры измеримых множеств сколь угодно большой размерности можно получить с помощью построения цилиндров, основаниями которых служат также измеримые множества. Сформулируем определение цилиндра. Определение 2. Пусть Ео — множество, лежащее на гиперплоскости Дп '=-(х: х„=О) пространства ьт'", а и Ь действительные числа, а === Ь. Множество Е=.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
