kudryavtsev2a (947416), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Рассмотрим для простоты случай условного экстремума функции двух переменных а=1'(х, у) при выполнении уравнения связи >р(х, у) =О. Пусть функции 1' и ф непрерывно дифферениируемы в окрестности точки (х„у,) Чф(х„уо) — ( ф ( ' ао) 'Р( ' "о) ~ ть 0 и ф(хо> уо) =О. В силу условия Чф(х„уо) ФО, согласно теореме о неявных функциях, уравнение ф(х, у) =0 в окрестности точки (хо, уо) задает некоторую гладкую кривую, обладающую явным представлением либо вида у=-у(х), либо вида х=х(у).

Поскольку нас интересуют только достаточно близкие к (хо, у,) точки, то указанную кривую будем называть просто кривой ф (х, у) = 0 (т. е. попросту говоря, всюду в дальнейшем будем рассматривать сужение функции 1 и ф на указанную окрестность точки (х„у,)), Градиент Чф(хо, у,) является нормалью к кривой ф(х, у)=0 в' точке (х„уо) (п. 20.6).

Обозначим через т единичный касательный вектор к кривой ф(х, у) в точке (х„у,). Пусть для определенности рассматриваемая кривая задается уравнением у=у(х). Если (хо, уо) — точка условного экстремума, то х, является точттой обычного экстремума для функции д(х) а' г(х, д(х)) (см. п. 43.1) и поэтому д'(х) =О, т. е. производная функции ) в точке (хо, уо) в направлении кривой ф(х, у)=0, или, что то же (см.

п. 20.7), в направлении вектора т, равна нулю, д = (Ч1 (хо уо)> т) О. й <д условный э<<нянин Это означает ортогонзльность градиента Чр" (ха, ра) и касательного вектора т, что равносильно коллинеарности векторов 7)(х„ уа) н 7ф (ха ра): 7) (ха уа) = ) Чф (ха, 9а) т. е, выполняется условие (43.11). Выполнение этого условия в точке условного экстремума можно пояснить и другим путем. Пусть 1'(ха, уа)=ар. Если в точке (х„уа) не выполняется условя вие (43.11), т.

е. градиенты 7~ и Чф не коллинеарны, то это означает, что в этой точке Ч~чьО и линия уровня )(х, у)г в и криваяф(х, у) =Овэтой точке пересекаются под некоторым углом сс, отличным от 0 н и (рнс. 160). Поэтому в любой достаточно малой окрестности точки (х„у,) часть кривой ф (х, у) = 0 окажется расположенной в области 1" =с (в <области меньших значенийа), а часть — в области ()с (в <области больших значений»). Это означает, что в точке (х„у,) пет рассматриваемого условного экстремума. у'й Рнс.

161 Рнс. 160 Рнс. 162 В случае же, когда векторы 7) и Чф коллинеарны, 71 =уф часть кривой ф(х, у)=0 может принадлежать некоторой окрестности точки (х„уа), целиком лежащей в области меньших значений 1 =с (рис. 161) илн в области больших значений ~)с. В этом случае в точке (х„уа) достигается условный экстремум. Однако в случае коллинеарности векторов 7~ и Чф кривая ф(х, д) =О также может оказаться расположенной в любой достаточно малой окрестности точки (х„у,) частично в области меньших, а частично в области больших значений функции 1 (рис. 162) — тогда в точке (хм ра) снова.не будет условного экст-, ремума.

Подобная ситуация возникает, например, когда кривые ~(х, у) ч а н ф(х, у) =0 имеют в точке (х„уа) общую касательную, причем кривая 1(х, у)=с расположена в достаточно малой окрестности точки (х„уа) по одну сторону от этой касательной, а кривая ф (х, у) = 0 имеет в этой точке перегиб, переходя, с одной стороны касательной на другую. Сказанное поясняет то обстоятельство, что (43.10) является необходимым, но не достаточным условием для условного экстремума. Приведенные геометрические рассмотрения вопроса об условном экстремуме распространяются и на многомерный случай. !о! 4Д4Д Стационарные точки функции Лагранжа 43.4*. СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА В этом пункте будет дано описание стационарных точекфункции Лагранжа (43.13) посредством функции а(х„м, ..., х,), введенной в п.

43.1 (см. (43.8)). Предварительно докажем одну простую лемму из линейной алгебры. Пусть задана система линейных однородных уравнений а;,х,+...+аг„х„=О, г'=1, 2, ..., т, (43,18) и еще одно линейное однородное уравнение Ь,х,+...+Ь„х„=О. (43.19) Систему уравнений, получаемую присоединением к системе (43.18) уравнения (43.19), будем называть расширенной систелгсй (43.18)— (43.19). Лемма. Для того чтобы расширенная система (43.18) — (43.19) бьгла равносильна основной системе (43.18) необходимо и достагггочно, чтобы уравнение (43.19) являлось линейной комбинацией уравнений системы (43.18).

Следствие. Для того чтобы уравнение (43.19) было линейной комбинацисй уравнений '(43.18) или, чипа то же, тпобы ветпор Ь=" — '-(Ь, ..., Ь„) (43.20) был линейной комбинацией векторов (43.21) необходимо и досгпаточно, чтобы каждое решение системы (43.18) являлось решением уравнения (43.19). Доказательство леммы. Пусть ранг матрицы (ау) коэффициентов системы (43.18) равен т,. Очевидно, что пм==гп. Если то(т, то т — т, уравнений системы (43.18) являются линейными комбинациями остальных. Отбросив те т — гп, линейные уравнения, которые являются линейными комбинациями оставшихся, получим систему из т, линейно независимых уравнений, равносильную системе (43.18), причем уравнение (43.19) является линейной комбинацией уравнений системы (43,18) тогда и толька тогда, когда оно является линейной комбинацией указанной системы из оставшихся т, уравнений.

Поэтому будем с самого начала считать, что пг=т„т. е. что ранг матрицы (ав) коэффициентов системы (43.18) равен т — числу уравнений этой системы. Пусть системы (43.18) и (43.18) — (43.19) равносильны. Это означает, что пространства их решений совпадают. Поскольку все уравнения основной системы (43.18) входят в расширенную систему (43.18) — (43.19), то каждое решение расширенной системы является и решением основной системы, т, е. пространство решений расширенной системы содержится в пространстве решений основ- Э 43. Условный экстреыул ной системы.

Следовательно, совпадение этих пространств равносильно равенству их размерностей. Размерность э пространства решений системы линейных однородных уравнений равна, как известно, числу неизвестных п этой системы, из которого вычтен ранг г матрицы коэффициентов системы; в=а — г. Отсюда следует, что равносильность систем (43.18) и (43.18) — (43.19) означает равенство рангов их матриц. Ранг матрицы коэффициентов системы (43.18) по условию равен т, т.

е. векторы (43.21) линейно независимы. Ранг матрицы коэффициентов расширенной системы (43.18)— (43.19) согласно сказанному в наших условиях также равен т. Поэтому векторы (см. (43.20) и (43.21)) (43.22) линейно зависимы. А это означает, что Ь является линейной комбинацией векторов аг, ..., а,„. В самом деле, линейная зависимость векторов (43.22) означает, что существуют такие числа рв, рг, ..., р„, не все равные нулю, что рвЬ+ ргаг+ ° + рыавт = 0. (43.23) Здесь заведомо рвФО, так как в противном случае векторы а„... ..., а оказались бы линейно зависимыми.

Поделив равенство (43.23) на р„ получим, что Ь является линейной комбинацией векторов а„ ..., а . Обратно„ если Ь является линейной комбинацией векторов (43.21), то в системах векторов (43.21) и (43.22) имеется в точности по т линейно независимых векторов, т. е. ранги матриц коэффициентов систем уравнений (43.18) и (43.18) †(43.19) равны. Итак, условие, что вектор Ь является линейной комбинацией векторов (43.21): Ь = Лгаг+...+ Л„а эквивалентно равенству рангов матриц коэффициентов рассматриваемых основной и расширенной системы уравнений, а следовательно, эквивалентно их равносильности, 1 ) Утверждение следствия сразу следует из леммы, поскольку системы (43.!8) и (43.18) †(43.19) очевидно равносильны тогда и только тогда, когда каждое решение системы (43.18) является и решением уравнения (43.19) — остальные уравнения этих систем просто совпадают.

П Замечание 1. Доказанная лемма и ее следствия имеют простую геометрическую интерпретацию в гьмериом евклидовом векторном пространстве эгн, т. е. в л-мерном пространстве со скалярным произведением. Используя обозначение скалярного проггзведення, систему (43.18) можно записать в виде (аь х)=0, г=1, 2, ..., т, (43.24) гвз 43.4л.

Стакионарные точки функкии Лагранжа а уравнение (43.19) в виде (Ь, х) = О, (43.25) где векторы а„..., а„и Ь определены в (43.20) и (43.2!), а х = = (х1 ° ° ° ч хл) Множество всевозможных линейных комбинаций векторов а,, ..., а образует подпространство пространства ял и называется подпространством, натянутым на эти векторы. Обозначим его через ь (а,, ..., а ). Множество решений системы (43.24) состоит из всех векто. ров х, ортогональиых подпространству Ж(аы ..., а ). Обозначим это множество решений через Т.

Оио также является подпространством пространства )кл. Подпространства г. ~ мЖ(а„..., а ) и Т называются ортоганальными дополнениями друг другу в пространстве гел. Поскольку с.=Х(аы ..., аы), то представимость вектора Ь в виде линейной комбинации векторов а„..., а равносильна его принадлежности подпространству Е пространства )сл: Ь ен 1,. Зто условие, в свою очередь, равносильно ортогональности вектора Ь подпространству Т: Ь 1 Т, которая означает, что для всех хе-=Т имеет место равенство (Ь, х)=0, т. е. что любое ре-. шение х системы (43.24) является решением уравнения (43.25).

Зто и является утверждением следствия леммы. Замечание 2, Напомним метод, которым можно получить все решения однородной системы линейных уравнений. Пусть система (43.18) состоит из линейно независимых уравнений. Тогда ранг матрицы его коэффициентов равен т. Зто означает, что существует минор этой матрицы порядка т, не равный нулю, Пусть для определенности (43,26) В этом случае все решения системы (43,18) можно получить, задавая произвольно последние и — т координаты вектора (х„ ... , х„).

Характеристики

Список файлов книги