kudryavtsev2a (947416), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Однако в этой точке кривая, определяемая уравнением, не имеет особенности, так как оно (множитель х'+д'+1 нигде не обращается в нуль) равносильно уравнению д= О и рассматриваемая кривая является графиком явной функции д=-)(х)=0. Отметим, что, как легко убедиться, в этом случае в точке (О, 0) Р„,Х„, — Е;"„= О. (41.
100) 2. Для уравнения (х'+д') (х'+д' — 1) = О, (41.101) условия (41.79) превращаются в следующую систему уравнений: 2х'-1-2хд' — х = О, 2дч + 2хчд д =- 0 Сложив и вычтя эти уравнения, получим систему (х+ д) (2хе + 2д' — 1) = 0 (х — д) (2х'+ 2д' — ! ) = О. Отсюда либо х=д=О, либо 2х'+2д' — 1=-0, однако точка (х, д), координаты которой удовлетворяют последнему соотношению, не является корнем уравнения (41.101) !для нее х'+д'= —, и, зна- 1 чит, нн один из сомножителей левой части (41.101) не обращается в ноль). Таким образом, единственной особой точкой является (О, 0).
Легко проверить, что здесь выполняется условие (41.81), и, значит, точка (О, 0) является изолированным корнем уравнения (41.101). Геометрически, как это сразу видно, уравнение (41.101) задает единичную окружность и ее центр (О, 0) (это множество, очевидно, не является носителем никакой кривой, заданной параметрически в смысле и. 16.2"). 3. Для уравнения х'+ д' — Захд = 0 условия (41.79) наличия особой точки приводят к системе уравнений х' — ад=О, д' — ах=О, э Вх Неявные функции откуда либо х =у =- О, н эта точка удовлетворяет уравнению (41.102), либо х=а, д=-а, но координаты этой точки не являются решением уравнения (4!.102). Снова здесь (О, 0) — единственная особая точка. Нетрудно убедиться, что при этом выполняются условия (41.82), и, значит, (О, 0) является двойной точкой.
Геометрически для кривой, неявным представлением которой является уравнение (41.102) (она называется декартов лист, и мы с пей уже встречались в п. 14.5); точка (О, О) является точкой самопересечения (см. рис. 61 в первом томе). 4. Для уравнения ук — хе= 0 (41,103) (О, 0) является особой точкой; в ней выполняется уже условие (41.100), и тем самым в этом случае не выполняются условия теоремы 6. Геометрически кривая, выражаемая уравнением (41.103) и называемая полукубической параболой у = -1- хн', имеет в точке (О, 0) касательную и расположена в окрестности этой точки по одну сторону от нормали. Рис. 156 Рис. 1ВЭ Точки такого типа называются точками возврата (рис. 155).
5. Для уравнения у' — х'=0 (41.104) (О, О) также является особой точкой, и снова здесь выполняется условие (41.100). Уравнение (41.104), очевидно, распадается на два уравнения: у=х' и у= — х', которые задают две параболы, имеющие в точке (О, 0) общую касательную. Особые точки, в некоторой окрестности которых уравнение (41.77) задает две непрерывно дифференцируемые кривые, имеющие в точке (х„д,) общую касательную, называются точками само- прикосновения (рис.
156) этих двух кривых. Может случиться, что при выполнении условия (41.100) особая точка окажется изолированным решением уравнения (41.77), или его двойной точкой. 4!.9. Особые точки 81 В заключение дадим некоторые пояснения к уравнению (41,84). Если (х,, у,) — особая точка уравнения (41.77), то после параллельного переноса начала координат в точку (х„у,) уравнение (41.77) примет вид Р'„,х'+ 2Р„'„ху+ Р,',„у'+ о(х'+ уз) = О, (41.105) (здесь через х и у обозначены координат«я точки в новой системе координат, а индексом 0 наверху обозначены значения частных производных в точке (О, 0) этой системы), откуда с точностью до бесконечно малых более высокого порядка наше уравнение можно записать следующим образом: Го.х«+2Р"„ху+ Речу« =-0 (41 АО8) В случае выполнения условия (41.82) левая часть уравнения (4!.108) распадается на два действительных множителя, каждый из которых, приравненный нулю, и дает касательные к двум ветвям кривой в точке (О, 0) (см.
(41.84)). В случае же выполнения условия (41.81) левая часть уравнения (41.!08) распадается на два комплексных множителя: «касательные мнимым Это естественно, так как здесь говорить о касательной не имеет смысла, ибо в этом случае особая точка является изолированной. Это замечание особенно удобно использовать для определения характера особой точки в случае алгебраической кривой, т. е. кривой, заданной уравнением Р (к, у) = О, (41.107) где Р (х, у) — многочлен от двух переменных х и у. Если (О, 0) — особая точка этого уравнения, то из условий (41.78) и (41.79) следует, что этот многочлен не содержит ни свободного члена, ни членов первого порядка, т.
е, уравнение (41.107) имеет вид ах«+2Ьху+суч+9(х, у) =О, где (г(х, у) — многочлен, все члены которого по крайней мере третьего порядка. Характер поведения решений этого уравнения определяется его главной частью, т. е. уравнением ах« + 2Ьку+ су' = О, которое является уравнением (41.106) для данного случая ибо„ как легко видеть, здесь а=Р,',, Ь =Рте и с= — Реи. Если же точка (О, 0) удовлетворяет уравнению (41.107), ио не является особой, то (41,107) имеет вид Ах+ Ву+ )7 (х, у) = О, Ач+ В') О, где !с(х, у) — многочлен, все члены которого имеют порядок 'не ниже второго. Из теоремы о неявных функциях (см.
теорему 1 й 4!. Неявные функпии в п. 41.1) следует, что уравнение Ах+Ну=О является в этом случае уравнением касательной в точке (О, О) к графику решения уравнения (41.107). Уп р аж не ни я. Исследовать поведение каж ой из следукнннх кривил в окрестности ее особых точек; найти касательные в особой точке, 13. уз=ха+ха.
14. уз=ха — хз. 15 уь — хз х4 16. (Ф вЂ” 9) уз=хе. 17. уа=х(х — З)а, 18, у(у — 2)а=ха. 19. 4уз=-ха+бхк 20. (хт — у'1 у=ха. 21, (у — х')'=хь. 41.10. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ Символ Л, указывающий на применение к функции и операции (41.109), называется оператором Лапласа *1.
Из формул, связывающих декартовые координаты с полярными, х=гсоз ф, у=гз)пф, (41.110) находим: — = сов ф, — = — г з 1п ср, - - = юп тр, - — = г сон ф. (41.111) *' П. Лаплас (1749 — 1827) — франнузсний механик и математик. Часто в различных вопросах математического анализа н в его приложениях при изучении той или иной формулы, содержащей какие-либо функции и их производные (обыкновенные или частные), оказывается целесообразным перейти к другим независимым переменным, а иногда и к другим функциям, которые связаны с функциями, входящими в рассматриваемую формулу, определенными соотношениями. Все эти преобразования делаются на основании правил дифференцирования сложных и неявных функций.
Рассмотрим несколько примеров. Пусть и=и(х, у). Преобразуем выражения (-"-)'+(-'-")' " й+й н полярным координатам г и ф. Первое из этих выражении является квадратом длины градиента Чи функции и, т. е. раино ) Чи~а, а второе имеет специальное обозначение Ьи: ) Ч Р=(-,'-„"-)'+ ( — ,'")', (41.100) (с и — + — з ен д'и бти (41.109) П./О.
Замена аеременньвх Применим формулы дифференцирования сложной функции: ди ди дх — — = — — — + дг дх дг ди ду ди ди — — -'- = — соз ф+ — — з(п вр, ду дг дх ду ди ду ди . ди ду дф дх — = — — г з(пф+ — — / сов!р. ду ди ди дх дф дх дф ди ди Разрешим эти равенства относительно — — и — —: дх ду ' ди ди ди в1пф ди ди . да совр — =-- сов гр — — — — ', — = - — з!пф + — - — (41.112) дх дг дф г ' ду дг дф г и подставим получившиеся выражения в (41.108): /ди да в1пф~в /ди . ди совф~в !7и!в =-~ — созф — — — 1+(- — япф+ — — ) ~ дг дф г / (,дг дф Теперь перейдем к вычислени/о выражения (41.109).
Продиф- ференцируем формулы (41.110) сначала по х, затем по у: дг . дф дг . дф 1 =сов ф- — — г зш гр — -, 0 = сов ф — — г яп ф —, дх дх ' ду ду ' дг дф . дг дф О=япф- — +гсозф —, 1=япф — +гсозф --. дх дх ' ду ду дг дф дг дф Разрешим получившиеся системы относительно — —, — —, — — и —; дх' дх' ду ду' — =созвр, — =япф, — = — —, — = — '. (41.113) дг дг . дф в1п ф дф сов ф', дх ' ду ' дх г ' ду Подставив получившиеся выражения в (41.109), будем иметь два 1 дви 1 ди Ьи= — + — — + — —.
дг' гв дфв г дг ' Продифференцируем теперь формулы (41.72) по х и у; тогда, использовав (41.113), получим д'и д /ди ди в1пф1 дг д /ди ди в!пф1 дф — = — ! — соз — — — ! — + — ! — соз ф — — — — ~ —— дхв дг 1дг ф дф г /дх дф1,дг ф дф г )дх дви в 2совфв1пф дви в1пвф дви = —. соз' !р— дгв г дг дф гв дгрв — + — — + в!пв ф ди 2 сов ф в1п ф ди г дг гв дф' дви д /ди . ди совф1 дг д /ди . ди совф1 дф — = — ! — з 1п ф + -- — ! — + — ! — я п вр + -- — 1- - = дув дг (, дг дф г ! ду дф 1, дг дф г / ду д'и . + 2совфв1пф д'и соввф д'и + = д,в 'т"Р г дедф +,в дфв соввф ди 2совфв!пф ди г дг гв дф э" ел Неявные функц»и В случае, когда в преобразуемое выражение входит не одна, а несколько производных данного порядка, удобно применятьметод вычисления не производных, а дифференциалов.
Например, считая независимыми переменными х и у, найдем выражения для дифференциалов с(г и з(ф. Из формул (41.110) имеем з(х = сов ф с( — г з 1п ф с(ф, з(у = в 1п ф бг+ г соз ф в(ф, отсюда с(г = сов ф в(х+ в(п ф в(у, с(ф = — — Р в(х+ — Рс(у (41.114) г г отметим, что из этих формул также сразу получаются формулы (41.115)). Для функции и=и(х, у) имеем ди ди , с(г+ с(ф= дг дф д» сов — ди ~~ф'1,(х 1-(ди в1п -1 ди '<~ф),(у. (41 115) (ди ди Мпф') (ди .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
