kudryavtsev2a (947416), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Геометрически это означает, что точка параболонда г=х'+у', проектирующаяся в точку (1!2, 1/2), является самой низкой из всех его точек, лежащих над прямой (43.5) (рнс. 157). Этот пример показывает, что точка, в которой функция достигает условного экстремума, нй Р, й «'Р у ооуп й 43. Условаый эксгремул 2; Рассмотрим функцию )'(х, у) =у' — х' и уравнение связи д=2х. Имеем 1(х, 2х) Зх', т. е. при выполнении уравнений связи рассматриваемая функция также является функцией одного переменного и, очевидно, достигает минимума при х=О (рис.
158). Значению х= О, согласно уравнению связи, соответствует значение у = О, а поэтому функция 1(х, у) =-у' — х~ имеет в точке (О, О) условный минимум относительно уравнения связи у=ух. Рис, 158 Следует заметить, что в этом случае сама функция ~(х, ь) не имеет ни максимума, ни минимума ни в какой точке плоскости. Таким образом, рассмотренный пример показывает, что функция может не иметь экстремума, но прн определенных уравнениях связи может иметь условный экстремум. В дальнейшем будем предполагать, что 1) все функции ~„~м ..., ( непрерывно дифференцируемы в открытом множестве б; 2) в рассматриваемой точке хоп векторы Ць ..., Ч) линейно независимы, т.
е. ранг матрицы Якоби ах.) 1=1 2 "' гл '=1 2' "' и (.—.~ = - = ° - ° д~у 1 8 равен л1 — числу ее строк (строки матрицы Якоби являются компонентами градиентов Ч~м ..., Ч( ). Согласно результатам предыдущего параграфа это означает, что функции системы (43.1) независимы в некоторой окрестности точки х<м. Поскольку в и-мерном пространстве не может быть 95 Взй. Понягис условного экстремума больше чем п линейно независимых векторов н ранг матрицы не может быть больше числа столбцов, то из условия 2) следует, что т и.
Согласно условию 2) в точке хил хотя бы один из определителей вида д((о ", (»1 д(кц, ..., к;„,) отличен от нуля. Пусть для определенности в тачке х('> ~О. д(х„..., х,„) (43.6) Тогда, в силу теоремы о неявных функциях (см. и. 41.3), систему уравнений (43.3) в некоторой окрестности точки х"'.=(х|", ..., х„"') можно разрешить относительно переменных х„..., х„й хк=Ч'1(х ~-и "° ю хл) (43.7) х,„ = ср (х „ь ..., хл). Подставив значения х„..., х, даваемые формулами (43.7) в У=)в(х), т. е. РассмотРев композиЦию фУнкЦии 1в и сРь ..., ~Р„, получим функцию вл1 У=)а(Фк(хлгм ° ° в хл)1 ° ° ° ~ 9Ьл(хлгм, ° ° ° ~ Хл)~ х~аы1 ~ хл)'= в мд(х +„..., хл) (43.8) от и — т переменных х и, ..., хл, определенную и непрерывно дифференцируемую в некоторой окрестности точки Мч' = (х'л+ ы ... ..., х„'") в (а — т)-мерном пространстве Ял- .
Поскольку, согласно теореме о неявных функциях, условия (43.3) и (43.7) равносильны, то справедливо следующее утверждение. Точка х~в> являгтся точкой (строгого) условного экстремума для функции ~о(х) относительно уравнений связи (43.3) в оюм и только в том случае, когда х~о> является точкой обычного (согрогого) экстремума функции (43.8).
Если У" — точка обычного экстремума функции д, то она является стационарной точкой этой функции (см. и. 40.1): йй (Рр о~) О (43.9) Напомним, что дифференцпал — линейная однородная функция и его равенство нулю означает равенство нулю этой функции при любых значениях ее аргументов, в данном случае — при любых йх э„йх +„..., йхл. Это возможно, очевидно, в там и только в том случае, когда все коэффициенты при этих аргудо ментах, т. е. производные, Й=1, 2, ..., н — т обращаются дк „ Э 43. Условкеа! экстремум в ноль в точке хм!.
Условие (43.9) необходимо для условного экстремума в точке х!'!. Таким образом, метод, основанный иа решении системы уравнений (43.3), позволяет свести вопрос о нахождении условного экстремума к уже изученному вопросу об обычном экстремуме. Именно таким образом мы и поступали в рассмотренных выше примерах. Однако выразить решение системы (43.3) через элементарные функции часто невозможно или весьма затруднительно; поэтому желательно располагать методом, позволяющим найти условный экстремум не решая системы (43.3).
Такой способ изложен ниже. 43.2. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЗКА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА В этом пункте будет предполагаться, что все функции )ы непрерывно дифференцируемы в открытом множестве 6. Теорема 1. Пусть х!" — точка условного экстремума функции ~ь лри выиолнении уравнений связи (43.3).
Тогда в этой точке градиенты 7~о, 7('„..., 7( линейно зависимы, т. е. суи4ествуют такие, не все равные нулю, числа Ло, Л„..., Лм, что Ло У~о+ Л! Г~!+... + Л,„тй„, = О. Следствие. Если в точке х!о! условного экстрел!ума функции гь относиомльно уравнений связи (43.3) градиенты 7!!, ..., э!' линейно независимы, т. е. ранг матрицы Якоби в~~,!=1, 2, ..., т, !'=1, 2, ..., и, (а)у! '!дк!~' Равгн т, то сУи4есо!вУ!от такие Л„..., Лм, что в этой точке ту,+ у; луцу=о, (43. 11) /= ! т. е.
71о являеэпся линейной комбинацией градиентов 7(„..., 71„. В координатной форме это условие имеет вид: для любого в=1, 2...,, п в точке х!о! !=! (43. 12) Функция Р (Х) =' !'о (Х) +,~ ', Луд (Х), (43.13) 4=! где числа Л„..., Л удовлетворяют условию (43.12), называется функцией Лагранжа рассматриваемой задачи, а сами числа Л, ..., ˄— множителями Лагранжа. 43.2.
гиетод,инохгителей Лагранаеа Условие (43.12) означает, что если хгн является точкой условного экстремума функции г; относительно уравнений связи (43.3), то она является стационарной точкой для функции Лагранжа, т. е. )=О, (=1, 2,, п. дк; (43. 14) Прежде чем доказать теорему, разъясним се смысл и покажем, как ее использовать для нахождения точек условного экстремума. Прежде всего обратим внимание на то, что у функции вида (43.13) при произвольных числах Л» ..., Л, каждая точка ее условного экстремума является и точкой условного экстремума исходной функции 7а, и наоборот. Мы выбираем такие значения Ль ..., Лко чтобы выполнялись условия (43.12), т.
е. чтобы данная точка условного экстремума оказалась и стационарной точкой функции (43.11). Для отыскания точек условного экстремума следует рассмотреть систему п+пг уравнений (43.3) и (43.10) относительно неизвестных х1", ..., х,',", Л„..., Л и решить ее (если это окажется возможным), найдя хг', ..., л'„" и по возможности исключив Л,, ..., Лно Сформулированная теорема утверждает, что все точки условного экстремума будут находиться среди найденных таким образом точек (хг", ..., х„"'). Вопрос о том, какие же из них фактически будут точками условного экстремума, требует дополнительного исследования; соображения об этом будут высказаны в пункте 43.5'. Доказательство теоремы.
Докажемутверждеиие,равносильное теореме: если в точке хан=(хг", ..., х'„"'), удовлетворяющей уравнениям связи ~а(х'а') =О, й=1, 2, ..., т, (43.15) градиенты 7~„7~ь ..., 77" линейно независимы, то х(а~ не является точной условного экстремума. Итак, пусть 7)„7)ь ..., 77 линейно независимы и, следовательно, ранг матрицы Якоби ф), 1=0, 1, ..., и, (=1, 2, ...
1дхг) ' ..., и, равен пг+1. Тогда в этой матрице существует минор порядка и+ 1 не равный нулю. Для определенности будем считать, что он образован первыми гп+1 столбцами, т. е. ( ' 1' " ' ' 1 ) ! Ф О. (43. 15) д [к,, хг, ..., ха,ег) 1к=-к и Множество 6 — открыто, а поэтому существует такое ба)О, что при всех 6, 0<6<ба, куб 1',1й=(х:~хг — х,'"((6, 1=1, 2, ..., п) лежит в 6 и, следовательно, на нем определены все функции 7'а )и" 7'.
4 Ктаравивв л. д. т, ' У 4д. Условный вксхре,лул ЗафИКСИруЕМ Х „= ХЛ'+ 2, . ° ., Хл лл Х„"' И ВВЕДЕМ ОбОЗНаЧЕНИя х*=(х„..., х +,) ф+1=(хл: !х; — х)" ,'(б, 1=1, 2, ..., и+1). Очевидно~ фуНкциИ ~2(Х1~ ...~ Хлрл1~ Хл !.2 ...~ Хл )~ )=0~ 11., ° ~ и~ определены и непрерывно дифференцируемы всюду в ф+'.
Рассмотрим отображение Ф:ф+'-+.Я ", задаваемое формулами ~а лл У1=ГЮ(Х1~ ° ° ° ю Хт+М Хт+2, ° ° ° ~ Хл ) ую — — )1(х„..., х„+„х +2, ..., х„"') (43.17) ~л) (ли Уллл1 — !юг (х1~ ... ~ хлым хм+2~ ° . ° л хл ) В силу (43.16) для точки хлою>=(х1", ..., х„",'+~) имеем д(ул,",у д( д((ю,й "*1) ! 0 д(хь, х Д )хл=хвю1 д(х„хл, ..., хылл) (к=ха~ а в силу (43.15) Ф(хл(ю!) =(гю(х(ю~), О, ..., 0). Поэтому (см. теорему 7 в п. 41.$ о локальной обратимости непрерывно дифференцируемого отображения в точке, в которой его якобиан не равен нулю) существует такое а ~ О, что на окрестности 8 у 1' = (у = (у1 " ' уым): : ~У1 — )ю(х(ю~))(е (рис.
159) определено 4 1 обратное к Ф отображе- 2 Ы'~Ю~ ние, и, следовательно, ! в любую точку этой ок- 1Г рестности отображается какая-то точка из ф+ '. Ул В частности, посРис. 159 кольку при любом 0(т((е, имеет место включение (1(х(ю1) +.21, О, ..., 0) ~ Р, то в кубе ()Г+ найдутся точки хсл =(х,', ..., х,'„+,) и х"л =(х,", ..., х„', 1), отображающиеся при отображении Ф в указанные точки окрестности к': Ф(х'*)=(с(хнч)+Ч, О, ..., О), Ф(хл*)=(с" (хич) — ть О, ..., О). если положим для краткости х'=(х,', ..., х'+и х'"+2, ..., х',") = (х1э ° ° ° ! хп+н хам+2~ ° ° ° > хл ), то В коо11динатной записн 4ад'. Ггаг>етракескаа интераргтацаа метода Лагранка 99 (см, (43.17)) получим 1о(х') = 1о (х~о)) + т) ) ) (к<о)), )о (х') = О, й = 1, 2, ..., тп, х' е= Яо ) (~") =У (х"') — Ч(У(~ОВ) ~о(х")=О, А=1, 2, ..., пт, х" ~Ж В силу произвольности 6 О, 0(6<ба, это и означает, что хпи не является точкой условного экстремума.
1 1 Доказательство следствия. Если векторы Ч1м ..., Ч7' линейно независимы, то в равенстве (43.10) имеем Хо~О, так как в случае Ао=О указанные векторы в силу (43.10) оказались бы линейно зависимыми. Разделив обе части (43.10) на Ао, получим равенство вида (43.11). 1 ) 43.3*. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕТОДА ЛАГРАНЖА Дадим теперь некоторые геометрические пояснения к теореме 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
