kudryavtsev2a (947416), страница 18
Текст из файла (страница 18)
» ~г хг+ 1» ° ° » Хт' — 1» х/»х! + 1» " ' » Хча)» где Я=1,(У„..., у„х,'+1, ..., Ху 1, хн х,"+1, ..., х„*), кубической окрестности 1»1»11 точки (у1"', ..., у,", х,'-"), задаваемой нера- венствами 1Ух — Увы'~(б, 11=1, 2, ..., «, 1Х« — хты( 6. Символически, чтобы подчеркнуть, какие именно переменные меняются, изобразим отображение (42.9) в виде (Ум " У хт) -т (У1 ° ° У Ус+1). Это отображение непрерывно дифференцируемо на («»и; его матрица Якоби имеет вид ~0 1 0 01 дог»-1 дуг+1 дуг.» дуг..» дут дуч дуг дхг- и потому д(уо ", уг, угы) догм д(у„..., у„х,) дх (42.101 хх=гт(У1,, Уг, хг 1.1 ° °, хг — 1, хг» хг к1, ° ° » хв)» Х,=~,(У„..., У„Ха+ 1, ..., Х,' 1, Хть Х,'+1, ..., Х„'), т. е. якобнан рассматриваемого отображения равен интересуюшей нас производной.
На окрестности (ни это отображение можно представить в виде композиции двух отображений: непрерывно дифференцируемого отображения Э а2, Зависимость фуикяид окрестности У~я и непрерывно дифференцируемого отображения ут =срт(хь ''', хг, хг+ ь ...~ кг — ь х/~ хт'+ь ...~ х„), У,=-СР,(ХЬ ..., Х„Х,'+ Ь ..., Х," М Хго Х)+0 ..., Х,*), угы=ср„,(х„..., хг, х,'; ь ..., хг ь хсь ху+ ь ..., х„") окрестности точки (х~', ..., х,'"', х7'), задаваемой неравенствами (хт — х)" ~<т), (=1, 2, ..., г, (х~ — х)") -6.
В силу выбора чисел 6 и т) композиция этих отображений, которую для наглядности можно символически изобразить в виде (у„..., у„х,) -+ (х„..., х„х,) -л (у„..., у„у,т,), определена и непрерывно дифференцируема на окрестности (»(/). Первое из этих отображений непрерывно дифференцируемо в окрестности (7(т) точки (у)", ..., у,'", х,"'), а второе непрерывно дифференцируемо в соответствующей окрестности точки (х)", ... ..., х,"', х)"). Поэтому из (42.10) и из свойств якобианов отобра- жений (см.
п. 41.7) имеем дргьт д(уь ." уг. угвт) д(рь ", уг, угм) д(х,, ..., хг х) дхт д(у„..., уг, х») д(хь ..., хг, хт) д(уь ..., у», х») В силу условия теоремы ранг матрицы Якоби на множестве ьх меньше или равен г, следовательно, (рь "'' "'* ""')= 0 д(хь .,,, х, х) всюду на б. Поэтому нз (42.11) сразу следует, что для любой точки (у„..., у„х;) сна(О и, следовательно, для любой точки (у„..., у„х,"+ „..., х", ь х,, х,*+„..., х*.) = и справедливо равенство (42.8). Поскольку координаты хй были фиксированы произвольным образом, лишь бы ~ х3 — хв" ) < 6; й=г+1, ..., 1 — 1, 1+1, ..., и, то это означает, что равенство (42.8) справедливо на всей окрестности (»'. Таким образом, функция (42.7) зависит только от переменных уь ..., у,. Обозначив ее символом Ф, получим сР,„,(рм ..., )„х,+„..., х„)=Ф(Уь ..., У,). Выберем теперь так 6„, 6, < 6 и бр < т), чтобы при ) х; — хь" ~ < < бь, ь =1, 2, ..., а, выполнялись бы неравенства )ут — у)" )<6, )'=1, 2, ..., г.
Это возможно в силу непрерывности функций у)=ср (х„.,„х„), /=1, 2, ..., г, системы (42.5) в точке х('). «2.2. Достаточные условия вовисимости функций 91 В силу доказанного для любой точки х бв-кубической окрестности точки х~'~, т. е. для любой такой точки х=(хм ..., х„), что )хс — хс" ((бв, 1=1, 2, ..., п, будет справедливо тождество ср„+,(х) =<1»(ср,(х), ..., ер,(х)), т. е. в указанной окрестности точки хрв функции фп «ю срс фы« зависимы.
Аналогично доказывается и зависимость каждой из функций срст» "° ср от Ч'ь,.. ср„в некоторой окрестности точки х~в). ( ) Аналогично необходимому условию зависимости функций достаточные условия также можно сформулировать в терминах градиентов. Для простоты ограничимся случаем г =-т — !. Если градиенты 7«ро ..., 7«р линейно зависимы во всех точках области 6, то какова бы ни была точка хе-=б, в которой т — 1 из указанных градиенпюв линейно независимы, сутцес~пвует ее окрестность, в которой функции срп ..., ср зависимы. При зпюм, если, например, градиенты 7«ро ..., 7«р» линейно независимы в рассматриваемой точке, и, следовательно, гоадиент 7~р в втой точке является их линейнои' комбинацией, то в указанной окрестности функция ср„зависит от функций <р„..., ср„-,.
Следует обратить внимание на то, что достаточные условия зависимости функций, установленные в этом пункте, имеют локальный характер в отличие от результатов предшествующего пункта, имеющих глобальный характер. Это означает следующее: если система гп непрерывно дифференцируемых функций (42.1) зависима на открытом множестве б ~ )сн, то согласно теореме 1 п. 42.1 в каждой точке этого множества ранг матрицы Якоби этой системы меньше т (соответственно если хотя бы в одной точке множества 6 ранг рассматриваемой матрицы равен т, то система независима на всем множестве 6). Что же касается теоремы 2 настоящего пункта, то она утверждает лишь, что если в какой-то точке хня ~б выполняются условия этой теоремы, то только на некоторой окрестности этой точки (а не на всем множестве 6) данная система функций является зависимой системой.
Таким образом, действительно, утверждение теоремы 2 имеет локальный характер. Добавим еще, что если в каждой точке хоп открытого множества 6 выполняются условия теоремы 2, то, конечно, в этом случае в некоторой окрестности каждой точки рассматриваемая система функций будет зависимой. Однако теорема 2 не гарантирует, что эта зависимость будет одной и той же во всех указанных окрестностях, т.
е, нз теоремы 2 не следует, что в разных точках одни и те же функции будут зависимыми от других и что функции Ф, «осуществляющие» зависимости одних и тех же функций, рассматриваемых на разных окрестностях, будут совпа- р 48. Условный экстремум дать в точках пересечения этих окрестностей.
Следовательно, из теоремы 2 не следует, что система функций, удовлетворякицая условиям этой теоремы во всех точках хоп множества 6, будет зависимой на всем множестве 6 в целом, в едином смысле, т. е. в смысле определения 1. Зто и означает, что теорема 2 не имеет глобального характера. Заметим, что существует несколько более общий подход к поня- тию зависимости функций, позволяющий построить глобальную теорию этого вопроса, однако мы не будем на этом останавливаться. Пример.
Рассмотрим систему функций и = з(п (х+ у), и = соз (х+ у). (42.12) Якобиан этой системы равен нулю на всей плоскости ! соз(х+у) соз(х+у)~ — зш(х+у) — з1п(х+у) ~ и, как легко видеть, ранг матрицы Якоби этой системы равен единице во всех точках плоскости. Согласно теореме 2, функции (42.12) зависимы в окрестности каждой точки плоскости. В данном случае зависимость функций легко находится в явном виде, например на открытом множестве точек (х, у), для которых соз(х+у) )О, она может быть задана формулой о= )л 1 — и'. У яр а жнсн н я 1. Пусть и=х'+уз+г', п=.ту+уг+гх, в=я+у+а. Доказать, что функции и, и, ы зависимы и найти уравнение, выража~о~цсс нх зависимость. 2. Исследовать вопрос о зависимости функций и=йз+Чз+~з, п=(Чг, =Р+чл+(з, г=-$ч+чь+Й Задача 2В.
Функция и =и (х, у) называется гармонической в плосхой области, если во вссх точках этой области она удовлетворяет уравнсинк» Ли=о (см. (41.!09)). Дохазатгь что двс гармонические функции зависимы в плоской области тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. ф 43. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 43.1. ПОНЯТИЕ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА Пусть на открытом множестве 6 с: )(и заданы функции у,=)г(х), 1=1, 2, ..., т, (43.1) х=(х,, ..., ха) ен6.
Обозначим через Е множество точек хен6,' в которых все функции )ь (=1, 2, ..., т, обращаются в ноль: Е=(х:Д(х)=0, (=1, ..., т, хе=6). (43.2) Уравнения (43.3) 7;(х) =-О, 1=-1, 2, ..., т, будем называть ураенениллил связи. 4зок Понятие условного экстремулто Определение 1. !!усть на гл задана функция у=)о(х). Точка х"1 ен Е называется пючкой условного экстремума*' функции !о(х) относительно (или при выполнении) уравнений связи (43.3), если гна является точкой обычного экстремума этой функции, рассматриваемой только на множестве Е (см. п. 40.1).
Иначе говоря, здесь значение функции 7о(х) в точке х<'> сравнивается не со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности этой точки, а только со значениями в точках, принадлежащих одновременно указанной достаточно малой окрестности и множеству Е. Как и в случае обычных экстремумов, можно, естественно, рассматривать точки просто условного экстремума и точки строго условного экстремума. П р и и е р ы.
1. Рассмотрим функцию У(х, у) =х'-Рув (43.4) и уравнение связи х+у — 1=0. (43.5) Найдем условный экстремум функции (43.4) при выполнении уравнения связи (43.5), Из (43.5) имеем у = 1 — х, откуда ~ (х, 1 — х) = 2хт — 2х + 1. Рис. 157 Таким образом, при выполнении условия связи функция (43.4) является функцией одного переменного. Ее экстремум находится элементарно: приравнивая нулю ее производную (необходимое ! условие экстремума), получим 2х — 1=0, откуда х=--.
В этой точке рассматриваемая функция, очевидно, имеет минимум (она является многочленом второй степени с положительным коэффициентом при старшем члене). Значеишо х= —, согласно уравне- 1 иию связи (43;5); соответствует у= —. ! Следовательно, в точке (1/2, 1/2) функция (43.4) достигает минимума относительно уравнения связи (43.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
