kudryavtsev2a (947416), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Остальные координаты однозначно находится из системы уравнений (43.18). В самом деле, возьмем произвольное решение (х',", ..., х'„") системы (43.18). После подстановки х„+т — — ха+ы '.... ..., х„=х„"' в (43.18) получится система из т линейных уравпе»' ний (с т неизвестными х„..., х ), матрица коэффициентов кото. (чбй в силу условия (43.26) невырождеиная. Поэтому существуют единственные значения х„..., х„, удовлетворяющие получившейся системе.
Поскольку (х'ы, ..., х,'"') также было решением системы (43.18), то х, = х',", ..., х '=' хД'. Перейдем теперь к анализу стационарных точек функции Лагранжа. у 43. условный вксгрсяди Теорема 2. Пусть функции (в, )"ь ..., ~,„непрерывно дифференцируемы в области 6 с )(в, х~'~ е= 6, П(х(о))=0, 1=1, 2,, т, и ранг матрицы Якоби функций ~ь ..., (ы в точке х~о' равен т. Для того чтобы в точке х(')=(х',",, х„"') градиент й)в являлся линейной комбинацией градиентов х)'„..., ч(' необходимо и достаточно, чяюбы точка х(в)=(х„",'+ы ..., х'„") была стационарной точкой для функции а(х)=в(х „, ..., х„) (см.
(43.8)). Напомним, что если в точке х(о) градиент 7)в является линейной комбинацией 'о), =лд,+...+)„ч~„, (43.27) (43.28) р = )в — ).171 — „. ),.)., для которой точка х(') является стационарной: др (х'в') — = О, ( = 1, 2, ..., и. дх; (43.29) Это просто координатная запись условия (43.27), ибо в силу (43.28) др д)в дй д)ы дх; дх; дх; ''' ыдх; ' Доказательство. По условию ранг матрицы Якоби системы функций )ь ..., ) в точке хио равен т.
Будем считать для определенности, как и в и. 43.1, что д(1 °" Ь) ~ чеО д(хь " хы) ахи (43.30) Подставим в уравнение связи (43.3) функции (43.7), являющиеся решением этих уравнений, и продифференцируем получившиеся относительно переменных х„вь ..., х„тождества. Получим.длн точки Х(в> равенства 4с (2(в)) = О, ) = 1, 2, ..., т, справедливые для любых приращений йх х„..., йх„независимых переменных х„„, ..., х„(напомним, что дифференциал является линейной функцией, определенной на всем пространстве). Использовав..(ви вариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных, получим, что в точке х") выполняются равенства — 'дхх+...+ — 'йх,„+ — 'йх,„в+...+ — се(х„=О, (43.31) д6 дй дй дй дх ''' дхы дх„„., '" ''' дхв $=!,2, ...', т, градиентов Ч)ь ..., ~~, то это равносильно тому, что сущест- вует функция Лагранжа гоэ 4амч.
Отаиионпрнме точки финикии Лагранжа где дх ч„..., Йх„произвольны, а Нхь „, т(г находятся из формул (43.7). Таким образом вектор е(х=(т(хл, ..., ч(ха, е(х .„..., ч(х„) (43.32) является решением линейной однородной системы (43.31). Отметим, что в силу условия (43.30) значения т(хь ..., дх,„ при заданных дх .,„..., дхи однозначно находятся и из системы (43.3!). Из замечания 2 следует также, что указанным способом получаются все решения системы (43.31). Стационарность точки х~а> для функции д(Х) =д(х .„..., х,) означает, что дд(х'") = О. Зто равенство, в силу инвариаитиости формы первого дифференциала, можно более подробно записать в виде — — ' е(х, +...
+ ~' т(х + — ' а(х тл+... + —" т(х„= О, (43.33) где дл „, ..., т(х„можно задавать произвольно, а ч(х„..., дх следует находить из формул (43.7) или, что дает тот же результат, из формул (43.31). Иначе говоря, любое решение системы уравнений (43.31) является и решением уравнения (43.33). Согласно следствию из леммы это возможно тогда и только тогда, когда уравнение (43,33) является линейной комбинацией уравнений системы (43.3!), т. е. когда существуют такие числа )ч„'... ..., а, что Ъ=),ч),+...+) Ч.
И Замечание 3. Согласно замечанию 2 совокупность всех ре>наний системы уравнений (43.31) образует подпространство Т пространства )кн, являющееся ортогональным дополнением к подпространству Ь =Х(ч1>, ..., т17 ). Любой вектор уев Т ортогонален кажломУ гРаДиентУ 77ь а поэтомУ его естественно назвать касательным вектором в точке х~о> к гнперповерхности 7;(х) =-О, являющейся множеством уровня (см. Э 19) функции )о т'=1, ... т.
Таким образом, пространство решений Т системы (43.31), состоит из векторов, касательных одновременно ко всем гивер. поверхностям 1>(х)=0, 1=1, ..., т, и потому его называют касательным пространством пересечения всех гиперповерхиостей )>(х)=0, (=1, 2, ..., т. Напомним, что векторы касательного пространства Т, т. е. решения системы (43.31), были обозначены через ах (см. (43.32)).
Поскольку в точке условного экстремума согласно теореме 2 имеет место включение РДеЬ=Ж(7~„..., Р)„), тра ) Т. У ЕЗ. Условьь!В экстремум !Ор Иначе говоря, градиент 7Гь одновременно ортогонален всем касательным дх к гиперповерхностям )!(х) = О, ! = 1, 2, ..., пю: (Л7ь, с(х) = О (это другая запись уравнения (43.33)), т. е. градиент 7гь перпендикулярен касательному пространству Т в точке х!'!. Но множество всех векторов, ортогональных к 7(„образует (и — 1)- мерное подпространство Т„называемое касательным пространством к гиперповерхности Гь (х) = ~ь (х!'!).
В силу сказанного выше, каждый вектор из Т, будучи ортогонален градиенту 7~„принадлежит к Ть, т. е, Т с: Т,. Итак, если х"! — точка условного экстремума, то Т с: Т„т. е. касательное пространство в точке х!'! пересечения всех гиперповерхностей, задаваемых уравнениями связи, содержится в касательном пРостРанстве в той же точке гипеРповеРхности ~ь(х) =Ге (х!'!). Замечание 4. Из теоремы 2 еще раз вытекает следствие теоремы 1. В самом деле, если хон является точкой условного экстремума, то х!'! является точкой обычного экстремума для функции у (см. п.
43.1) и, следовательно, ее стационарной точкой. Поэтому согласно теореме 2 точка х!'! является стационарной точкой для функции Лагранжа, т. е. выполняется уело« вне (43.29). 4з.б~. ДОстАтОчные УслОВиЯ ДлЯ тОчек УслОВнОГО ЭКСТРЕМУМА В этом пункте также будем предполагать выполненными все предположения, наложенные на функции )ь и )!, ! =1, 2, ..., т! в п, 43.1. Пусть р=р,+Я; щ !=1 — функция Лагранжа (см. (43.13)) для функции гь и уравнений связи (43.3). Пусть х"! ен 6 удовлетворяет уравнениям связи (43.3) и является стационарной точкой функции Лагранжа, т. е.
точкой, координаты которой удовлетворяют системе уравнений (43,12) и (43.3). Нашей целью является получение метода, с помощью которого можно установить условия, достаточные для того, чтобы х!'! являлась точкой условного экстремума рассматриваемой задачи. Заметим прежде всего, что если точка х ~ 6 удовлетворяет уравнениям связи (43.3), то Л~ = ~ (х) — ) (х!'!) = р ~х) — р (х!'!) = Ар. (43.34) Отсюда сразу видно, что если х(ь' является точкой обычново экстремума для функции г, т. е. съг не меняет знака в некото- 43.5ч.
достаточные условгта длл точек условного вкстрелула 107 )) ' — л(д,"') =о, = .+), ..., л; (43.38) с 2),второй дифференциал С 4=еч+ 3 (43.38) является положительно или отрицательно определенной квадратичной формой. При выполнении этих условий Х(в) является точкой строгого минимума или максимума для функции л(х).
В силу сказанного выше указанные условия являются и достаточными условиями для того, чтобы хио являлась точкой условного строгого минимума (максимума) для функции )в(х) относительно уравнений связи (43.3). Однако они неудобны для практического использования, так как требуют знания функции й"(х). Поэтому, исходя рой окрестности точки х(в1, то хно является точкой условного экстремума для функции ~е. Действительно, из (43.34) следует в этом случае, что приращение сч) для допустимых значений х, т. е. удовлетворяющих уравнением связи, также не меняет знака.
Это достаточное условие, однако, накладывает слишком сильное ограничение на поведение функции Лагранжа г" (х) в рассматриваемой точке — оиа должна иметь обычный экстремум, что сильно сужает область возможного применения указанного условия при решении задач. Поэтому целесообразно получить более общий достаточный признак условного экстремума. Пусть хин = (х',", „ , х„"') удовлетворяет уравнениям связи (43.3). Вернемся к рассмотрению функции (43г8), т. е.
функции й(х)=л(х „..., х„), х=(х„„„..., х„), получаемой из )е(х) = =)в(х„..., х„) при условии, что хм ..., х„являются функциями переменных х„,», ..., х„, определяемыми уравнениями связи (43.3) в некоторой окрестности точки х'". Будем дополнительно предполагать, что ~о(х) и Д(х), (=1, 2, ..., и, дважды непрерывно дифференцируемы в точке х~в~. Выше отмечалось (см. п. 43.!), что х~в) является точкой условного (строгого) экстремума для функции )е(х) относительно уравнений связи (43.3) тогда и только тогда, когда хнн = (х"'+ ь ..., х',") является точкой обычного (строгого) экстремума для функции д (х).
Поэтому, если например, в точке хоч функция д(х) удовлетворяет достаточным условиям существования строгого экстремума, то в этой точке функция )в(х) имеет условный строгий экстремум относительно уравнений связи (43.3). Достаточные условия для обычного строгого экстремума были получены нами ранее (см. теорему 2 в п. 40.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
