kudryavtsev2a (947416), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Елца4.-ф Таким образом, все кубы ранга й, содержащиеся в зю лежат во множестве Е, а кубы ранга й, содержащиеся в Я», образуют покрытие множества Е (рис. 163), т. е. в» (Е) с: Е с: Я» (Е). При этом множество Е лежит «строго внутри» многог анника Я» = Я»(Е), т. е. не пересе- Рис, 163 Р, кается с его границей дЯ». Действительно, точка х ~ Е Д дЯ» ие может существовать, так как будучи граничной для Я», оиа принадлежала бы грани некоторого куба ранга А, Поскольку рассматриваемые кубы замкнуты, то поопре- делению многогранника Я» к нему принадлежали бы и все кубы ранга К содержащие указанную грань, ибо она содержит точку хан Е. Тем самым эта точка не была бы граничной для Я». Очевидно, еъ~..
5»~...с:аъс:я»мс:.. о» ~ Ет -» ° ° ° ~ о» -з 8»~т ~... Очевидно, РЯ неотрицательное число или +со. Пусть теперь Š— произвольное множество в Ел. Обозначим через 3» — — з»(Е) множество точек всех и-мерных кубов ранга А, 114 э 44. Кратные интегралы и, следовательно, в силу определения (44.2) рзо --. рва -= ..
° - ра* ==. рзй а =.= ° ° ° рба гэ р5а т» .. °:о. р5» та р5»а» ~.... (44. Э) Таким образом, получились две монотонные последовательности„ членами которых являются элементы расширенного множества действительных чисел гаа (см. п.
2.5), а именно, либо неотрицательные действительные числа, либо -1-со. Поэтому для любого множества Е с: Ян всегда существуют конечные или бесконечные пределы 1ип рай(Е) и !ип р5»(Е). й -+ со й со Определение 1. Конечный или бесконечныйпредел 1!гп рзй(Е) й 4 со называется нижней или внутренней аа-мерной мерой Жордана *1 множества Е и обозначается через р.
Е, р. Еп-' )ип рай(Е), (44.4) й -1- со и предел 1ип у5»(Е) называется верхней или внешней и-мерной й -а. со мерой Жордана множества Е и обозначаепюя через р«Е, р*Е и" Нгп р5» (Е). (44.5) й .1- со Если нижняя р Е и верхняя р'Е меры множества Е конечны и совпадают, то оно называется измеримым по Жордану. Обив.е значение нижней и верхней меры Жордана измеримого множесима Е обозначается через рЕ и называется и-мерной мерой Жордана или и-мерным объемом множества Е: рЕ = р, Е = р*Е. (44. 6) Для пустого множества по определению полагается рф =О,.
Иногда вместо рЕ будем писать р„Е, для того чтобы подчерк- нуть, что речь идет о мере множества. Е, рассматриваемого как подмножество именно и-мерного пространства. В дальнейшем для простоты меру Жордана будем часто назы- вать просто мерой, а множество, измеримое по Жордану, просто измеримым. Под измеримым множеством, как это показывает сам смысл слова «измеримый», в математике подразумевается такое точечнае множество в гео, которое можно каким-то образом измерить, т. е.
сопоставить ему, по определенным правилам, некоторое неотри- .дательное число, являющееся объемом в трехмерном случае, пло- шадью в двумерном и длиной в одномерном. Если размерность о' К. г1(орхааа (1838 — !922) — аррааапузски11 математик. вел. Понлгие объема а п-мсрыом првсгралствс ыб пространства из:3, то множество, измеримое по Жордану в этом пространстве, называется также кубируемым, а в случае п=2— квадрируемым, Термины кубируемое и квадрируемое множество отражают собой тот факт, что указанное выше измерение множества осуществляется посредством кубов, соответственно квадратов. Простым вычислением нетрудно проверить, что если множество Е представляет собой объединение конечного числа различных и-мерных кубов (п=1, 2, ...) данного ранга, тооноизмеримо и его мера Кордана совпадает с мерой, определенной равенством (44.2).
Для любого множества Е при каждом я = О, 1, 2, ..., очевидно, рла(Е) )О, рЯа (Е) г О. Перейдя к пределу при й — ь со, получим р„Е '= О, раЕ г ь О. Отсюда вытекает следующее свойство меры джордана. Свойство 1'. Для всякого измеримого множества рЕ О, Далее заметим, что в силу определений (44.4) и (44.5) для любого множества Е определена конечная или бесконечная нижняя и верхняя меры Жордана. При этом, поскольку для каждого я=О, 1, 2, ... выполняется неравенство 0-=-рва(Е) «=р5а(Е), то, выполнив предельный переход при я-ь со, для любого множества Е будем иметь 0 ~ р, Е «=" р а Е.
Отсюда очевидным образом следует, что если верхняя мера множества Е равна нулю, иеЕ = О, то множество Е измеримо и рЕ = О. Если у множества Е имеется внутренняя точка, то найдется такой номер я„что множество ва, (Е) будет иепустым; следовательно рва, (Е) ) О, откуда в силу (44.3), (44.4) и (44.6) будет следовать, что (ьаЕ) О. В самом деле, если х — внутренняя точка множества Е, то существует такое в)0, что сферическая окрестность У(х, а) содержится в Е. Поэтому достаточно взять такой ранг я„чтобы длина диагонали кубам) ранга й, была меньше е: 10 — а ')l п ( в. Тогда куб Яа ранга й, содержащий точку х (такой куб, по крайней мере один, всегда существует) будет целиком лежать во миоакеетве зы(Е) (рис. 164).
Поэтому рва, (Е) =- )ме" ) О. Из сказанного следует, что нижняя мера Жордана любого открытого множества б всегда пояожителана: р б- О, " Днагональ л-мерного куба с ребром аланы а равна а г'л. й тт'. КратНые интегралы Отметим, что определенный нами ранее в п. 31.1 объем открытого множества совпадает с его нижней мерой Жордана. Однако, для построения достаточно общего аналога интеграла Римана в случае функций многих переменных понятие только нижней меры Жордана оказывается недостаточным. Лля этой цели очень удобно понятие измеримого по Жордану множества.
Если множество Е ограничено, то и Е и р"Е всегда конечны. Лействнтельио, из ограниченности множества Е следует, что оно пересекается только с конечным множеством кубов нулевого ранга и, следовательно, 5»(Е) состоит из конечного числа кубов. Поэтому согласно (44.2) рЕ» (Е) ~+ со. Но при любом й = О, 1, ... а» (Е) с 3» (Е) с: Ба (Е). О == рз» (Е) ~ 1»5» (Е) ( р5» (Е) Поэтому Отсюда, перейдя к пределу при й-ы+со, получим О-= (»ФŠ— (»»Е ~ рЯ» (Е) (+ т. е. меры р,Е и р*Е конечны. Если же множество Е неограничено, то для любого й= =-О, 1, 2, ... множество Я»(Е) состоит из бесконечного количества кубов ранга й.
Поэтому в силу формулы (44.2) для всех й имеем рЯ»(Е)=+ со, следовательно и р"'Е==+ со, т. е. множество Е заведомо не измеримо. Отсюда: если множесоию измеримо по Жордану, то оно ограничено. Как нижняя, так и верхняя меры Жордана обладают так называемым свойством монотонности. Сформулируем его в виде леммы. Лемма 1. Если Е, ~Е„ню р. Е,= р„Ем )»*Е» .
(»"Е». (44 7) Это вытекает непосредственно из того, что при всех А= = О, 1, 2, ... справедливы включения э» (Е,) ~ з» (Е,), Я» (Е») с: Е» (Е,), (44.8) ра»(Е,) ~ рз» (Е»), РБ» (Е,) ~ 1»3»(Е»). Устремив здесь й к +со, получим в пределе (44.7). Д Следствие 1. Если Е»~Е» и рЕ,=О, лю рЕ,=О. ибо первое из ннх означает, что куб ранга й, лежащий в Е„ лежит и в Е„а второе, что куб ранга й, пересекающийся со множеством Е„пересекается и с Е,. И то и другое утверждения следуют из включения Е, с: Е,.
Из (44.8) в силу (44.2) вытекает справедливость неравенств 44./. //оллт!те объел!а в и-ттерном лроттралттсе Действительно, в силу леммы 1 О =: —. О*Ет-я р*Е,= рЕ,=О. Следовательно„р*Е,=О, откуда и рЕ,=О. 1 ) Следствие 2. Если рЕ =. О и Š— замыкание л/ножесптва Е (си. и. 18.2), то рЕ=-О. В самом деле, из условия рЕ= О следует, что для любого е) О существует такой ранг й, что р5л (Е) ( е. Многогранник 5„(Е) состоит из конечного числа замкнутых кубов (если количество кубов ранга й, входящих в множество 5д(Е), было бы бесконечным, то согласно (44.2) была бы бесконечной и его мера: р5л(Е)=+ со) и, следовательно, является замкнутым множеством: 5л(Е) =5„(Е).
Но Е с. 5л(Е), поэтому Ес-5„(Е)=-5,(Е). Отсюда р*Е~р*5л(Е)=р5,(Е), т. е. для л/обого е О: р" Е( е. Это возможно только тогда, когда рЕ =О. П Из леммы 1 для измеримых множеств вытекает следующее свойство. Свойство 2' (моиотонность меры). Если Е, и Ее — ссзтиеримые по Жордану множества и Е,с:. Е„то рЕ,= рЕ,. Лемма 2 (полуаддитивность верхней меры). Для любой конечной совокупности л!нохесп!и Е„Е„..., Е итаеет место неравенство т м р* 0 Ет =- 0 р'Е. (44.10) т'=: ! т=! Доказательство. Для любого ранга А=-О, 1, 2,...справедливо равенство / н 1 и 5л~ ( ) Е/)= Ц 5„(Е/). /=-! /= ! В самом деле, каждый куб ранга й, который пересекается с мнол! жеством Ц Е/, пересекается хотя бы с одним из множеств Е/ и /= ! наоборот.
Поэтому в силу (44,2) р5л ~ и Е/ — — р О 5л (Е/) = ~ р5л(Е/). l" т=! т /=- ! /= ! !Га р .И. 1Грагные интегралы Перейдя здесь к пределу при й-э+со, получим (44.10). П Следствие. Объединение конечного числа множеств меры ноль и.пест меру ноль. Действительно, если рЕ1=0, ).=1, 2, ..., иг, тон силу (44.10) р* () Е1 — л~ раЕ1 = ~~ рЕ1 =О. !=.
! !'= ! 1=- ! Следовательно, множество Ц Е1 измеримо и его верхняя мера, г=-! а иотому и мера равны нулю: р () Е1=0. П 1:= ! У п р а ж н е н и я. !. Показать, что объединение счетной совокупности множеств «кордановой меры ноль могкет не иметь меру ноль. 2. Локазать, что если Е, и Ез — открьпыс множества, то ре (Ет0 Ее):=реЕт+ребм У к а з а н н е. Полезно воспользоваться утверждением, сакер!кап!и!ми в упражнении !! и. г8.3. Будет ли зто неравенство всегда справедливым, т. е. без предположения об открытости мно!кеств Е! и Ет? 3.
Привести пример таких иепересекаюгнихся мно!кеств Е! н Е„что !! (Е! 0 Ег) чь и Ет+р*Е! Критерий измеримости множеств устанавливается следующей теоремой. Теорема 1, Для тово чтобы множество Е было измеримым по Жордану, необходимо и достаточна, чтобы оно было ограниченным и чтобы его гранит(а дЕ имело .неру Жордона, ровную нулго: рдЕ=О. (44.11) Для всякого множества Е обозначим через о„=оа(Е) множество точек тех и только тех кубов ранга гг, которые содержатся в Еа(Е) и не содержатся в з„(Е): оь(Е) = Ц о ~в, о тгь Таким образом, множество о„(Е) состоит нз замкнутых кубов и теоретико-множественная разность Еь (Е)" вь (Е) содержится во множестве о„(Е) н, вообще говоря, не совпадает с ним( С другой стороны 5„(Е)',з„(Е) = оь (Е) е!„ ю Черта над множеством, как всегда, обозначает его заыыкание (см.
и, !8,2), 44.1. Понвтие объема в а-мерном аростронстве Доказательству теоремы 1 предпошлем лемму. Лемма 3. Длл любого ограниченного множества Е с: )сн справедливы включения дЕ с: ае (Е) ~ Я~(дЕ). (44.12) Доказательство леммы. Покажем сначала, что дЕ с: ае (Е). (44.13) Поскольку Е с Я* (Е), то Е ~ Я~ (Е). Множество Зе (Е) состоит, в силу ограниченности множества Е, из конечного числа замкнутых кубов и поэтому замкнуто: Яе(Е)=Ее(Е). Следовательно, для любого й=О, 1, 2, ..., Е с:Ее(Е), а значит и дЕ с: Яе (Е), ибо дЕ с: Е. Возьмем какую-либо граничную точку х множества Е: х ~ дЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
