kudryavtsev2a (947416), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Задача 31. Построить пример кривой Пеано. Теорема 4. Всякая плоская спрял!ляемая кривая имеет меру ноль. Док аз а тельство. Пусть задана спрямляемая кривая у, длина которой равна 5. Пусть, далее г=г(1), а(1~Ь, — некоторое представление кривой у. Разобьем ее последовательно, т. е.
в порядке воз- и! растаиня параметра 1, точками г (0), (а, Ь), '=0, 1, ...,, (о=а,( =Ь, г(о) па т равных по длине частей, т. е. возь- ' !33 мем такое разбиение т=(1!)'=" отрез! !=о г1е К и ка (а, Ь1, чтобы длина каждой части у! (кривой т), задаваемой представлением к, г=г(1), 1е, =.1==1!, !'=1, 2, ..., пз, имела длину 5ьп. Рис. 169 Обозначим через К; замкнутый круг с центром в точке г (1! !) и радиусом 5/!и.
Поскольку дуга у! имеет длину 5/и и ее начало является центром круга Кг, то вся она лежит в этом круге (рис. 169). Отсюда вытекает, что вся кривая у содержится в объединении кругов К;: ус Ц К!. г= — 1 Слсдователыю, в силу монотонности и полуадднтивности в рхнсй меры (см. леммы 1 и 2 в п. 44.1) ы ы Р*у--р* 0 Ке- Х рвК!. (44.40) е=! т Я 12 Но Р еК! = РК! = и ~ — !, !' = 1, ..., и * е 1, поэтому из (44 40) имеем — Ж, )ьеу(п5з,'и!.
Левая часть неравенства не зависит от ш, а правая — стремится к нулю, при пз-ь+оп, вследствие чего му= О. ( ) *' Д. П е а н о (!838 — 1932) — итальянский математик. ью Действительно, окружность С, являющуюся границей круга К,можно представить как объедияение двух полуокружностей, каждая из которых представляет собой график непрерывной на отрезке функции. Поэтому согласно теореме 3 РС=О, следовательно, всякий круг К является измеримым множеством В кудрявцев и. д. т. в гзо й' г4. Кратные пнтегралм Упражнение 5.
Доказать, что всякая спрямляемая кривая в трехмерном пространстве имеет меру ноль. Из теорем 1 и 4 следует, что всякое ограниченное плоское множество, граница которого является спрямляемой кривой, измеримо. 44.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОГО ИПТКГРАЛА Сформулируем определение кратного интеграла Римана. Для этого введем прежде всего понятие разбиения измеримого множества и понятие мелкости этого разбиения. Пусть Š— измеримое по Жордану множество, Е с: г(а. Конечная система т=(Е!),':(!' непустых измеримых по джордану множеств Е„г=1, 2, ..., г„называется разбиением мнолсеспгва Е, если 1) попарные пересечения множеств Е! имеют меру ноль: р(ЕгПЕ)=-О !'Ф!' га 2) Ц Ег=Е; г= ! Число 6„= !пах г((Е!), где г((Е!) — диаметр множества Ео называется ме,гкостыю разбиения т. В силу аддитивности меры джордана для всякого разбиения т=(Е!);'=!' множества Е имеем КЕ= ~~ рЕо (44.41) г=! то пэ всего этого, вследствие аддитивности меры следует, что и га рЕ= ~Х, 'рЕ;""+рЕ*= )~ рЕп ( ) г= ! ! —.— ! Действительно, пусть при фиксированном ! Е; =- ( )' Е! () Е! н гФ! Е*= О Е;".
Тогда, в силу п. 1) определения разбиения множег= ! ства р(ЕгП Е~) =О, !~1, поэтому рЕгк=-- У, )г(ЕгПЕг) =О, т. е. ! м! и рЕ;*=О. Отсюда рЕа =. '~~~ р,Е,*=-О, следовательно гьЕе=О. Кроме г= 1 того, множества Е*, Е; Е*=Е,'" г=-1, 2, ..., г„попарно не пересекаются и в силу п. 2) ( ) Ег*е()Е*= Ц Ег=Е. Поскольку г=! г=- ! ггЕ! = и (Е!'ч,Е") = ггЕга*, 44.3. Олреоеление кратного интеграла Для простоты обозначений иногда вместо (Е!),' !' будем писать (Е!). Пусть т = (Е;) и т' = (Е!) — разбиения измеримого множества Е. Разбиение т" называется вписанным в разбиение т, если для каждого Е; ест' существует такой элемент Е; ент, что Е;.с Еь В этом случае пишут т'У- т или т -',т'.
Отметим два свойства разбиений множества. 1'. Если т -4т' и т' -4т", то т -,'т". 2'. Для любых двух разбиений т'= (ЕД и т" =(Е(г) измерилюго множесп(ва Е суи(ествует такое его разбиение т, г(пю тг- т' и г',— т". Свойство 1' очевидным образом следует из определения вписанного разбиения, В качестве же указанного в свойстве 2' разбиения т можно взять множество всевозможных непустых пересечений Е; !"! Е;-.
Прпмером разбиения измеримого множества является совокупность всевозможных непустых пересечений данного множества с кубами некоторого фиксированного ранга й. Отсюда видно, что для всякого измеримого множества существуют разбиения сколь угодно малой мелкости. Определение 3. Пусть на измеримом по Жордану множестве Е с: )си задана фунт(иия у=!" (х) =1" (х„..., х„) и т — — (Е!)(=(ь — некотпорое разбиение л(ножества Е; выберем произвольным образом точки ь((! е.:-Еь ! = 1, 2, ..., (е.
Сумма вида а = ат ((г; еь((! ... «и(! !) = '~ ) (ть(!)) !«Е! (44 42) (= ! называется интегральной суммой Римана функи(ги 1. Подобно случаю функции одного переменного определение кратного интеграла можно сформулировать, используя понятие предела последовательности или «язык е — Ь>. Определение 4. Число А называется интегралом Римана отп функ((ии 1 по измеримому по 7Кордану множеству Е с: й", если ,и! ( ((ет! какова бы ни была последовательность разбиений т =(Е(1(- ! т=1, 2, ..., множества Е такая, что мелкости разбиений т стремятся к нулю при т-г-+со: 1пп б, =О, и каковы бы ни ~П-+ СО были точки $" ' ен ЕT, ! = 1, 2, ..., (( ', последовательность интегральных сумм о; (1; $(1 ™1, ..., Ц(" ' 'д) при т — «+со имеет своим пределом число А: !!щ а, Ц; ~(! "", " ° $(( ' ))= 4 (44'1З) ~2 +СО Интеграл от функции 1 по множеству Е обозначается через )г(х) йЕ или )') ...
)1(х(, х„..., хе)((хл((х, ... Их„. 132 4 Ж Кратные антегралоо Если существует интеграл ))'(х) йЕ, то функция 7 называется интегрируемой но Рииану на множестве Е. Интегрируемые по Риману функции часто будем называть просто интегрируемыми. Равенство (44.43), т. е. определение интеграла, кратко записывается в виде формулы ~~(х) г(Е= !пп о,. (44.44) о, о В терминах е и 6 этот предел означает следующее: для любого г О существует такое 6,) О, что каково бы ни бьио разбиение т=(Ег)): 1ч мновхества Е мелкости 6,(6, и каковы бы ни быти точки ~и> ~ Еь ю'=-1, 2, ..., (о, выполняется неравенство !о.(>"' Р> " био) — $~(х)г(Е~(е.
(44.45) Обычным путем доказывается, что определения (44.43) и (44.45) предела интегральных сумм эквивалентны. Отметим, что определение интеграла (44.44), в случае, когда и=1, а множеством, по которому производится интегрирование, является отрезок, формально не совпадает с данным ранее определением интеграла Римана от функции одной переменной, так как там рассматривались лишь разбиения отрезка на отрезки, а теперь рассматриваются всевозможные разбиения отрезка на измеримые по джордану множества.
Однако, можно показать (это будет сделано в п. 44.7о), что при и=1 оба определения для случая, когда множество, по которому производится интегрирование, является отрезком, равносильны, т. е. приводят к одному и тому же понятию интегрируемости функции и к одному и тому же понятию интеграла. При определении интеграла по множеству Е~)7н можно для составления интегральных сумм использовать не все элементы разбиений т множества Е, а отбрасывать те слагаемые, которые соответствуют элементам разбиения, замыкания которых пересекаются с некоторым фиксированным множеством меры ноль.
Проанализируем это обстоятельство подробнее. Пусть Š— измеримое множество, Е,с: Е и т=(Ел>,-='~' — разбиение множества Е. Обозначим через т(Е,) совокупность тех элементов разбиения т, замыкания которых не пересекаются со миолссством Е;. х(Е ) (Е . Е () Е ((> Е> е= т) (44.46) а через то(Ео) — наоборот, совокупность тех Е;, для которых их замыкания Е> перссекаются с Е;. то (Ео) = (Ео: Е> () Ео Ф ((>. Е; е:- т).
(44.47) Во.8. Определение кратного интеграла 1пп У, рЕ; =О. (44.48) ок- о в,его(во) Суммирование в формуле (44.48) происходит только по тем индексам (, для которых Ее ~ то(Ео). Доказательство. Пусть Е, с: Е и рЕо=О; тогда и )гЕо=О (см. в п. 44.1 замечание после доказательства аддитивности меры). Поэтому для любого е'.~0 существует такой ранг )г, что Я )оео(Ео)(е. Ео Здесь, как всегда, Ео(Ео) обозначает совокупность точек всех кубов ранга й, пересекающихся со множеством Ео и, следовательно, покрывающих его: Ео с: Ео(Ео)- 3~(Ед) Напомним, что Е, лежит строго внутри многогранника 5о (Е,), т.
е. не пересекается с его границеи (см. п. 44.1). Поскольку множество Е, ограничено н замкнуто, а граница дЯо(Ео) многогранника Бо(Ео), как и граница любого множества, замкнута, то Е, и д8о(Е) находятся на положительном расстоянии б друг от друга (см. лемму 7 в п. 18.2). (44.49) 6 = р (Еог дЕо (Е)) ) О. (44.50) Поэтому всякое множество 1) с диаметром г)(0), меньшим чем 6, пересекающееся со множеством Еос: Е„будет целиком лежать в Яо(Ео) (рис. 170). Действительно, если с)(О)(6 н существует х вв1) () Е„то (см. (44.50)) 0 с: У(х, 6) ~ Ео(Е,), где, как обычно, У(х, 6) — шаровая окрестность точки х радиуса б. Пусть теперь т = (Ег) — разбиение множества Е мелкости 6„(6.
Тогда для всякого элемента Ее этого разбиения, замыкание которого пересекается с множеством Е„т. е. для каждого Е; е: — то(Ео), будем иметь Е; ~ Ее (Ео). Поэтому и ' '( в; а ко(во) Следовательно, в силу (44.49) рЕ;=р Ц Ег~рЕо(Ео)(е Д лгмоо(ло) ломко(со) Введем еще одно обозначение. Пусть Š— измеримое множество, т=(Е,",; 7 — некоторое его разбиение, Ео~ Е. Для всякойфунк- Лемма 6. Пусть Š— измеримое по Жордану множество пространства )7", Е, с: Е а (лЕо= О. Тогда У 44, Кратно«г вите«роли ции 1, определенной на Е, положим (см. (44.46) и (44.47)) о«(е,) =о«(е,) (Д $(«)» ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
