kudryavtsev2a (947416), страница 29
Текст из файла (страница 29)
[ ] 44.6. СВОЙСТВА КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА В этом пункте будут рассмотрены свойства кратного интеграла, аналогичные свойствам интеграла от функции одного переменного по отрезку. Напомним, что пнтегрируемость какой-либо функции (по Римаиу) на некотором множестве предполагает его измеримость по Жордану.
Каждое множество Е;ест либо пересекается с б, либо нет. В случае непересечения, т, е. если Е;Пб= ф, то Е, ~Р, и для таких индексов 1 имеем М;=М~, еп,=т(, Е;ПР=Е;, Поскольку Еасоф и Е; с: Е=Р()б„то из ЕеП6 =ф следует„что Е;с:Р и, следовательно, Е;ПР~=ф.
Поэтому, заметив„что в ииженаписанных суммах все слагаемые неотрицательны, получим: (М; — и;) рЕ; =,У, '(М; — и,') ЙЕ; == аепс=Ф Еепс=Ф (М вЂ” и ) р(Е;() Р)=5,.— с,„с -„; —. (44.67) н пе~Ф 44.б. Своаства кратного интеграла 1'. Пусть Š— измерилгое множество; тогда ~ т(Е =рЕ. Действительно, в данном случае подынтегральная функция тождественно равна единице. Поэтому, если т = (Ег)1=(' — некоторое разбиение множества Е, то (см. (44.41)) 1) ЙЕ = 1пп ~ рЕ; = рЕ. б о 2'. Пусть Е и Е* — измеримые множессава, Е* с: Е и функция 7" ограничена и интегрируема на Е; тогда она и тегрируема и на Е'". В самом деле, множество Е** =Е,Е* также измеримо, как разность двух измеримых множеств.
Пусть т* = (ЕЦ вЂ” разбиение множества Е* мелкости 6, и т"*=(Е,*в) — разбиение множества Е'* мелкости 6,*. — 6,*. Тогда т=(Е,"., Етт'"') является разбиением множества Е мелкости 6,=6,*. Если тот= ~Х"„отУ, Ег*) рЕ; + ~ то(~, Е;*) рЕ~* ьтт.= ); соК Ер) рЕ7, то, очевидно,О~от,*:= ьт,. Но 1пп от,=О, а поэтому!пп ьтт.=О, в -о т ьт.-о откуда и следует интегрируемость функции 1" на множестве Е" (см. (44.59)).
3'. Аддитивность интеграла по множествам. Если Е' и Е"— измерилгые множества, Е = Е' и Е", Е' П Е" = ф и функция 7 ограничена и интегрируема на лгножестве Е, то интегралы ')7'(х) дЕ' и )7(х) ЙЕ" суи(ествугот и ) 1' (х) г(Е = '1 Г'(х) с(Е'+ ~ ~ (х) с(Е, (44.70) Поскольку существование интегралов ~ ) (х) г(Е' и ) 7 (х) дЕ" следует из свойства 2', то нуждается в доказательстве лишь формула (44.70). Пусть т' = (Ег) и т" = (Е;") — разбиения соответственно множеств Е' и Е". Тогда т=(Е;, Етт) является разбиением множества Е, и его мелкость равна наибольшей из мелкостей разбиений 6, и 6,-:б„=шах(6,, бе). Пусть $"' ен Е~э т10~ он Ег, 6Е = ~,') фп)рЕ(, ат-= ~Х',~(т1ОО) рЕ4' о„=о, +а,-. (44.71) 6 44.
Кратные интегралы В силу интегрируемости функции ) на множествах Е, Е' и Е" 11ш о, = 11 (х) г(Е, Ит он = ) 7 (х) дЕ', Вгп о,- = ) 1 (х) г(Е". О,-О бг О бт ° О Поэтому, переходя к пределу в равенстве (44.71) при б,-~О получим (44.70), 3 а м е ч а н и е. Следует обратить внимание на следующее обстоятельство: может случиться, что функция 1 определена на множестве Е=Е'0Е", где Е' и Е" — измеримые множества, Е'П Д Ее = ф, интегралы ) р" (х) г(Е' и ) 7 (х) ИЕ" существуют, а интеграл ~7'(х) ЬЕ не существует.
Поясним сказанное на примере. Пусть (т, тр) — полярные координаты точки на плоскости, О, если г(1, Пт, р)= 1!тр, если г=1, 0(тр~2тт, Е'=1(т, тр): т(1) — открытый круг, Ен=((т, тр): т=1) — окружность. Очевидно, 1лЕ"=О, а поэтому, несмотря на то, что функция 1 неограничена на Е" она интегрируема и )1'(т, тр)г(Е"=О. Существует и интеграл ~ Г (г, От) г(Е' = О. Однако, интеграл ~ 1(т, тр) г(Е по замкнутому кругу Е = Е' () Е" не существует.
Действительно, множество Е представляет собой замыкание области, поэтому у него существуют сколь угодно мелкие разбиения, все элементы которых имеют положительную меру. Следовательно (см. замечание к теореме 7), всякая интегрируемая на Е функция ограничена, а заданная функция 1 неограничена и потому не интегрируема. Важно отметить, однако, что для ограниченных функций подобной ситуации быть не может: если функция 7 ограничена и интегрируема на измеримых множествах Е' и Е", Е'() Е"= г0„то она интегрируема и на множестве Е=Е'ЦЕ", причем справедлива формула (44.70).
Это будет доказано в п. 44.7'. Заметим лишь, что в случае, когда одно из множеств Е' илн Е' имеет меру ноль, то интегрируемость ограниченной функции 7 на их объединении, в предположении ее интегрируемости на каждом из них, можно получить почти дословным повторением рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 10. В самом деле, пусть ( интегрируема и ограничена на измеримых множествах Е' н Е", 1лЕ'=О, Е=Е'() Е". Тогда, если, как и в указанном доказательстве, построить множество б.:гЕ' (множество Е' играет здесь роль множества Е, из теоремы 10) и положить Р = = Е' 6, то будем иметь Р с Е" и, следовательно, в силу свойства 2' интегралов, функция 1 окажется интегрируемой на множестве Р, откуда, как и выше, вытекает ее интегрируемость на 44.б.
Свойства кратного интеграла 147 множестве Е, а, значит, в силу свойства 3', и справедливость формулы (44.?0), где $1(х)с(Е'=О. Подобным методом, только более сложным путем, можно доказать и общее утверждение. 4'. Линейность интеграла. Если функции 1, и 1, интегрируемы на множестве Е, то для любых чисел Л, и Ла сусцествуепс интеграл ) [Ласс (х)+ Леса (х)) дЕ и справедливо равенство ) [Щ (х) + Щ (х)) дЕ = Ла ~ ~, (х) дЕ+ Л, ~ [е (х) дЕ.
5 . Если функции С' и д инпсегрируемьс и ограничены на некопсором множестве, то и их произведение и отношение [1д (при 1п1 ~д~)0) инспегрссруемы на этом лсножестве. с б'. Интегрирование неравенств. Если функции 1 и д интегрируемьс на лсножестве Е, и для всех х е= Е выполняеспся йеравенспсво С'(х) =-д(х), то ~С'(х) дЕ =.)д(х) с(Е. 7'. Если функция с" интегрируелса и ограничена на множестве Е, тогда и ее абсолютная величина )[~ интегрируелса на нелс, при чем / $ 1 (х) дЕ ~ ~ $ ~1 (х) / дЕ. Доказательство свойств 4', 5', б', 7' проводится соверщенно аналогична одномерному случаю (см.
п. 28.1). 8'. Монотонность интеграла от неотрицательных функций по множествам. Если Е и Ев — измеримые множества, Е' ~ Е, функция С" неотрицательна, ограничена и интегрируема на Е, псо ) [(х) дЕ*~~[(х) дЕ. (44.?2) Действительно, в силу свойств 2' и 3' интегралы ~1(х) дЕ* и ))(х)д(Е" Е") существуют и ~ 1 (х) дЕ = ~1 (х) дЕ*+ ~ 1(х) д (Е'~ Е*).
Поскольку 1(х)=.-0, то в силу свойства б' ~7'(х)д(Е~,Е*)- О, а отсюда и следует неравенство (44.72). 9'. Пусть функция 1 интегрируема и неотрицательна на измерссмолс открытолс множестве 6, х'он 6, функция 1 непрерывна в точке к<ос и 1(хсос) ) О. Тогда ) 1 (х) д6 ) О. (44.73) Действительно, в силу непрерывности функции 1 в точке хс'1 для любого е) 0 существует такая окрестность У=У(х<ос) этой точки, что для всех х~ У выполняется неравенство 1(хсо1) — е (1(х)([(хсо1)+е. При этом в силу открытости множества 6 окрестность У всегда можно выбрать так, чтобы У с:.
6. У 44. Кратные интегралы 148 Тогда !пп ~/(х) 41Е,=~('(х)с(Е. » +со (44.75) В силу аддитивности интеграла имеем: ~)'(х) ЙŠ— ~ ~(х)АЕ» = ~ 7'(х) д(Е',Е»). Поскольку по условию функция Г ограничена, т. е. суп(ествует такая постоянная М) О, что ~("(х)(-=М для всех хин Е, то ~ $( (х) с(Š— $7'(х)дЕ»~ = /$7'(х) д(Е' Е») /-- «-. $ (1 (х) ~ д (Е" Е») "=. М ~ д (Е ° Е») = Л49 (Е' Е»). По аддитивности меры имеем (»(Еь,Е») =рŠ— рЕ», следова- тельно ~ $ ~(х) ЙŠ— $ 7(х) с(Е» ~ ( М ((»Е — рйь).
Отсюда в силу (44.74) и следует (44.75), Д 11'. Теорема о среднем. Пусть функции 7' и у ограничены и интпегрируемы на множестве Е. Если функция д нг меняепт знака на Е и т==у(х)=М, хин Е, то суи(ествует такое число Л, тк л --М, ччто ~ ~ (х) у (х) дЕ =- )ь ~ у (х) дЕ. *' С последовательностими ичмеримых миолсеств, обладающих свойством (44.74).мы у>ие встречались, см. иапрвмер, теорему 2 вп.
31.2. 1(х'ь~) Выбрав в= — получим для него такую окрестность У, что 2 для всех х, принадлежап(их этой окрестности будем иметь т(х)) -> —. Отсюда, применяя последовательно свойства 8 „6 и 1, ((х<ь') а а ь найдем, что ~ 7'( ) ж = ~ 1 ( ) дП "", ' ~ ди =- ","' р(У--О, ибо (ьУ) О, как мера всякого открытого множества. ( ) Отметим непосредственное следствие из свойства 9'.
Следствие. Если функция (' непрерывна, интегрируема и неотрицательна на измеримом открытом множестве 6 и не являепия тождественным нулем, то ~7" (х) дб)0. 10'. Полная адднтивность интеграла по множествам. Пусть функция 7 ограничена и интегрируема на множестве Е, а (Е„), й = 1, 2...
— последовательность таких излмри,иых множеств Е» с:. Е, что 11гп рЕ»=(ьЕ. "1 (44. 74) » +сь 44.7". Критерии ннтегрнруемаетн функций Римана и Дарбу 149 Следствие. П!)сть Š— измеримое линейно связное множество или замьгкание линейно связного множества. Тогда если функция !' ограничена, интегрируелта и непрерывна на Е, то существует такал точка 5 ен Е, что ))"(х) дЕ=7($))»Е. Теорема о среднем доказывается соверптенно аналогично одномерному случаю (см.
п. 28.2), Для получения следствия надо использовать теорему о промежуточных значениях функции, непрерывной на ливейно связном множестве или на его замыкании (см. п. 19.5). 44.7*. КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ РИМАНА И ДАРБУ И ИХ СЯЕДСТЫИЯ Пусть функция 7 определена и ограничена на измеримом по джордану множестве Е, т = (Е!)',: — '; — его разбиение, тп! = )п1 7', и т Ме=я!р), з»= г, 'т,)»Ет, 5,= '7, 'М,РЕ; — нижняя и верхняя Е суммы Дарбу, соответствующие разбиению т.
Положим 7» =ьпр з„)*=1п(5,; » (44.76) 7 называется нижним, а )о — верхним интегралом Дарбу функцйи 7. Оказывается, что нижний и верхний интегралы Дарбу являются не только соответственно верхней и нижней гранью интегральных сумм Дарбу, но и их пределом при условии, что мелкость разбиений стремится к нулю. Теорема 1!. Если функция )' ограничена на измеримом по Жордану лтножестве Е, то уо = 1!гп 5». б -о ), = 1!гп в„ б о в ° )! 3' и Здесь з»*= '~~ !!те(тЕ7, те=!п17", г'=1, 2, ..., !',.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
