kudryavtsev2a (947416), страница 31
Текст из файла (страница 31)
п. 44.6, свойство 3) в следующем виде: если ограниченная фрнкт4ия 7 интегрируема на непересекающихся множествах Е и Ет, то она интегрируема и на множестве Е = Е, () Е,. Действительно, если функция Г ограничена и интегрируема на множествах Е, и Е„то, в силу теоремы 13, для любого е) - О существуют разбиения т, и т, соответственно множеств Е, и Е, такие, что (44.93) Поскольку т=тт()то является разбиением множества Е=Е,ОЕо и соответствующие ему верхняя 5, и нижняя в, суммы Дарбу выражаются через аналогичные суммы Дарбу, соответствующие РазбиениЯм т, и с„по фоРмУлам Зн=Ят,+Ят„вт=вт,+вч то вычитая из первого из этих равенств второе, получаем в силу (44.
93) Ет — вт=(Зт, вс,)+(Зт,— вп) к-е. Из выполнения этого условия следует (снова согласно теореме 13), что функция 7' интегрируема на множестве Е. Замечание 2. Как уже отмечалось в и. 44.3, для функций одной переменной, определенных на отрезках, мы располагаем двумя определениями интеграла, а именно, определением, данным в п.
27.1 — с помощью разбиений отрезков только иа отрезки, и определением из п. 44.3 — с помощью разбиений отрезков на любые измеримые по джордану множества. Эти два определения эквивалентны. Докажем это. И при первом и при втором определении необходимым условием интегрируемости является ограниченность рассматриваемой функции: см. теорему 1 в п. 27.2 и замечание к теореме 7 в п.
44.4. (отрезок является замыканием интервала, т. е. замыканием открытого множества). Поэтому рассмотрим Э 44. Кратные интегралы ограниченную на некотором отрезке [а, Ь1 функцию 7. Пусть г* для этой функции существует интеграл У= 1пп ~', 7" Я;))еЕг в о, о, смысле п. 44.3, т. е. для всевозможных разбиений т= [Ег)';=:1' отрезка [а, Ь1 на измеримые по джордану множества Еп Тогда, если ограничиться лишь частью разбиений т, для которых все множества Е; являются отрезками, то при 6,-~.0 предел интегт гральных сумм ~Ч~ [(ЦГгЕт по указанной части разбиений также г=! будет существовать и будет равен тому же числу 7. Следова- тельно, если существует интеграл в смысле п. 44.3, то он су- ществует и в смысле п.
27.1. Пусть, наоборот, существует интеграл 7 = ~Г" (х) дх в смысле а и. 27.1. Тогда согласно теореме 2 из п. 27.4 1пп (5,— зт)=0, где т — разбиение отрезка [а, 61 на отрезки. о -о Следовательно, для любого е)0 существует такое 6~0, что для всякого разбиения т отрезка [а, Ь1 на отрезки длин, не превышающих 6, справедливо неравенство 5,— з, -е. Но уже из того, что существует по крайней мере одно разбиение т, для которого выполняется неравенство 5„— з, ( а, следует, согласно теореме 13 из этого пункта, что функция 7' интегрируема в смысле определения п. 44.3. Итак, оба определения интеграла по отрезку действительно эквивалентны. Замечание 3. Из доказанного вытекает также следующее усиление достаточных условий интегрпруемости функции, доказанных в теореме 2 из п. 27.4: для интегрируемости функции 1 на отрезке [а, Ь1 в смысле определения интеграла в п.
27.1 достаточно, чтобы для любого е~О нашлось хотя бы одно такое разбиение т отрезка [а, Ь1 на отрезки, что для нижних н верхних сумм Дарбу соответствующих этому разбиению, выполнялось бы неравенство 5,— зт е. Действительно, в этом случае функция 7 интегрируема на отрезке [а, Ь1 в смысле п. 44.3, а потому, согласно доказанному, и в смысле п. 27.1. Замечание 4. Из предыдущего замечания непосредственно следует, что функция 7, ограниченная на некотором отрезке [а, Ь) и интегрируемая по Риману на любом отрезке [а, т)1, а( т1 СЬ, интегрируема и на всем отрезке [а, Ь1 (это факт был отмечен нами без доказательства в п.
33.1). Действительно, если ~г'(х)( М, хев[а, Ь1, и задано е>0, то выберем 6, 0(6<Ь— — а, так, чтобы 6(4д-. Тогда в силу пнтегрируемости функции 157 45.1. Сведение двойного интеграла н вовторнова 1 на отрезке [а, Ь вЂ” 51 существует такое его разбиение т, что если зт н о,— нижняя и верхняя суммы Дарбу функции для этого разбиения, то е ~т Зт н' 2' Обозначим через тв разбиение отрезка [а, Ь'Ь получающееся нз разбиения т, отрезка [а, Ь вЂ” 61 добавлением точки Ь: т,= =т() [Ь), и пусть птв= ш1 1'(х), М,= зцр 1(х).
Если в„и 1ь — б, ь1 [ь-б, ы Яч — нижняя и верхняя суммы Дарбу функции для разбиения ть, то Бт,=от+Май, зт.=зт+птвб. Поэтому Ьн зч — ~т вт+(Мв — рте)б( 2+2МЬ= — +, =е и, следовательно, согласно замечанию 3, функция 1 интегрпру- ема по Риману на отрезке [а, Ь). й 45. СВЕДЕНИЕ КРАТ1ЮГО ИНТЕГРАЛА К НОВТОРНОИУ Перейдем теперь к свойствам кратного интеграла, связанным со специфическими чертами, отличающими многомерный случай от одномерного.
Использование этих свойств часто существенно облегчает вычисление конкретных кратных интегралов. Полные доказательства будут проводиться лишь для случая функций двух переменных. Общий, и-мерный случай, в идейном отношении не отличается от плоского, однако рассуждения там принимают более громоздкий и трудно обозримый вид. 45Л. СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРПОМвт В настоящем параграфе будет показано, что интегрирование функций многих переменных может быть сведено к последовательному интегрированию функций одной переменной. Начнем с того, что определим понятие повторного интеграла. Пусть на отрезке [а, Ь1 заданы непрерывные функции тр(х) и ф(х), такие, что тр(х) =ф(х), а~х сЬ, и пусть на множестве (рнс.
173) Е= [(х, у):а(х~ Ь, тр(х)=-11~ ф(х)) (45.1) определена функция [(х, у). Если для любого фиксированного х ~[а, Ь'1 функция 1(х, В), как функция переменного у, иитегрируема на отрезке [тр (х), ~3:(х)], 158 Э кь. Сведение кратного интеграла к повторному Ь(к) т. е.
при любом хе=[а, Ь) существует интеграл ~ )(х, у)((х и я (к) функция т) (к) Е (х) = $ 1(х, У)((У ср (к) (45.4) интегрнруема на отрезке 1а, Ь), то интеграл ([( )(*, к)гк)к. (45,3) о т() называется повторныл( интегралом и обозначается через ь ь(к) ) ((х ~ 1(х, у)((у. а <Р (к) Функция Е (х), задаваемая равенством (45.2), называется интегралом, зависящим от параметра х. Таким образом, повторный интеграл (45.4) является интегралом от интеграла, зависящего от параметра (см.
также э 53, 54). Е Заметим, что множество Е, задаваемое формулой (45.1) измеримо в смысле плоской ')'(х) меры джордана и замкнуто. Действительно из непрерывности функций (р и ф на отрезке [а, Ь) следует их ограниченность, а парис, (та этому множество Е ограничено. Далее, его граница дЕ состоит из графиков указанных функций (р и (р, а также, быть может„ отрезков прямых х =а и х= Ь. Каждое из указанных множеств имеет меру ноль (см. теорему 3 в п. 44.2), а поэтому и граница дЕ множества Е также имеет меру ноль. Наконец, множество Е задается с помощью нестрогих неравенств а(х~Ь, (()(х)~у(ф(х)„где функции (р и )р непрерывны, следовательно, эти неравенства сохраняются и при предельном переходе, откуда и вытекает замкнутость множества Е.
Таким образом, Š— измеримый компакт. Достаточные условия для возможности сведения двукратного интеграла к повторному даются следующей теоремой. Теорема 1. Пусть функция 1(х, у) непрериана на л(ноьхестпве Е, заданнол( формулой (45.1). Тогда $ (к) Ц ) (х, у) ((х((у = ~ ((х ~ ((х, у) с(у, (45 5) Е а т(к) Доказательству теоремы предпошлем следующую лемму.
Лемма 1. В пред))вложениях теорел(ы 1 функция (45.2) непрерьмна на отрезке [и, Ь). 45.1. Сведение даоиного интеграла к повторному Доказательство леммы. Прежде всего заметим, что интеграл (45.2) существует при любом хан [а, Ь). Действительно, функция р(х, у), будучи непрерывной по совокупности переменных х и у, непрерывна по каждому из них. Поэтому указанный интеграл существует как интеграл от непрерывной по у функции на отрезке [(р (х), «р (х)). Выполнив в этом интеграле замену переменной у на 1 по формуле у= р( )+[ф(х) — «р(х))(, О 1 1, (45.6) получим 1 Р(х) =)! [х, «р(х)+(ф(х) — «р(х)) Г)(ф(х) — «р(х))«11.
о Положим у (х, О = ~ [х, (р (х) + (ф (х) — «р (х)) 1) (ф (х) — «р (х)) . (45.7) Таким образом, для функции Р(х) (см. (45.2)) в силу (45.7) имеет место более простое представление ! Р(х) =)д(х, 1)«(1 о (более простое в том смысле, что в нем постоянны пределы интегрирования). Пусть теперь хан [и, Ь|, х+Лхя [а, Ь). Обозначим через «а(б; д) модуль непрерывности (см.
п. 19.6) функции у(х, 1). Тогда 1 1 (е( -~е'( — е(1(- $«( ее*, ~(е( — 5«(, О'"/~ о о 1 а-~~д(х+Лх, 1) — у(х, ()(й==«о(~Лх~; д). (45.8) о Функция у(х, ~), будучи непрерывной на ограниченном замкнутом множестве Л, равномерно непрерывно на ием, а поэтому (см. и. 19.6) Игп «а (6; у) = О, Отсюда в силу неравенства (45.8) имеем: в-о Ип« [Р(х+Лх) — Р(х)1=0, вк о Поскольку функция д(х, 1) получается с помощью арифметических операций и композиции из непрерывных функций р, «р, 1(Р и (45.6), то в силу теоремы о непрерывных функциях (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
