kudryavtsev2a (947416), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. что рр(5) = рЕ (5)+ей-', (46.11) где г стремится к нулю равномерно на множестве А, когда длина й стороны квадрата 5 стремится к нулю (опред ление равномерного стремления функции к пределу см. в и. 39.4). Поскольку (см. (46.8)) рР (5) = ),? (и., оь) ~ 95 (46.12) !>5 =)>к, то пз (46.11) непосредственно следует утверждение теоремы, т.
ег формула (46.10). а~ Таким образок>, А ы (аь, а„). женпя Е совпадает с якобианом )(и, о) отображения г" в точке (и„о„). Таким образом, в рассматриваемом папи случае для отображения (46.?) имеем — ~=~ )(ио, ь)! ,р (5) а„а„ (46.8) И5 атп ам ~ ' О О Непрерывяо дифференцпруемое отображение Р в окрестности точки (и„, оа) отличается от линейного отображения г" на бесконечно малую функпию более высокого порядка, чем приращение аргументов (см. (46.6)). Покажем, что отсюда следует справедливость равенства г)б.!, Геог!стоически!! смысл лгог)аля якобиана !73 Переходя к доказательству формулы (46.1! ), зафиксируем прежде всего множество А, Поскольку А компакт н А с 6, то функции и! =в;(и„оо, Ли, ь»о), !=1, 2 (см.
(46.6)) равномерно стремятся к нулю на множестве А при г- 0 (см. замечание к теореме 4 в п. 20.2, а также п. 39.4). Множества А и Е;-'„'~6 не пересекаются н замкнуты, и кроме того, А ограничено, а поэтому (см. лемму 7 в п. 18.2) т) =р(А, Е„'„,6) ) О. В дальнейшем будем й всегда выбирать таким, что,'й):: «) .
Р2 В этом случае из того, что (и„оо) ен А, следует, что 5 с- 6. Оценим расстояние между образами одной н той же точки квадрата 5 при отображениях Е и Р. Пусть М=(и, о) с5, Е(М)=(х, у) и Е(М)=(Х, д). Тогда из (46.6) и (46.7) получим х=Х+егг, у=у+иве н, следовательно, р(Е(М), Е(М))=)Г(х — х)'+(у — у)-=г)г ег+ео Поскольку и — расстояние от вершины (и,, оо) квадрата 5 до точки Мин 5, а )й~ )г 2 — длина диагонали квадрата 5, то, очевидно, выполняется неравенство г - )й)) 2, а потому бе имеем г) =- зпр р()о(М), Е(гЧ))( маз ==-,'й ! еа(ио оо й), (46 13) » где еа = еа (и„о„й) =- гг !г = знр )Г2(е»+ео) при й- 0 ыез стремится к нулю равномерно на множестве А.
Рис. !82 Построим замкнутый 5," и открытый 5;""' параллелограммы со сторонами, параллельными сторонам параллелограмма 5 =Е(5) и отстоящими от его соответствующих сторон на расстояние г1 (рис. 182), так, чтобы 5! с 5 = Е (5) с 5,. (46.14) Прежде всего покажем, что при достаточно малых й множество 5; не пусто. Более того, покажеро что параллелограмм 5! содержит в себе круг радиуса г( с центром в центре параллелограмма 5.
"" «е» — начальнаи буква латинского слова сх(ег!ог (внешний). "*' «Ь — начальнаи буква латинского слова пясг!ог (внутйенппй). ° л у чб. Замен» перелленных в кратном интеервле Обозначим через а и Ь длины сторон параллелограмма Я, а через Н, и Н,— длины его высот, опущенных соответственно иа стороны длин а н Ь (рис. 183). Для доказательства того, что при достаточно малых й круг радиуса л( с центром в центре параллелограмма 5 содерул жится в Яо очевидно, достаточно установить справедливость при достаточно малых й неравенств 4е(«-Н», 4д(Нь. (46.15) а=)'а,',й'+а„'-',йл= (й ! (46.16) Аналогично, (46.17) Функции ау=ау(и„п„), 1, 1=1, 2 являются значениями соответствующих частных производных функций х(и, п) и у(и, о) в точках (ие, и„) компакта А.
В силу предположеннойнепрерывности этих частных производных они ограничены на множестве А, т. е. существует такая постоянная ст)0, что на А выполняются неравенства !ау( =с,, 1, 1=1, 2. Отсюда и из формул (46.16) и (46.17) следует, что 1а~==с,3 2)й~, )Ь(~с,~ 2 (й~. (46.18) (46.19) Далее. по предположению, якобиан У(и, и) отображения Р, являющийся непрерывной функцией, не обращается в ноль на множестве тл, а следовательно, и на компакте А.
Поэтому существует (почему?) такая постоянная св)0, что на множестве А выполняется неравенство (46. 20) Докажем это. Пусть для определенности сторона Рис. 183 параллелограмма 3 длины а соединяет вершины, являющиеся при отображении г" образами вершин (ио* оо) и (ие+й, тле) квадрата 5, т. е. соединяет точки (х„у,) и (хв+амй, уо+ амй). Тогда 4б.1. Геолэеэриэеский сиээсл иодуля якобиаиа Заметив, что )эЯ = ао, = ЬН» — — ( Х (и„оэ) (йэ, получим (см. (46.18), (46.19) и (46.20)): 1 2 (иэ о ) / с ~ ~л (иэ оэ)! т. е. (46.21) с )й(~ — 'О,. с,1'2 (46.22) Располагая этими оценками, легко доказать справедливость неравенств (46.15). Действительно, использовав неравенства (46.13), (46.21) и (46.22), получим 4((~4еэ(й(=-- ' эУХа (46.23) 4 )л 2 с,ээ (46.24) сл Выберем теперь такое 6~0, чтобы при (й)(6 и (и„оа) ен А выполнялось условие 4 1с2 с,аэ (46.25) сэ Это всегда возможно в силу того, что функция ее=ее(ио оо Ь) (см.
(46.13)) стремится н нулю равномерно на компакте А при й-э-О. Из (4623), (4624) и (4625) следует, что при ~й( =6 выполняются неравенства (46.15), откуда, в частности, вытекает, что множество Я; не пусто. В дальнейшем в ходе доказательства будем всегда предполагать, что (й(а., б. Множество 5,',5; назовем рамкой и обозначим через лс: )(=3,', Яо Рамка )1 представляет собой объединение четырех не обладающих общими внутренними точками трапеций, высоты которых имеют длину 2с(, а средние линии совпадают с соответствующими сторонами параллелограмма 3. Поэтому )элс = 4е((а+ Ь).
Заметим, что если множество ое было бы пустым, то подсчет площади рамки )т пришлось бы делать иначе: указанные выше трапеции превратились бы в треугольники, у которых стороны параллелограмма 3 уже не являлись бы, вообще говоря, средними линиями. 4 46. За.1мра пвреленньст в крагнслч янгеврпле 176 Нз полученного для площади )лР, рамки )с выражения, в силу неравенств (46.13), (46.18) и (46.!9), следует, что ллем =, =8 )'2 слвзйл.
Положив в,=8 ~Г2 с,в„окончательно будем иметлн )л)л' == в,й', (46.26) где функция е, равномерно стремится к нулю на компакте А прп й О. Покажем теперь, что площадь множества Р(5) отличается от площади параллелограмма 5=Р(5) не более чем на площадь рамки )с.
Для этого прежде всего установим, что 5; с: Р (5) с: 5,. (46.27) Действительно, если М ен 5, то г" (М) с— : 5 и согласно (46.13) р(й. (:И), Р(М)):-- д. Далее, по построению множество 5„содержит все точки плоскости, находящиеся от параллелограмма 5 на расстоянии, ие превышающем числа д. Поэтому Р(М) ~ 5, и включение Р(5) с: ~ 5, доказано.
Осталось доказать, что 5; ~Р(5). Прежде всего заметим, что Р(д5) с: )с. (46.28) Действительно, если М енд5, то Р(М) ~ дЛ и, согласно (46.13), р(Р(.Ч), Р(М)) =д. Но по построению рамка )с содержит все точки плоскости, отстоящие от границы д5 параллелограмма 5 на расстояние, не превышающее числа с(, а поэтому Р(М) ~)л и включение (46.28) доказано.
Поскольку при сделанных предположениях граница дР(5) образа Р(5) квадрата 5 совпадает с образом Р(д5) границы д5 квадрата 5 (см. лемму 1 п. 46.1), то включение (46.28) можно переписать в виде (46.29) др(5) =В Пусть теперь й4,— центр квадрата 5. При отображении Ф он переходит в цевтр Мл=Е(М„) параллелограмма 5.
Пусть Я— замкнутый круг радиуса с( с центром в точке М, (величина с( определяется формулой (46.13)). Выше было доказано„что 1'„лс:5;. Если М;;"=г(М,), то согласно (46.13), р(Мл" Мл)=-с( н, следовательно, М,'" ялС, а поэтому и М'„'я 5ь Таким образом, 5; содержит заведомо одну точку Р(5), а именно образ М,': центра М„квадрата 5 при отображении Р.
Покажем теперь, что и все точки 5; принадлежат Р(5). Допустим противное: пусть существует такая точка М'" ~ 5„что (77 4б.2. Замена аеяеленные в двнннагноа ангеграле М* АР(5) (см. рис. 183). Всякий отрезок является, очевидно, линейно связным множеством, а поэтому, согласно лемме 9 из и. 18.2, на отрезке МвМв с концами в точках М,";. и Мв найдется точка границы дР(5) множества Р(5). Этой точкой не может являться М', поскольку множество Р(5) замкнуто (см.
лемму 3 в п. 41.4), и следовательно, дР(5) ~ Р(5), а по предположению, М* ф Р(5). Поэтому точка пересечения множества дР(5) с отрезком М,"М" является внутренней точкой параллелограмма 5;, а это противоречит включению (46.29). Таким образом, не существует точки Мв ~5;, для которой одновременно М" ~Р(5), поэтому 5;с:Р(5). Формула (46.27) доказана. Из (46.14) и (46.27) следует, что )е5;~ рР(5) ()е5е, )е5г.=-рР(5) ==. р5„ и, следовательно, ~ рР (5) — рР (5): ;=-.
85е — 15е =-)е74. Поэтому в силу (46.26) ! ЕР (5) — рР (5) ) ~а е )г', (46.30) где е, стремится к нулю равномерно на компакте А при й-г-О. Положим РР (3) — ПР (а) (46.31) тогда из (46.30) следует, что! е)-=.1 е„! н поэтому е равномерно на множестве А стремится к нулю при й-1-0.
Из (46.31) имеем РР (5) = )еР (5) + ей, т. е. мы получили формулу (46.11), откуда, как это уже отмеча- лось, сразу следует (46.10). Д 46.2. ЗЛМКНА НЕРКМЕННЫХ В ДВУКРАТНОМ ПНТЕГРЛПЕ Вначале сохраним обозначения и предположения предыдущего пункта, в частности, будем предполагать, что Р является взаимно однозначным непрерывно дифференцируемым отображением открытого множества С ~ )с'-„'„на открытое множество Св ~ )ген с якобианом, не равным нулю иа С. Пусть Г и Г* квадрпрусмые (н, следовательно, ограниченные) открытые множества, 1' с: С, Г' с: Св и пусть при отображении Р множество Г отображается на Г".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
