kudryavtsev2a (947416), страница 38
Текст из файла (страница 38)
с= ! Сумма от является интегральной суммой Римана для функции Е[с ф) ср (1), поэтому 1!тп о;=~Е[»(1)]ср'(с) с(1. (47.11) С другой стороны ! й — и ) =-,г,' ! Е [г ($!)1 ! , 'ср' (Чс) — р' (Ц ! Л(с ~ с= ! -.=-ос(6,; ср')(Ь вЂ” а) я!р !г'[г(1)!!, а<С<а Отсюда, согласно свойству 3, следует формула (47.10). !! Мы остановились только на тех свойствах криволинейных интегралов, которые связаны со спецификой их определения, с кривой, по которой производится интегрирование.
Естественно, что, поскольку рассматриваемые интегралы сводятся к обычным интегралам по отрезку, на них переносятся и различные их свойства (линейность относительно интегрируемых функций, интегральная теорема о среднем и т. д,). 47.З.РАСШИРЕНИЕ КЛАССА ДОПУСТИМЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПАРАМЕТРА КРИВОЙ Непрерывно дифференцируемая ориентированная кривая без особых точек определялась нами (см. п. 16.1 и !6.2*') как кривая, имеющая непрерывно дифференцируемые векторные представления г(1), а=с «Ь, такие, что г'(с) ~ О на отрезке [и, Ь1. В качестве допустимых преобразований параметра при этом рассматривались такие фуякции (=((т), а=-т 6, 1(а)=а, 1([1)=Ь, где ы(6; ср') — модуль непрерывности функции ср'. Так как из непрерывности функции г [г(1)! на отрезке [а, Ь) следует, что зпр !г[г(1)1!~со, а из непрерывности функции ф' на том же а<с<ь отрезке следует, что ! !и! ос (6,; ср ) = О, то ! пп (бх — о ) =-О.
Поэтому ь,-,о в силу (47.11) получим ь 1пп бт=')г" [г(1))чс'(()Ж. о,-о у 47. Криволинейные антегралы которые были непрерывно дифференцпруемымн и имели положительную производную на отрезке [а, Ь). Это требование, однако, часто оказывается слишком обременительным. Например, для дуги у единичной окружности с центром в начале координат представления я и х — мп1, у — сов|, О-(( у=)'1:хг, О~х.=-1, оказываются неэквивалентными в этом смысле. Да и само представление у=)71 — х', О(х==1, не определяет в нашем смысле непрерывно дифференцируемую кривую, поскольку у него при х =1 производная не существует. Поэтому естественно расширить класс допустимых преобразований параметров и допустимых представлений непрерывно дифференцируемых кривых.
Это можно сделать следующим образом. Рассмотрим совокупность векторных представлений п=п(1), а((=- Ь, непрерывных на отрезке [а, Ь1 и непрерывно дифференцируемых на интервале (а, Ь). Допуспшмым преобразованием парамепгра будем называть всякую функцию г=г(т), ге=-т==(3, Г(сс)=а, 1(Р)=Ь, непрерывную на отрезке [а, р1, непрерывно дифференцируемую и имеющую положительную производную на интервале (а, р).
Как всегда, два представления называются эквивалентными, если можно перейти от одного к другому с помощью допустимого преобразования параметра. Определение 3. Класс эквивалентных представл ний указанного типа задает непрерывно дифференцируемую кривую, если в эпюн классе суи1еспюует по крайней мере одно представление г=-г(г), а=-=.г.=Ь, непрерывно дифференцируемое на всем отрезке [а, Ь1. Определение 4. Непрерывно дифференцируемая кривая называется кривой без особых точек, или, короче, гладкой кривой, если при некопюром ее представлении г(Г), а-=.
г ( Ь (а значит, и при всех ее представлениях) выполняется условие н'(() ~ О, а(4(Ь. В смысле этого определения два вышеуказанных представления дуги окружности оказываются эквивалентны и задают гладкую кривую. Остаются в силе н все данные выше определения криволинейных интегралов и их свойства, естественно, при учете того, что при некоторых представлениях кривых можем получить несобственный интеграл. Следует подчеркнуть, что расширение класса представлений кривой позволяет производить вы ч и слеп и е криволинейного интеграла при более разнообразных представлениях кривой. Например, интеграл 1Р (х, у) ду, где ч — рассматриваемая выше дуга единичной окружности, а Р— непрерывная на у функция, 47лй Криволинейные ннтееролы ~о кусочна-гладким кривым 197 можно вычислить, пользуясь обоими указанными представлениями: 1 Р(х, у)ду= — 1 Р(х, ~Т вЂ” х ) У1 —.ча ' н/2 $Р(х, у)с(у= — $ Р(з(п8, созт)з(п(с(г, В первом случае здесь может получиться несобственный интеграл.
Вместе с тем п р и до к а з а т е л ь ст в е теорем можно выбирать «хорошие представления», т. е. непрерывно дифференцируемые вплоть до концов отрезка, а проведенные рассмотрения окажутся справедливыми и для расширенного понятна кривой. Упражнение 1. Доканать, что ори ионом определении непрерывно диффереидируемой кривой т=(х(1), у(1), г(1)) ео длина выражается формулой ь «тут'Л, нг р .
Г Н, Л Й. 47.4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КУСОЧНО-ГЛАДКИМ КРИВЫМ Определение 5. Если кривая 7 кусочно-гладкая, т. е. предста- вима в виде объединения конечного числа гладких кривых 7„7„... ..., Рм и функция Р(х, у, г) по-презснему определена на точках кривой у, то, по определению, положим ) Р (х, у, г) т(х = Я ') Е (х, у, г) дх.
1= 1 тс Если 7 — кусочно-гладкая кривая и х=х((), у=у((), г=г(~), а(1((7,— ее кусочно-гладкое представление, то также будем писать ь (Р(х, у, г) с(х=(Р(х(1), у(1), г(1))х'(() с(1 (здесь производная х'(1) может быть не определена в конечном числе точек отрезка (а, о)), понимая интеграл, стоящий в правой части равенства, вообще говоря, в несобственном смысле. Аналогичные определения имеют место и для интегралов вида (47.7).
В дальнейшем придется иметь дело с суммами интегралов вида (47.6) и (47.7), т. е. с интегралами вида (47.4), где Р, (г и Р— некоторые функции, определенные на точках кривой 7. Согласно определениям (47.6) и (47.7), справедлива З 47. Криволинейные интегралы формула Г Р йх+ (,) йу+ )т' йг = ~ (Р соз се + (4 соз )) + )г соз у) йз. Замечание 1. Если Г обозначает конечную совокупность кусочно-гладких ориентированных кривых уь г'=1, 2, ..., й, то, по определению ) г" г(з = ~ ') с йз, '1 Е йх = ~ч~ ~~ г йх и т. д.
г=! 'г ° Замечание 2. Мы дали определение криволинейных интегралов для кривых, лежащих в трехмерном пространстве 1(з. Совершенно аналогично они определяются и для кривых, лежащих в любом и-мерном пространстве )гл, п=2, 3, 4, .... Криволинейные интегралы в п-мерном пространстве обладают свойствами, аналогичными рассмотренным выше в трехмерном случае, причем доказательства их также совершенно аналогичны приведенным выше. Поэтому мы не будем останавливаться ни на формулировках, ни на доказательствах соответствующих утверждений.
Уи р лиг иеии я. 2. Доказать, что данные в нзгтоящем пункте опредзле. иия ириволииейиых интегралов ио кусочно-гладким кривым ие зависят от способа разбиения этих кривых из гладкие дуги, 3. Вычислить ириволивейиый интеграл ) Ух+2дих+Ух+уву, гдз Г— треугольный контур с вершинами О (О; 0); В (2; 0), С (2; 4). Г хзлд — узах 4. Вычислить ириволииейиый интеграл т „—, где à — дуга хзгз ) 513 зстроиды х=и созе б у=и з1пзт, огрзиичсинзя точками (а, 0) и (О, и). 47.5.
ФОРМУЛА ГРИНА Определение 6. Пусть простой замкнутый контур у является границей ограниченной плоской области 6. Если ориентация контура выбрана гпаким обрахх зом, что при обходе контура у, С У соопюетствующем возрастая ию параметра, область 6 остается слева (таком' обход обычно назыд ел лил юлриииаелзлил вается обходом контура против ериеллииил лриенллчил направленая движения часовой Рис. 190 стрелки), то вта ориентация называется положительном, в противнол~ же случае (т. е.
когда обход контура производится по направлению движения часовой стрелки) — опгрицательной (рис. 190). Положительно ориентированный контур будем обозначать у+, а отрицательно ориентированный — через у-. Зги понятия ог|реде- 47Д. Формула Грина лены не строго, не в точных математических терминах. Однако мы не будем давать здесь точных определений, с одной стороны, потому что это нельзя коротко сделать, а с другой стороны, поскольку в дальнейшем во всяком отдельном случае рассматриваемая ориентация всегда будет конкретно указываться.
Тем самым наше «обгцее» определение положительной и отрицательной ориентации простого замкнутого контура послужит лишь для геометрической наглядности рассматриваемых ниже вопросов. В дальнейшем плоскую область 6, замыкание которой может быть представлено одновременно в виде(45.!) и (45.13) (см. рис. 155), будем для кратности называть влеменпшрной обласгпью. У Теорема 1 (формула Грина *г). Пусть 6 — плоская обласпгь и ее д )рщ граница у является кусочно-глад- а(") В Узгр) ге ким контуром.
Пусть область 6 Л Угге) может быть разбита на конечное г лт Зт г г число элеменпгарныхобластей 6»*' г с кусочно-гладкими границами ь чт Ть г'= 1, 2, ..., й. Пусть, далее, в замкнутой области 6 заданы Рис. 191 Функции Р(х, у) и 6(х, у), непре- »»в) рывные на 6 вместе со своими частными производными — и — —. ау йх' Тогда справедлива формула ~~ (й — в ~йхйу= ~ й +Яду' (47,12) с т" Доказательство. Пусть сначала область 6 сама элементарна и„следовательно, ее границу можно представить как объединение графиков двух кусочно непрерывно дифференцируемых функций гр (х) и ф(х), гр (х) == ф(х), ан--х.= Ь, и, быть может, отрезков прямых х=а и х=б, а также как объединение двух графиков кусочно непрерывно днфференцируемых функций а(у) и 5(у), а(у)~ ()(у), с==у(й и, быть может, отрезков прямых у=с и у=й (рис.
191). В этом случае, применяя правило сведения двойного интеграла к повторному, теорему Ньютона — Лейбница (и. 29.3) и формулу *' Дгк. Грин (1793 — 184!) — английский математик. вы Это означает, что (б,)г.==» является рвзбиенисм ззлгкнутой облзстн б (см. п. 44.3). ***' Непрерывность частных производных нз 0 понимается квк нх непрерывность нз открытом множестве 0 и их непрерывная продолжземость нз границу 6 (см. п.
39.3). у 47. Криволинейные интегралы 200 (47.9), имеем а (Ф(к) )1" г,кк=(( )г фкк]кс а а(к) = ~ (Р(х, ф(х)1 — Р(х, (р(х)З с(х=$ Р(х, ф(х))((х— — ~ Р (х, (р (х)1((х = $ Р (х, у)((х — ~ Р (х, у) ((х = а бс лв — ~ Р(х, у)((х — ~ Р(х, д)((х. (47.!3) св лв Замечая, что для отрезков ВС и 1)А ~ Р (х, д) ((х = '1 Р (х, у) ((х = 0 (47.!4) вс (это сразу следует, например, из формулы (47.6), ибо здесь х:= сопз1 и потому сов (х = О), и, сложив равенства (47,13) и (47.14), получим ~ — ((х ((д = — ~ Р ((х — )( Р ((х — ~ Р дх — ~ Р ((х = — ') Р (1». с лв )эс св вл т~ (47.15) (47.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
